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13.3　三角形的内角与外角
13.3　三角形的外角与内角（第1课时）
1．探索并证明三角形内角和定理．
2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．
3．掌握直角三角形的性质与判定．
知识回顾
1．三角形具有 稳定性 ．
应用： 钢架桥、起重机、国家体育场、输电铁塔 ．
2．四边形具有 不稳定性 ．
应用： 活动挂架、伸缩门、折叠椅、竹篱笆 ．
新课导入
　在小学，通过度量或简拼，我们已经知道三角形的内角和等于180°，这样的方法获得的结论可靠吗？
　　【师生活动】学生动手操作，然后汇报结果．有的用度量的方法得出结论，有的通过剪图、拼图或折叠的方法得出结论．
　　【答案】由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于 180°．因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于 180°．
【设计意图】通过动手操作、实验说明，培养学生合作学习，降低知识学习的难度．
新知探究
一、探究学习
【问题】观察下面的动图，你能发现证明的思路吗？
【师生活动】学生独立思考，然后回答问题．
【答案】由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论．
【设计意图】让学生反思操作过程，体会添加辅助线的方法，获得证明思路，感悟辅助线在几何证明中的重要作用．
【问题】试着写出完整的证明过程．
【答案】已知：△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．
证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC．
∵l∥BC，
∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）．
同理∠3＝∠5．
∵∠1，∠4，∠5组成平角，
∴∠1＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）．
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）．
【新知】我们证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理：
三角形内角和定理：三角形内角的和等于180°．
【问题】观察下面的动图，你能想出这个定理的其他证法吗？
【答案】证明：如图，延长BC，过点C作直线l，使l∥AB．
∵l∥AB，
∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∠2＝∠5（两直线平行，同位角相等）．
∵∠3，∠4，∠5组成平角，
∴∠3＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）．
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）．
【设计意图】鼓励学生从不同的角度思考问题，进一步体会作辅助线的方法，丰富学生的解题经验．
【新知】有一个角是直角的三角形叫作直角三角形．
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．
【问题】观察下面的动图，你有什么发现？
【师生活动】学生独立思考，然后教师给出答案．
【新知】直角三角形的两个锐角互余．
【设计意图】通过让学生观察动图，并总结结论，锻炼学生的归纳能力．
【问题】试着证明你的结论．
【答案】证明：由三角形内角和定理，得
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
即∠A＋∠B＋90°＝180°，
所以∠A＋∠B＝90°．
【思考】我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由．
【答案】解：有两个角互余的三角形是直角三角形，理由如下：
由三角形内角和定理，得
∠A＋∠B＋∠C＝180°．
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝90°．
∴有两个角互余的三角形是直角三角形．
【新知】有两个角互余的三角形是直角三角形．
【设计意图】锻炼学生通过推理的方法去证明结论的能力．
二、典例精讲
【例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．
【师生活动】教师引导学生分析解题思路：要想求出∠ADB的度数，根据三角形内角和定理，只要求出∠DAB的度数即可．由于∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，所以很容易得出∠DAB＝20°．
【答案】解：由∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD＝∠BAC＝20°．
在△ABC中，
∠ADB＝180°－∠BAD－∠B＝180°－20°－75°＝85°．
【设计意图】运用三角形内角和定理求角的度数，促进学生进一步巩固定理内容．
【例2】如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？
【师生活动】学生独立完成后，全班交流．
【分析】A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角．如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB．
【答案】解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°．
由AD∥BE，得∠BAD＋∠ABE＝180°．
所以∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，
∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°．
在△ABC中，
∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°．
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°．
【设计意图】利用三角形内角和定理解决生活中的简单问题，提高学生的应用意识和数学表达能力．
【问题】你还能想出其他解法吗？
【答案】解：如图，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．
可得∠ACF＝∠DAC＝50°，∠BCF＝∠CBE＝40°，
所以∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝90°．
【归纳】求角有技巧，一转二计算：
（1）转移：根据平行线的性质，转移已知角（或所求角）的位置；
（2）计算：集中条件应用三角形内角和定理计算角．
【设计意图】通过运用辅助线使问题简化，丰富学生的解题经验．
【例3】如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
【师生活动】学生独立完成解题过程，并相互批改．
【答案】解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC．
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED．
∵∠AEC＝∠BED，
∴∠CAE＝∠DBE．
【设计意图】通过例3，让学生学会运用直角三角形的性质解决问题．
【归纳】直角三角形的注意事项：
（1）“直角三角形的两个锐角互余”这一性质的前提条件是“在直角三角形中”，所以应用时首先要判定三角形为直角三角形；
（2）在运用直角三角形的判定或其性质时，多结合“同角或等角的余角相等”“对顶角相等”等结论，可找出更多角的关系，有助于解决问题．
课堂小结
13.3　三角形的内角与外角（第2课时）
1．理解三角形外角的概念．探索并证明三角形外角的性质．
2．能利用三角形外角的性质解决简单的实际问题．
3．理解三角形外角和的概念，探索并证明三角形的外角和等于360°．
知识回顾
1．三角形内角和定理：
三角形内角的和等于180°．
2．直角三角形：
性质：直角三角形的两个锐角互余．
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD．试着说出这个角有什么特征？
　　【师生活动】小组交流，小组代表汇报交流结果．
　　【答案】（1）顶点在三角形的一个顶点上；
　　（2）一条边是三角形的一条边；
（3）另一条边是三角形某条边的延长线．
【新知】三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．
【设计意图】通过此问题引出本节课的新知．
【问题】如图，你能画出△ABC的所有外角吗？观察这些外角，并试着说出你的发现？
【师生活动】学生独立思考，然后回答问题．
【答案】（1）三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带．
（2）一个三角形有6个外角，其中同一顶点处的两个外角互为对顶角．
【问题】如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°．∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
【答案】解：能．
由三角形内角和定理，得
∠ACB＝180°－∠A－∠B＝50°，
∴∠ACD＝180°－∠ACB＝130°，
∴∠ACD＝∠A＋∠B．
【设计意图】通过此题，巩固学生运用三角形内角和定理解决几何问题的能力．
【问题】观察下面的动图，思考：任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？试着证明你的猜想．
【师生活动】学生回答，教师板书，师生共同完成证明过程．
【答案】已知：∠ACD是△ABC的一个外角．求证：∠ACD＝∠A＋∠B．
证明：∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B．
∵∠ACB＋∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－(180°－∠A－∠B)＝∠A＋∠B．
【新知】一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据．
【设计意图】通过动画的形式，生动地展现了三角形外角的性质，让学生对性质有更加深刻的理解．
二、典例精讲
【例1】如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
【师生活动】学生独立完成，然后全班交流．
【答案】解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，ACD＝∠1＋∠2．
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)．
由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得
∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°．
【问题】你还能想出其他解法吗？
【答案】解：由∠1＋∠BAE＝180°，∠2＋∠CBF＝180°，∠3＋∠ACD＝180°，
得∠1＋∠2＋∠3＋∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°．
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°．
【设计意图】鼓励学生从不同的角度思考问题，丰富学生的解题经验．
【问题】观察下面的动图，试着归纳出结论．
【归纳】三角形的每个顶点处有两个外角，它们相等，所以每个顶点处只取一个外角，把它们的和叫作三角形的外角和．
三角形的外角和等于360°．
【设计意图】通过理论证明与动画演示相结合的方式，让学生充分理解三角形外角和的性质．
【例2】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，求∠1＋∠2的度数．
【师生活动】学生独立思考，然后回答问题．
【答案】解：由三角形外角的性质，可知∠1＝90°＋∠AED，∠2＝90°＋∠ADE，
∴∠1＋∠2＝90°＋∠AED＋90°＋∠ADE＝180°＋∠AED＋∠ADE．
∵∠AED＋∠ADE＝90°，
∴∠1＋∠2＝180°＋90°＝270°．
【归纳】三角形外角性质的三个应用：
（1）求度数：在外角及与其不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出与外角相邻内角的度数；
（2）证明角相等：一般是把外角作为桥梁，通过等量代换证明角相等；
（3）判断角的大小：外角大于与它不相邻的任意一个内角．
【设计意图】考查学生运用三角形外角的性质解决几何问题的能力．
【例3】下列说法正确的是（　　）．
A．三角形的外角大于它的内角
B．三角形的一个外角等于它两个内角的和
C．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角
D．三角形的外角和为180°
【师生活动】学生独立完成解题过程，并相互批改．
【答案】C
【解析】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，大于与它不相邻的内角，故选项A，B错误；三角形的外角和为360°，而不是180°，故选项D错误．
【归纳】应用三角形外角性质的注意事项：
（1）应用三角形外角的性质时，不能忽视“不相邻”这个条件；
（2）不要混淆“三角形内角和是180°”与“三角形的外角和是360°”这两个定理．
【设计意图】考查学生对三角形外角性质的理解．
课堂小结

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