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6.3.1二项式
学情分析： 学生在学习《二项式定理》之前，已经掌握了排列组合的基本概念与原理，具备了一定的数学逻辑思维和抽象思维能力.然而，《二项式定理》的内容相对抽象，需要学生具备较强的逻辑推理能力和数学运算能力.在学习过程中，学生可能会遇到理解二项式定理的推导过程、运用定理解决实际问题等困难。因此，教师需要采用直观的教学方法，帮助学生理解定理的本质。
教学目标： 数学抽象：通过多项式乘法与组合计数的转化，理解二项式系数的本质. 数学运算：准确计算二项展开式中的特定项与系数，提升代数运算的严谨性. 逻辑推理：运用计数原理推导二项式定理，强化归纳与演绎思维. 数学建模：将实际问题转化为二项式展开问题，培养数学应用意识.
教学重难点： 教学重点：利用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理； 教学难点：理解二项式定理背后的组合数学意义。
课前任务： 复习组合数计算
计算以下组合数，并总结组合数的对称性规律： ①、、、 ①、、、、 手动展开低次多项式
用多项式乘法法则展开以下表达式： 1. 2.=_______________
观察展开式中的各项系数，与上述计算的组合数进行对比，尝试发现规律。 3.组合问题探究
假设从3个不同的盒子中各选一个字母（每个盒子中有字母），问： ①选到2个和1个的所有可能组合方式有多少种？ ②这一种组合方式对应的展开式中的哪一项？它的系数与组合数有何关系？ 4.思考题
若将的展开式写成： +____+___+____+ 请尝试用组合数的规律填写空格中的系数。 【设计意图】学生通过任务1-3完成知识回忆与规律发现，课堂中可快速进入“用组合原理推导二项式定理”的深度探究；任务4的思考题则通过“试误”暴露潜在混淆点（如混淆加法与组合数），为教师针对性讲解“项的位置与的对应关系”提供学情依据，最终实现高效课堂衔接。 教学过程： 1．情境引入 通过ai创设社会热点问题，并由此颁布本节课任务： 在应对全球环境挑战的大背景下，我们假设一个城市正推行一项关键的环保计划。目前我们确切知道今天是星期一，而在8的100次方天后，城市的碳排放量将达到一个重要的阈值。这个阈值能否顺利突破，关乎着城市未来的环境走向。现在，我们肩负着一项至关重要的任务：算出8的100次方天后究竟是星期几。 【资源与工具】ai对话模式 【设计意图】用“碳排放与星期关联”的场景，让二项式定理等数学工具具象化，直观体现数学在量化环保问题、支撑政策制定与评估中的实际价值，架起数学与现实环保的桥梁。 2．新知初探 带着问题预习：何为二项式定理？ 学生通过课前预习，自主在书本上找到答案——即的展开式。 师：如何探究的展开式？ 分析方法：由特殊到一般. 分析的展开过程，然后根据的展开过程，以此类推探究、....，由此猜想的展开式并加以验证. （一）猜想公式 角度一：多项式乘以多项式法则 预设：得到对应的展开式，如： 观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ ①展开式共有项． ②各项的次数和都等于二项式的次数. ③字母按降幂排列，次数从递减到0；字母按升幂排列，次数从0递增到. 提问：一般情形下，当时，猜想并证明。 【设计意图】由特殊到一般，进行归纳猜想。让学生从已经学过的的情况开始，问题层层递进，将分析运算中的规律，运用到的情形，进一步猜想，推广到一般情况。用乘法法则分析乘积项的结构特征，先得到二项式定理的项数、次数和各项的结构特点。 分析展开后有哪些项？其各项的形式是什么？ 师生活动：学生自主思考。 教师总结：可以看到，是2个)相乘，只要从2个)中各选一个字母相乘，就得到展开式的一项．于是，根据乘法计数原理可得，的展开式共有2×2=4项，而且每一项都是的形式． 各项的系数分别是什么？如何才能更快速确定？ 教师引导：在此之前，我们学习了从个相同元素中取个元素排成一排，这叫做组合问题。和我们探究项的过程高度相似，那么二项式系数是否可以通过组合问题计算得出呢？ （二）探究系数 角度二：组合角度 将抽象成摸球实验：两个盒里都有大小相同，质地相同的两小球，每个盒分别取一个球，将两个球字母相乘，有几种结果 提示：以的个数为分类标准。 这里的系数就代表了不同组合出现的情况数，也就是今天要学习的二项式系数。 【设计意图】使学生明确，分析多项式乘积结果时可以利用计数原理来分析；通过问题的特殊化和一般化，便以引出课题，同时直观感受到二项式系数的实际意义，让学生体会知识的发展是建立在已有的知识基础上的. 再来分析展开后有哪些项？各项的形式是什么？ 师生活动：学生独立思考，选派代表发言，教师引导，帮助学生理解。 有了这一思路，可以继续探究，是3个)相乘，只要从3个)中各选一个字母相乘，就得到展开式的所有项．于是，在合并同类项之前，根据乘法计数原理可得，的展开式共有项，而且每一项都是的形式． 再从组合的角度分析展开式的系数. 将抽象成实验问题：三个盒里都有大小相同，质地相同的两小球，每个盒分别取一个球，将三个球字母相乘，有几种结果 提示：以的个数为分类标准 思考：依照上述过程，你能利用计数原理，写出、的展开式吗？ 【设计意图】检验学生对“多项式乘积结果时可以利用计数原理来分析”这一原理的理解，如果有个别同学，仍然有些认识困难，教师再加以指导. 归纳:分析展开后有哪些项？各项的系数分别是什么？ 师：能根据刚刚计算出的各项前的系数，找出规律推出的系数吗？ 活动：尝试着对应的项进行取值，并结合排列组合知识探究. 预设：当项的一部分为，这是由个中都不选得到的．因此，出现的次数相当于从个中取0个（都取）的组合数，即有个，对应的系数为．当项的一部分为时，这是由(-1)个中选，另1个中选得到的．由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从个中取1个的组合数，即共有个． 杨辉三角记忆法： 师生活动：通过对上述问题的分析和规律观察，请以小组为单位合作探究。 探究结果： …… 角度三：几何角度——用面积模型分别展示等二项式的展开（三维立方体拆分） 【设计意图】通过几何直观与组合模型双路径突破抽象思维障碍，强化“项的次数对应组合选择次数”的核心逻辑，培养数学建模能力。 （三）概念形成 上述公式叫做二项式定理，其中各项的系数叫做二项式系数. 二项展开式的通项：用表示，即通项为展开式的第项： 【设计意图】利用直观的标记颜色，将多项式乘法法则与计数原理建立联系，进而突破难点：用计数原理推导二项式定理，其中尤为难的是使用组合数表达二项展开式中各项的系数.同时利用视频，将立体几何与二项式挂钩，丰富学生的想象力，利于学生二项式定理概念的意义建构，还提高学生从特殊到一般的思维能力. 继续观察：从二项式定理中，能够得到哪些特征？ 二项式定理的特征： (1)二项式系数都是, 它值只与和的值有关系，与无关. (2)在排列方式上,按照字母的降幂排列,从第一项起,次数由次逐项减少1次直到0次,同时字母按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到次. (3)二项展开式有+1项,而不是项. (4)若设，则有: 若设,则有: 探究亮点： 师：注意二项式系数和对应的项数的联系，很多学生认为（错误）这是一个混淆点。同时二项展开式里的既可以取任意实数，也可以取任意单项式或多项式，我们可以根据具体问题的需要灵活选取的取值. 3.典例分析 例题1.求的展开式中第4项的二项式系数； 例题2.求的展开式中第4项的系数． 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，分享答案. 错误预设：先求出通项公式，把系数误求为二项式系数=35. 注意：让学生区分二项式系数和项的系数是两个不同的概念，巩固公式的应用。 教师继续引导： ①本题中若使用二项展开式，则代表哪个代数式？ ②猜想:与的展开式是否相同？ 师生活动：学生独立完成，教师指导规范书写，师生共同纠错，教师总结指出，不能把某项的系数和该项的二项式系数混淆起来，第项的二项式系数是指，该项的系数是指该项中除去字母的系数.通过变式辨析二项式系数与项的系数的区别，进一步巩固二项式系数的概念。 学生探究：展示学生计算互换位置后的第4项的展开式。 最终得出结论：结果相同，但具体到展开式的某一项时是不同的！ 【设计意图】在此基础上进行问题链拓展，其中部分学生可能误将视为固定字母，而忽视其符号或表达式内涵。通过此问题强化“形式匹配”意识，将学生形成的易错点与混淆点引导，分析。 反思领悟 (1)学会正确区分二项式系数与项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关． (2)求二项展开式特定项的步骤： 4.课堂练习 基础检验 1.求的展开式的第4项的系数； 2.求的展开式中的二项式系数. 答：(1)的展开式的第4项是 (2)的展开式的通项是 根据题意得，因此，的二项式系数是 【设计意图】通过ai形式在线出题，提高学生课堂参与度，及时反馈学生的学情. 能力提升 3. 在二项式的展开式中， （1）求展开式中含项的系数; （2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值. 答：（1）设第项为 令,解得，所以展开式中含x3项的系数为. ∵第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，因为，所以，解得. 【设计意图】加深学生对基础知识的掌握，并能灵活运用基础知识解决具体问题. 4.课堂小结 1.完成任务 回到开头提出的问题，以后的这一天是星期几？ 即除以7余数是1，所以是星期二. 【设计意图】与问题情境前后呼应，培养“复杂问题简单化”的数学思维，让学生体会数学简洁美与普适性，同时强调二项式定理的数学价值。 2.课堂回顾 请同学们回顾整个过程，你在知识上和思想方法上都有哪些收获？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 5.课后作业 必做题：配套辅导资料对应的《二项式定理》. 选做题： 【设计意图】通过作业设置，使不同层次的学生能在适合自己的难度水平上得到锻炼和提升，也为接下来的学习奠定基础。 教学反思 优点： 信息技术融合有效：通过创设AI情境颁布任务，成功激发学生探究兴趣，有效突破“组合解释抽象化”的认知难点。 2.以环保场景为载体，让抽象数学具象化，凸显数学工具的实际应用价值，串联知识与现实。 3.几何动画演示将三维空间路径与二项式展开结合，有助于学生理解定理本质。 4.分层课后作业满足不同层次需求，符合最近发展区理论预期。 5.随机抽取学生实现公平提问，使得学生产生有效互动。 改进： 1.设计AI错题诊断插件，实时分析学生练习数据，生成个性化提升建议。 2.部分学生对“项的位置与的对应关系”易混淆,在后续课中设计更多变式训练. 3.可引入数学史（如牛顿二项式）增强文化背景渗透，提升学习兴趣。

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