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22.3.2二次函数与最大利润问题教学设计2025-2026学年人教版数学九年级上册
一、教材地位与内容分析
“二次函数与最大利润问题”位于人教版九年级上册第二十二章第三节第二课时，是“二次函数应用”板块的核心课例。学生已学完二次函数概念、图象、性质、求顶点坐标、对称轴、开口方向等知识，并具备一次函数与方程、不等式综合解决“最优”问题的初步经验。本课通过“利润”这一真实情境，让学生经历“抽象数量关系—建立二次函数模型—利用顶点求最值—回归实际意义”的完整过程，体验数学建模、数学运算与逻辑推理的融合，为后续“二次函数与最大面积”“二次函数与运动轨迹”等专题奠定思维范式，同时渗透经济学中“边际”思想，体现数学跨学科价值。
二、学情分析
1.知识储备：学生已能熟练用配方法、公式法求二次函数顶点，能借助图象判断最值，但对“自变量取值范围受实际约束”体会不深，易忽视定义域限制。
2.思维特点：九年级学生处于由“具体运算”向“形式运算”过渡期，对“利润=收入—成本”有生活经验，却缺少“单价、销量、利润”联动变化的系统思考，常把“单价越高利润越高”当成直觉。
3.学习障碍：①变量多，理不清“单价—销量—利润”链条；②顶点横坐标为非整数时，不知如何处理；③忽视“x≥0且销量≥0”等隐含条件，导致“数学解”与“实际解”脱节。
4.差异资源：班级已进行两年“问题提出”训练，部分学生能主动追问“如果成本变化”“如果市场容量变化”会怎样，可分层利用这些生成性资源，带动全班深入思考。
三、核心素养目标
1.数学建模素养：能从实际情境中识别关键变量，用代数符号抽象出“利润关于单价的二次函数”，并给出合理的定义域。
2.数学运算素养：能灵活运用配方法或顶点公式求二次函数最值，能对非整数解进行取整检验，体会“连续模型”与“离散现实”的差异。
3.逻辑推理素养：能论证“顶点即为最大利润点”的充分性，能举反例说明“顶点不在定义域内”时最值在端点取得，形成分类讨论意识。
4.数学交流素养：能用生活化语言解释“为什么单价不是越高越好”，能用符号语言、图象语言、文字语言三种方式表达建模过程，提升跨学科表达能力。
5.理性精神与价值观：在“追求利润”与“让利顾客”之间进行价值辨析，体会“最优”并非“极端”，培养理性决策与社会责任意识。
四、教学重难点
重点：建立“利润—单价”二次函数模型，利用顶点坐标求最大利润。
难点：①厘清“单价↑销量↓”的线性假设；②正确处理“顶点横坐标为非整数”时的取整策略；③解释“数学最优”与“商业可行”之间的差异。
五、教学方法与策略
情境启发—问题驱动—模型建构—合作探究—错例剖析—变式拓展—反思提升。
整节课以“同一情境、层层递进”的“一境到底”方式展开，避免碎片化；以“学生错例”为资源，进行“对比—辩论—再建模”的深度学习；以“追问式”对话撬动高阶思维，实现“双减”背景下课堂提质增效。
六、教学过程
（一）情境引入（约8分钟）
教师呈现生活化场景：学校劳动教育实践基地收获一批草莓，总量600斤，平均成本每斤6元。学生会调研发现：
①若售价10元/斤，可售出400斤；
②若售价12元/斤，可售出300斤；
③若售价14元/斤，可售出200斤。
教师提问：你看到哪些量在变化？它们是怎样联动的？
学生脱口而出“单价提高，销量减少”。教师追问：这种联动是偶然还是规律？能否用数学语言刻画？
学生通过描点（10，400）、（12，300）、（14，200）发现三点大致在一条直线上，于是假设“销量q是单价p的一次函数”，用待定系数法求得q=－50p+900。教师强调：经济学中称为“线性需求函数”，是一种简化模型，真实世界可能更复杂，但数学建模往往从简单开始。
教师再追问：利润y与单价p的关系如何？学生列出y=(p－6)·q=(p－6)(－50p+900)。教师板书：y=－50p +1200p－5400，指出“利润函数”是二次函数，开口向下，存在最大值。由此揭示课题：二次函数与最大利润问题。
（二）模型建构（约10分钟）
1.定义域讨论
教师抛出问题：p可以取任意实数吗？
学生结合情境得出：①p>6，否则亏本；②q=－50p+900≥0，得p≤18；③p应为正数。综上，定义域为62.求最值
学生分组用两种方法：
①配方法：y=－50(p －24p)－5400=－50[(p－12) －144]－5400=－50(p－12) +1800；
②顶点公式：p=－b/2a=－1200/(－100)=12，y最大=(4ac－b )/4a=1800。
教师追问：p=12是否在定义域内？学生确认12∈(6，18]，最大利润为1800元。
3.验证
学生计算p=12时，q=300斤，未超过总量600斤，符合实际。教师再追问：如果总产量只有250斤，模型还成立吗？学生意识到“供过于求”前提被打破，模型需要修正，从而体会“模型适用边界”的重要性。
（三）错例剖析（约10分钟）
教师课前收集学生典型错误：
错例1：忽略定义域，直接得p=12，但若成本改为11元，p=12时利润=(12－11)(－50·12+900)=300元，而p=18时利润=(18－11)(－50·18+900)=0元，学生误以为300元是最大，未检验端点。
错例2：顶点横坐标为12，学生将售价定为12.3元，求出y≈1798元，认为“差不多”，未意识到“连续函数”与“最小货币单位”冲突。
课堂上，学生分组辩论：
A组：现实生活中价格可以12.3元，超市常见。
B组：草莓售价一般取整数，且12.3元时销量q=－50·12.3+900=285斤，需检验12元与13元哪个利润更大。
计算得：p=12元，y=1800元；p=13元，y=1750元。因此即使允许小数，12元仍最优；若强制取整，则12元仍为最优。教师总结：当顶点横坐标为非整数时，应在“左右相邻整数”处比较函数值，再取最大，这是“离散优化”的基本策略。
（四）变式探究（约12分钟）
变式1：若成本随产量变化，比如“超过300斤后，超出部分成本每斤增加1元”，模型如何修正？
学生讨论发现：成本分段，利润函数将变为“分段二次函数”，需分类讨论。教师引导：虽然超出九年级要求，但思维方向重要——现实世界中“成本”可能非线性，“需求”也可能非线性，模型需要迭代。
变式2：若学校规定“让利师生，售价不得高于11元”，此时最优售价是多少？
学生发现定义域被压缩为6变式3：若销量函数不是线性，而是q=－10p +200p－600，利润函数变为三次函数，九年级知识能否解决？
学生意识到：三次函数求最值需用导数，目前无法解决，但可列表描点估算，体现“数学工具”与“问题需求”相互促进，激发后续学习动力。
（五）模型反思（约5分钟）
教师引导学生用“三问法”反思：
1.模型假设合理吗？——线性需求、成本恒定、无损耗，是否过于理想？
2.数学解适用吗？——12元是否符合学校“公益”定位？若定价11元让利1元，利润仍达2250元，师生得实惠，体现“最优”并非“极端”。
3.还能怎样优化？——预售、拼团、套餐、加工草莓酱等，跳出“单价—销量”二元框架，培养创新意识。
学生畅谈：数学给出“理性参考”，决策还需融入价值判断，实现“工具理性”与“价值理性”的统一。
（六）当堂检测（约5分钟）
1.基础巩固：某T恤进价40元，若售价x元，销量q=－2x+200，求利润最大时的售价与最大利润。
2.易错再练：若规定“售价不低于60元”，最大利润是多少？
3.拓展思考：若“每降价1元，销量增加5件”，模型有何变化？
学生独立完成，教师巡视，收集错例，课后追踪。
（七）课堂小结（约3分钟）
学生口述：
①建模流程：读题→找变量→列函数→定定义域→求最值→回归解释；
②关键注意：顶点横坐标非整数要取整比较；顶点不在定义域内要比较端点；
③价值感悟：数学帮助理性决策，但决策不止于数学。
教师升华：二次函数是最美的数学模型之一，它教会我们在“限制”中寻找“最优”，在“变化”中把握“不变”，这正是数学核心素养的精髓。
（八）作业设计（课后）
A.基础：教材第157页习题22.3第4、5题；
B.拓展：某奶茶店发现销量与单价呈线性关系，且成本含“人工、房租”固定成本，尝试建立“利润—单价”模型，并采访店长，记录一个真实约束，下节课分享；
C.探究：阅读“边际成本”“边际收益”科普段落，用九年级语言解释“为什么边际收益等于边际成本时利润最大”，写200字数学小论文。
作业分层，兼顾“双减”要求，不超时，不加重负担。
（九）教学反思（教师课后填写，此处略）
七、课时板书设计（文字描述）
主板书：
22.3.2二次函数与最大利润问题
1.情境：草莓定价
2.模型：q=－50p+900（6y=(p－6)(－50p+900)=－50p +1200p－5400
3.最值：p=12，y最大=1800元
4.步骤：列→定→求→回
5.反思：假设·定义域·价值
副板书：
错例对比、变式数据、学生即兴生成公式
主板书保持完整，副板书随写随擦，突出结构，方便学生回顾。
八、教学后记（约200字，供教师课后手写）
本课以“一境到底”贯穿，学生情绪高涨，建模流程清晰。错例辩论环节最为精彩，学生自发提出“连续与离散”“工具与价值”两大深层问题，超出预设，体现生成性课堂魅力。时间控制略紧，变式3未能充分展开，留作社团活动继续探究。后续将联合经济学教师开设“数学与商业”跨学科项目，让“最大利润”从课堂走向真实世界。

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