资源简介 4.7相似三角形的性质 第1课时 教学设计一、内容与内容解析(一)教学内容本节课是北师大版初中数学九年级(上册)第四章“图形的相似”的第7节。内容包括相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。(二)教学内容解析本节课是在学生学习了相似三角形定义与判定定理后的延伸,是相似三角形性质的起始内容,为后续学习相似三角形周长比、面积比及实际应用奠定基础。从知识逻辑看,通过证明“对应高的比等于相似比”,可类比推导对应中线、对应角平分线的比与相似比的关系,体现“从特殊到一般”的数学思想,培养学生逻辑推理与类比迁移能力。基于以上分析,确定本节课的教学重点为:【教学重点】探究 “相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比” 这个性质及其应用.二、目标与目标解析(一)教学目标1、经历探索相似三角形中对应线段之比与相似比的关系的过程,知道相似三角形的性质.2、能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题.3、在探索过程中体会类比思想、由特殊到一般的数学思想.(二)教学目标解析1、达成“知识与技能”目标:学生能独立说出性质内容,并准确计算已知相似比和一条对应线段长度时,另一条对应线段的长度。2、达成“过程与方法”目标:学生能自主提出“对应线段比与相似比关系”的猜想,跟随教师完成“对应高的比等于相似比”的证明,并尝试自主推导“对应中线的比等于相似比”。3、达成“情感态度与价值观”目标:通过小组讨论推导性质,增强合作意识,体会证明过程的严谨性,提升对数学的认同感。三、学生学情分析学生在之前七年级已经学习了全等图形的判定和性质,对全等三角形的对应边的比已有所了解.在本章又学习了相似图形的判定条件,对相似图形,特别是相似三角形已有一定的认识.通过前面的学习学生已经经历了一些关于相似三角形性质的探究.例如,利用相似三角形测量旗杆的高度等实际问题,感受到了数学的实际价值,利用相似三角形的性质解决问题的活动经验.本节主要研究相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比这一性质.基于上述分析,确定本节课的教学难点为:【教学难点】相似三角形的性质的探索及应用.四、教学策略分析1. 猜想引导策略通过复习“全等三角形对应高相等”,提问“相似三角形对应高的比与相似比有什么关系?”,引导学生结合相似三角形定义提出“对应高的比等于相似比”的猜想,激发探究欲望。2. 示范与类比结合策略教师示范证明“相似三角形对应高的比等于相似比”,规范几何证明步骤(标注已知、求证,利用AA判定小三角形相似,推导比例关系)。以“对应高”的证明为模板,组织学生小组讨论,类比推导“对应中线的比等于相似比”,教师巡视指导,帮助突破难点。3. 实例辨析策略给出包含“对应线段”和“非对应线段”的相似三角形例题(如△ABC∽△A'B'C',AD是BC边上的高,A'D'是B'C'边上的中线,判断AD与A'D'的比是否等于相似比),引导学生辨析,强化“对应”概念。五、教学过程分析(一)复习引入回顾旧知:提问“相似三角形的定义是什么?全等三角形有哪些对应线段相等?”,帮助学生建立知识联结。提出猜想:展示两个相似比为2:1的△ABC和△A'B'C',引导学生观察对应高AD和A'D',提问“AD与A'D'的比可能是多少?”,鼓励学生提出“对应高的比等于相似比”的猜想。设计意图:通过复习旧知,激活学生已有的知识储备,降低新知识的学习难度。(二)主动参与、感悟新知问题1:如图,小王依据图纸上的△ABC,以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C',CD和C'D'分别是它们的立柱.(1)△ACD与△A'C'D'相似吗?为什么?如果相似,指出它们的相似比.(2)如果CD=1.5 cm,那么模型房的房梁立柱有多高?师生活动:教师出示问题,学生思考、讨论并完成解题过程.解:(1)△ACD与△A'C'D'相似;理由:∵,∴△ABC∽△A'B'C'.∴∠A=∠C'A'D'.又∵CD⊥AB,∴C'D'⊥A'B'.∴∠ADC=∠A'D'C'=90°.∴△ACD∽△A'C'D',且相似比为1∶2.(2)∵△ACD∽△A'C'D',∴,即.∴C'D'=3.答:模型房的房梁立柱高3 cm.问题2:已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为k,它们对应高的比是多少?对应角平分线的比是多少?对应中线的比呢?请证明你的结论.解:对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比是k.猜想:相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比.证明:(1)如图,分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD和A'D'.∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B'.又∵△ABD和△A'B'D'都是直角三角形,∴△ABD∽△A'B'D'.∴.所以相似三角形对应高的比等于相似比.(2)如图,分别作△ABC和△A'B'C'的对应角平分线AD和A'D'.∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.∵AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线,∴∠BAD=∠BAC=∠B'A'C'=∠B'A'D'.∴△ABD∽△A'B'D'.∴.所以相似三角形对应角平分线的比等于相似比.(3)如图,分别作△ABC和△A'B'C'的对应中线AD和A'D'.∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',.∴△ABD∽△A'B'D'.∴.所以相似三角形对应中线的比等于相似比.定理:相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.问题3:如图,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为k;点D,E在BC边上,点D',E'在B'C'边上.(1)若∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',则等于多少?(2)若BE=BC,B'E'=B'C',则等于多少?(3)你还能提出哪些问题?与同伴交流.师生活动:教师出示问题,学生思考、讨论,最后师生共同得出结论.解:(1)∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.又∵∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',∴∠BAD=∠B'A'D'.∴△ABD∽△A'B'D'.∴.(2)∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',.又∵BE=BC,B'E'=B'C',∴.∴△ABE∽△A'B'E'.∴.(3)答案不唯一,例如:将问题(1)中的换成,,结论还成立吗?若换成(k≠0)呢?说说你的理由;将问题(2)中的也进行这样的变化,结论还成立吗?结论:相似三角形对应线段的比等于相似比.例1:如图,AD是△ABC的高,AD=h,点R在AC边上,点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.当SR=BC时,求DE的长.如果SR=BC呢?师生活动;教师出示例题,学生思考、讨论,教师分析、引导,师生共同完成解题过程.解:∵SR⊥AD,BC⊥AD,∴SR∥BC.∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).∴(相似三角形对应高的比等于相似比),即.当SR=BC时,得.解得DE=h.当SR=BC时,得.解得DE=h.(三)课堂总结1、本节课研究了什么问题?2、本节课经历了怎样的研究过程?用到了哪些数学思想?3、对今后数学研究的启发?你还有哪些疑惑呢?【设计意图】梳理知识脉络,提炼核心方法,帮助学生形成系统的认知,同时加深对代数式价值的理解。(四)布置作业、巩固提高1.如图,,和分别是和的高,若,,则为( )A. B. C. D.2.如图,已知,,则的度数是( )A. B. C. D.3.两个相似三角形的面积比是,那么它们的周长比是( )A. B. C. D.4.已知的三边长分别为5,6,7,另有一个与它相似的,其最短边为15,则的周长是( )A.45 B.48 C.51 D.545.如图,已知,点,,在同一条直线上,点在边上.若,,,则的长为( )A. B. C. D.6.如图,在中,是边上的一点,若则的长为 .7.已知,且与相似比为,若,则 .8.已知,若,且的周长为8,则的周长为 . 展开更多...... 收起↑ 资源预览