资源简介

《直线与平面垂直》教学设计
【设计思想】《数学课程标准》指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿、练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。本节课一方面将通过身边的生活实例引导学生感知直线与平面垂直的概念及判定定理；另一方面通过动手操作体验知识的发生发展过程；第三方面通过引导探究、合作交流、练习巩固等途径使学生深化理解本节课所涉及的知识与方法，体会隐含的数学思想，进而优化学生的思维品质，提升学生的数学核心素养。 【教材分析】必修二第六章内容是立体几何初步，本章内容是培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养的重要载体。教材中本节内容之后是《平面与平面垂直的判定》、《垂直关系的性质》，这两部分内容又是对本节课学习内容的应用。从这个角度来说，本节内容起到启下的作用。空间点线面的位置关系在生活中随处可见，适宜于学生通过实验操作亲身体验。
【学情分析】学生开始接触立体几何，空间想象能力、逻辑推理能力还比较弱。因此，在本节课教学中，应注重依托对实物的观察，对身边实例的的分析，以及利用简单教具的操作演示，促使学生通过亲身体验理解“直线与平面垂直的概念、直线与平面垂直的判定定理”， 逐步发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力。定理的证明对学生而言难度较大可作为学生课外探究的素材，让一部分学有余力的学生得到提高。
【教学目标】
1、通过实例分析初步感知直线与平面垂直的概念，通过类比推理，实验操作概括直线与平面垂直的判定定理；
2、体会通过空间模型、实践操作、逻辑推理等方式研究立体几何的基本方法；
3、发展学生“数学抽象、直观想象、逻辑推理”等数学核心素养，激发学生动手实践、自主探究的热情。
【重点难点】
教学重点：对直线与平面垂直的判定定理的理解与应用。
教学难点：直线与平面垂直的判定定理的生成过程及利用定理证明。
【教法与学法】
教法：引导探究法、实验法、问题串教学。
学法：自主学习法、动手操作法、讨论交流法，练习法。
【教学用具】 多媒体、课件、三角形纸片。
【教学程序及设计意图】
（一）构建直线与平面垂直的定义
1.生活中的线面垂直关系
问题1：在日常生活中，旗杆与地面、桥桩与河面、门轴与地面都呈现了什么样的位置关系呢，同学们你们还能举出其他例子吗？
师生活动：教师展示生活中给我们以直线与平面垂直的实例，提出问题.
设计意图：天安门广场上的五星红旗，哈萨尔大桥，培养学生的直观想象能力，同时培养学生爱国家、爱家乡的目的.
2.学生活动
全体同学听从老师指令，作出相应动作，并思考回答问题.
起立——将身体向右倾斜——向前倾斜
问题2：把同学的身体抽象成一条直线，在整个过程中回答直线与地面的位置关系.
从而得到18世纪法国数学家克莱罗在《几何基础》中给出线面垂直的直观解释：一条直线不向平面上的任何一面倾斜.
3.旗杆影子实验（教师借助信息技术呈现旗杆影子实验）
问题3：直立于地面的旗杆与它在地面的影子垂直吗？
追问：随着时间的变化，影子的位置在不断地变化，旗杆与所有影子都垂直吗？
得到古希腊数学家欧几里得《几何原本》中线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面上与该直线相交的所有直线，则该直线与平面垂直.
追问：旗杆与对于地面上其他直线垂直吗？
从而得到直线与平面垂直的定义.
文字语言：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则该直线与此平面垂直
图形语言：
符号语言：
师生活动：教师板书，学生完成导学案.
问题4：在得到直线与平面垂直的定以后，为了表述与研究的方便，你觉得还有哪些辅助性的概念需要建立？
师生活动：教师引导学生，结合定义，给出垂线、垂面、垂足的概念，给出文字语言、图形语言、符号语言的三种表示.
设计意图：建立垂面、垂线、垂足概念，知道线面垂直的符号表示，并让学生理解学习数学概念的“基本思路”.
问题5：分析概念的双向性.
（二）探究直线与平面垂直判定定理
问题5：用定义来判断线面垂直方便吗？能否将无限证明转化为有限证明？
小组讨论：
（1）如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面垂直？
（2）如果一条直线与平面内的两条直线垂直，则该直线与此平面垂直？
（3）如果一条直线与平面内的无数条直线垂直，则该直线与此平面垂直？
师生活动：
实验探究：如图，准备一块三角形的纸片，过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（，与桌面接触）.
（1）折痕与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕与桌面垂直？为什么？
进而获得猜想：如果一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直那么该直线与平面垂直.
追问1：为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就和这个平面垂直？
师生活动：教师引导学生从基本事实的推论2和平面向量基本定理出发，思考两条相交直线可以确定一个平面，并且这两条相交直线可以表示这个平面内的所有直线，因此，一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就垂直于这个平面，从而对直线和平面垂直的判定定理进一步作出解释.
追问2：为什么直线与平面内两条相交直线垂直就可以判断直线与平面垂直，而不是“两条平行直线”或“三条两两相交直线”或“无数条直线”呢？
师生活动：教师提出问题，引导学生进行探究，可以利用手中的笔、纸举出反例说明。
追问3：你能验证直线与平面垂直的判定定理吗？（提醒学生）可以结合平面向量基本定理说明.
设计意图：引导学生有条理地进行探究.通过实践操作，提出直线和平面垂直的判定定理的猜想．按照《标准（2017年版）》的要求，这一定理在本章不要求证明，而是在选择性必修课程“空间向量与立体几何”中进行证明.但在此处，可以结合实践操作举出反例，以及通过平面向量基本定理对此判定定理的正确性进行说明.为此，可以在学生探索出判定定理的猜想后，通过追问，提出对此定理进一步解释的问题，以使学生确认此定理的正确性.结合判定定理的得出
问题6：尝试分别用图形语言、符号语言准确地表示直线与平面垂直的判定定理，并说说它的作用.
师生活动：教师板书，学生完成导学案.
设计意图：实现图形语言、符号语言、文字语言之间的转换是让学生进一步理解判定定理的需要，也是发展学生逻辑思维的需要.同时，体现了线线垂直到线面垂直的转化.
实际应用直线与平面垂直的判定定理
例1求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
追问1：你能根据条件与结论画出示意图，写出已知、求证吗？
追问2：结合所画的图形，你认为证明此问题的思路是什么？还有其它方法吗？
师生活动：教师要求学生写出已知、求证，并与学生共同分析证明思路：根据直线与平面垂直的判定定理知，只需证明另一条直线垂直于这个平面内的两条相交直线即可.在此问题中，需要构造出平面内的两条相交直线，再利用“两条平行直线中的一条垂直某一直线，则另一条也垂直于这一条直线”进行转化.教师可请一名学生板书，其他学生自己在本上书写证明过程.学生交流，教师反馈，共同完成证明.
追问3：你还有不同的证明方法吗？
师生活动：学生尝试用直线与平面垂直的定义证明这个例题，然后交流.
设计意图：通过例题，巩固直线与平面垂直的判定定理，并结合例题让学生把握判定定理中“两条相交直线”这一关键.通过引导学生从线面垂直的定义出发进行证明的不同证法，让学生在运用不同方法证明的过程中提高思维的灵活性。在这个过程中使学生认识到证明直线与平面垂直一般有两种方法.一种方法是利用直线与平面垂直的定义直接证明，一种方法是利用直线与平面垂直的判定定理证明.
师生活动：教师引导学生实现三种语言之间的转化，找到解决问题的多种方法，学生独立完成，投影展示，教师给与点评.
设计意图：数学学习过程的梳理有助于加深学生对数学三大基本思想：抽象、推理、建模的理解，提高和升华学生的数学核心素养.
例2 （教材P152-2）
如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面.
师生活动：教师引导学生分析题目中的信息，观察图形，找到线面垂直的条件.学生独立完成，投影展示，师生共同评价.
设计意图：帮助学生解决此类问题，形成建模.
巩固练习：（教材P164-20）
如图，是⊙的直径，点是⊙上的动点，过动点的直线垂直于⊙所在平面，，分别是，的中点.判断直线与平面的位置关系，并说明理由.
师生活动：学生独立分析问题，找到解决问题的办法，并与他人分享.
设计意图：可以让学生感受到数学来源于生活又应用于生活的重要性.
归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答问题：
我们在知识上学到了什么？
我们思想方法上得到了哪些提升？
师生活动：教师引导，学生回答，教师再总结.
设计意图：让学生了解本节课所学内容，使学生在轻松愉悦的状态下结束课程.
布置作业
必做：三维设计8.2.1第一课时
选做：查阅资料，了解多种证明线面垂直判定定理的方法.
设计意图：激发学生继续探究的学习兴趣，培养学生善于联系生活发现问题的习惯.
板书设计
8.6.2直线与平面垂直的判定（一） 1.定义 例题 2.判定定理 PPT

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