4.7相似三角形的性质 第1课时 教学设计 北师大版数学九年级上册

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4.7相似三角形的性质 第1课时 教学设计 北师大版数学九年级上册

资源简介

4.7相似三角形的性质 第1课时 教学设计
一、内容与内容解析
(一)教学内容
本节课是北师大版初中数学九年级(上册)第四章“图形的相似”的第7节。内容包括相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。
(二)教学内容解析
本节课是在学生学习了相似三角形定义与判定定理后的延伸,是相似三角形性质的起始内容,为后续学习相似三角形周长比、面积比及实际应用奠定基础。
从知识逻辑看,通过证明“对应高的比等于相似比”,可类比推导对应中线、对应角平分线的比与相似比的关系,体现“从特殊到一般”的数学思想,培养学生逻辑推理与类比迁移能力。
基于以上分析,确定本节课的教学重点为:
【教学重点】探究 “相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比” 这个性质及其应用.
二、目标与目标解析
(一)教学目标
1、经历探索相似三角形中对应线段之比与相似比的关系的过程,知道相似三角形的性质.
2、能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题.
3、在探索过程中体会类比思想、由特殊到一般的数学思想.
(二)教学目标解析
1、达成“知识与技能”目标:学生能独立说出性质内容,并准确计算已知相似比和一条对应线段长度时,另一条对应线段的长度。
2、达成“过程与方法”目标:学生能自主提出“对应线段比与相似比关系”的猜想,跟随教师完成“对应高的比等于相似比”的证明,并尝试自主推导“对应中线的比等于相似比”。
3、达成“情感态度与价值观”目标:通过小组讨论推导性质,增强合作意识,体会证明过程的严谨性,提升对数学的认同感。
三、学生学情分析
学生在之前七年级已经学习了全等图形的判定和性质,对全等三角形的对应边的比已有所了解.在本章又学习了相似图形的判定条件,对相似图形,特别是相似三角形已有一定的认识.通过前面的学习学生已经经历了一些关于相似三角形性质的探究.例如,利用相似三角形测量旗杆的高度等实际问题,感受到了数学的实际价值,利用相似三角形的性质解决问题的活动经验.本节主要研究相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比这一性质.基于上述分析,确定本节课的教学难点为:
【教学难点】相似三角形的性质的探索及应用.
四、教学策略分析
1. 猜想引导策略
通过复习“全等三角形对应高相等”,提问“相似三角形对应高的比与相似比有什么关系?”,引导学生结合相似三角形定义提出“对应高的比等于相似比”的猜想,激发探究欲望。
2. 示范与类比结合策略
教师示范证明“相似三角形对应高的比等于相似比”,规范几何证明步骤(标注已知、求证,利用AA判定小三角形相似,推导比例关系)。
以“对应高”的证明为模板,组织学生小组讨论,类比推导“对应中线的比等于相似比”,教师巡视指导,帮助突破难点。
3. 实例辨析策略
给出包含“对应线段”和“非对应线段”的相似三角形例题(如△ABC∽△A'B'C',AD是BC边上的高,A'D'是B'C'边上的中线,判断AD与A'D'的比是否等于相似比),引导学生辨析,强化“对应”概念。
五、教学过程分析
(一)复习引入
回顾旧知:提问“相似三角形的定义是什么?全等三角形有哪些对应线段相等?”,帮助学生建立知识联结。
提出猜想:展示两个相似比为2:1的△ABC和△A'B'C',引导学生观察对应高AD和A'D',提问“AD与A'D'的比可能是多少?”,鼓励学生提出“对应高的比等于相似比”的猜想。
设计意图:通过复习旧知,激活学生已有的知识储备,降低新知识的学习难度。
(二)主动参与、感悟新知
问题1:如图,小王依据图纸上的△ABC,以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C',CD和C'D'分别是它们的立柱.
(1)△ACD与△A'C'D'相似吗?为什么?如果相似,指出它们的相似比.
(2)如果CD=1.5 cm,那么模型房的房梁立柱有多高?
师生活动:教师出示问题,学生思考、讨论并完成解题过程.
解:(1)△ACD与△A'C'D'相似;
理由:∵,∴△ABC∽△A'B'C'.∴∠A=∠C'A'D'.
又∵CD⊥AB,∴C'D'⊥A'B'.∴∠ADC=∠A'D'C'=90°.
∴△ACD∽△A'C'D',且相似比为1∶2.
(2)∵△ACD∽△A'C'D',∴,即.∴C'D'=3.
答:模型房的房梁立柱高3 cm.
问题2:已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为k,它们对应高的比是多少?对应角平分线的比是多少?对应中线的比呢?请证明你的结论.
解:对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比是k.
猜想:相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比.
证明:(1)如图,分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD和A'D'.
∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B'.
又∵△ABD和△A'B'D'都是直角三角形,
∴△ABD∽△A'B'D'.
∴.
所以相似三角形对应高的比等于相似比.
(2)如图,分别作△ABC和△A'B'C'的对应角平分线AD和A'D'.
∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.
∵AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线,
∴∠BAD=∠BAC=∠B'A'C'=∠B'A'D'.
∴△ABD∽△A'B'D'.
∴.
所以相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
(3)如图,分别作△ABC和△A'B'C'的对应中线AD和A'D'.
∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B',.
∴△ABD∽△A'B'D'.
∴.
所以相似三角形对应中线的比等于相似比.
定理:相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
问题3:如图,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为k;点D,E在BC边上,点D',E'在B'C'边上.
(1)若∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',则等于多少?
(2)若BE=BC,B'E'=B'C',则等于多少?
(3)你还能提出哪些问题?与同伴交流.
师生活动:教师出示问题,学生思考、讨论,最后师生共同得出结论.
解:(1)∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.
又∵∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',
∴∠BAD=∠B'A'D'.
∴△ABD∽△A'B'D'.
∴.
(2)∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B',.
又∵BE=BC,B'E'=B'C',
∴.
∴△ABE∽△A'B'E'.
∴.
(3)答案不唯一,例如:将问题(1)中的换成,,结论还成立吗?若换成(k≠0)呢?说说你的理由;将问题(2)中的也进行这样的变化,结论还成立吗?
结论:相似三角形对应线段的比等于相似比.
例1:如图,AD是△ABC的高,AD=h,点R在AC边上,点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.
当SR=BC时,求DE的长.如果SR=BC呢?
师生活动;教师出示例题,学生思考、讨论,教师分析、引导,师生共同完成解题过程.
解:∵SR⊥AD,BC⊥AD,
∴SR∥BC.
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).
∴(相似三角形对应高的比等于相似比),即.
当SR=BC时,得.解得DE=h.
当SR=BC时,得.解得DE=h.
(三)课堂总结
1、本节课研究了什么问题?
2、本节课经历了怎样的研究过程?用到了哪些数学思想?
3、对今后数学研究的启发?你还有哪些疑惑呢?
【设计意图】梳理知识脉络,提炼核心方法,帮助学生形成系统的认知,同时加深对代数式价值的理解。
(四)布置作业、巩固提高
1.如图,,和分别是和的高,若,,则为( )
A. B. C. D.
2.如图,已知,,则的度数是( )
A. B. C. D.
3.两个相似三角形的面积比是,那么它们的周长比是( )
A. B. C. D.
4.已知的三边长分别为5,6,7,另有一个与它相似的,其最短边为15,则的周长是(  )
A.45 B.48 C.51 D.54
5.如图,已知,点,,在同一条直线上,点在边上.若,,,则的长为( )
A. B. C. D.
6.如图,在中,是边上的一点,若则的长为 .
7.已知,且与相似比为,若,则 .
8.已知,若,且的周长为8,则的周长为 .

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