资源简介

21.3实际问题与二元一次方程（3）
教学目标
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
3.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．
教学重难点
重点： 列一元二次方程解有关特殊图形、销售问题的应用题
难点： 发现特殊图形问题中的等量关系
教学过程
一、情境导入（问题回顾）
1、上节课学习了哪几种类型的一元二次方程的实际应用？
2、列方程解应用题的一般步骤？
这节课我们学习一元二次方程中的另外两个模型：几何图形、销售利润问题模型。
二、合作探究
探究1、几何问题
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
问题：（1）本题中有哪些数量关系？
（2）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
（4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？
解：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，
则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题 请你试一试.
解：设正中央的矩形两边分别为 9y cm，7y cm，
依题意得依题意得
整理,得：
解得：
（不合题意，舍去）
∴上、下边衬的宽度为：
左、右边衬的宽度为：
注意关注学生：
（1）对几何图形的分析能力；
（2）在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；
（3）在讨论中能否互相合作；
（4）解答一元二次方程的能力；
（5）回答问题时的语言表达是否准确．
小结：几何图形主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
三、应用新知
1、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。，
若要围成面积为 45m 的花圃，则AD 的长为多少米？
解：设AD 的长为米，
依题意得：
整理得： – 8+ 15 = 0
解得： ，
当： 时， =15＞10（舍去），
当 时 ， =9＜10 ，
答： AD的长为5 米；
2、如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出2×2 个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为 .
解：设最小数为，则另外三个数为（＋1），（＋7）， （＋8），根据题意可得：
（＋8）＝153 ，
解得， (不符合题意，舍去)，
∴当 ，＋1=10 ，＋7=16 ，＋8=17，
∴四个数分别为9，10，16，17，
∵ 9＋10 ＋ 16 ＋ 17＝52 ，
3、为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由
方法一
解：设米，
则米，
根据题意得，
，
解得：，
答：的长为米或米．
方法二
解：设米，则(18-2x)米，
根据题意得，
，
解得：
当 当
18-2x=10米 AB=18-2x=8米
答：的长为米或米
四、归纳小结
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．
这里要特别注意:
在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求
五、当堂检测
1、如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为3∶2 ，若使彩条所占面积是原来图案面积的四分之一，应如何设计每个彩条的宽度？（结果保留小数点后一位）
解：设横向彩条的宽度3xcm ,竖彩条的宽度2xcm，依题意得： (20-6x)(30-4x)=20×30× （1）.
整理得 12x2-130x+75=0.
解方程得 （舍去）
2x＝1.2（cm）3x＝1.8（cm）
答：每个横竖彩条的宽度分别是1.8cm ,1.2cm
如图，线段AB的长为1.
（1）线段AB上的点C满足关系式AC =BC·AB，求线段 AC 的长度;
（2）线段AC上的点D满足关系式AD =CD·AC，求线段AD的长度;
（3）线段AD 上的点E 满足关系式AE =DE·AD，求线段 AE 的长度.上面各小题的结果反映了什么规律
（1）解：设线段AC长x, 依题意得：x ＝1×（1－x）
整理得 x2＋x－1=0.
解方程得 （舍去）
答：线段AC长
（2）解：设线段AC长a,线段AD长x
依题意得：x ＝ a ×（ a －x）
整理得 x2＋ ax －a=0.
解方程得 （舍去）
由（1）得线段AC，∴AD
答：线段AC长
(3)由（1）得线段AC
由（2）得线段AD
同理可得：线段AE
∴ AE
如图所示，线段AB上有一点C满足关系式 AC ＝BC AB,则
AC
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