资源简介

4.1.2垂线 教学设计
一、教学内容与教材剖析
◆教学内容
《垂线》是华师版《义务教育教科书·数学》七年级上册第四章第一节第2课时的内容.
◆教材地位与作用剖析
垂线是几何学习的一个基础性的重要知识，是后续研究三角形、四边形等平面图形以及平面直角坐标系乃至空间里的垂直关系等知识的重要基础，是它们的上位概念.前面学习了两条直相交线、对顶角，引导学生认识垂直是相交的特殊情况，是利用角的特殊数量关系来刻画的，这一过程中蕴含着 “从一般到特殊”的认识规律.
二、教学目标设定简析
◆教学目标
1.知识与技能：
（1）理解垂线、垂线段的定义.
（2）会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
（3）理解点到直线的距离的概念，掌握垂线的性质.
2.数学思考：
基于生活实际经历几何抽象的过程，通过观察、思考、探究等活动归纳出垂线的概念和性质，以相交线、对顶角、邻补角等背景知识为起点，进一步研究垂线，体会从一般到特殊的方法.
3.问题解决：
构建垂线知识框架图，了解图形与几何的研究思路和方法.利用垂线的性质解决简单的实际问题，提高应用意识.
4.情感态度：
感受数学学习的整体性和学习垂线的必要性和重要性，增强学习的自信心，激发探究新知的积极性.
5.素养培养：
（1）数学眼光：学会利用数学的视角表达现实生活中的相关问题.
（2）数学思维：在观察、猜想、实验等活动中，理解垂线的主要内容，感受类比学习的基本方法，发展学生的合情推理和演绎推理的能力.
（3）数学语言：培养学生有条理地分析问题和解决问题的能力，以及用数学语言表达世界的能力.
三、教学问题诊断透析
◆学情分析
学生在此之前已学习了两直线相交、对顶角、邻补角等知识，为本节课的学习打下了坚实基础，能够结合生活实际了解平面内两直线的垂直关系.但是在过一点画直线的垂线，以及用严谨的文字表述出垂线性质对学生来说比较困难，需要在老师的引导下完成.
◆教学重点：
垂线的定义和性质.
◆教学难点：
垂线的画法及归纳垂线的性质.
◆教学方法：
根据教学目标、重难点及学生认知水平，这节课主要采用情景激趣、操作体 验、自主学习尝试、合作探究交流等教学方法.
◆条件支撑
学校辅有电子白板、几何画板、实物展台等现代教学技术，本节课充分利用PPT课件和现代教学技术，点拨释疑.
四、教学实践与分析
◆课堂教学逻辑结构
环节一：激学——在实际中引入
环节二：探学——在探索中建构
环节三：练学——在练习中巩固
环节四：拓学——在拓展中强化
环节五：悟学——在自悟中提升
◆教学流程环节
环节一：激学——我从哪里来？
问题1：在日常生活中，我们经常可以看到线线互相垂直的图形，你能再举出一些例子吗？
预设：十字路口的两条道路，方格本的横线和竖线，铅垂线和水平线.
意图：以实际问题为起点，启发学生广泛联想，一方面让学生知道两直线垂直的概念是从实物中抽象出来的，另一方面使理论与实践相结合.
环节二：探学——我是谁？
活动一：互助探究
问题2：如图，直线与相交于点，固定，将直线绕着点旋转，当的位置发生变化时，直线、所成角也会发生变化. （教材第172页引言）
引导学生思考：
（1）当与所成锐角为时，其余的角分别为多少？
（2）当与所成角为时，其余的角分别为多少？
（3）与成的位置有几个？此时直线与有什么位置关系？
图 2
师生活动：教师演示并提出问题，学生看书自学教材P172-173，和同桌说说你对“互相垂直”、“垂线”、“垂足”的理解.
教师总结：
1.垂直定义：当两条直线、所构成的四个角中有一个为直角时,其他三个角也都成为直角，此时直线、互相垂直，它们的交点叫做垂足.我们把其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.
2.表示方法：直线、垂直，记作: ，垂足是.
3.应用格式：
反之，.
意图：教师把“互相垂直”、“垂线”、“垂足”三个词抛给学生，采用对话文本、看书材自学的方式，让学生自主学习，在交流过程中引导学生思考比较,紧紧抓住概念中的几个核心词进行教学，特别是对“互相”的理解.结合图形语言、文字语言、符号语言使学生从不同角度认识垂直，并在板书上呈现清晰的思维导图.
活动二：动手实践
问题3：画已知直线的垂线，这样的垂线能画出几条？
师生活动：学生尝试用不同作图工具画的垂线，教师请三位学生上台展示，发现得出可以画出无数条已知直线的垂线.
问题4：经过一点画已知直线的垂线有几种情况？
追问1：经过直线外一点画已知的垂线，这样的垂线能画多少条？（教材第173页试一试）
追问2：经过直线上一点画已知的垂线，这样的垂线能画多少条？
问题5：通过画图，你发现过一个点可以画几条直线与已知直线垂直？
师生活动：教师用问题链的方式引导学生思考，展示解决问题得思考过程，发现这个点可以在直线上，也可以在直线外，并引导学生动手画图归纳得到垂线性质.
教师总结：经过一点(已知直线上或直线外),能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
意图：充分保障学生作为课堂主体的参与度，引导学生分类讨论，自主探究，展现“画已知直线的垂线——过一点画垂线——过哪一点画垂线——分类讨论作图——观察总结结论”的解决问题的完整思考过程.
活动三：深入挖掘
问题5：体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？
引导学生思考：
（1）你能将这个实际问题转化成数学问题吗？
（2）在直线上有无数个点，试取几个点与点相连，比较一下它们的大小关系，你有什么发现？
（3）你能猜想一下最短的位置会在哪？它唯一吗？为什么
（4）你能用一句话总结观察得出的结论吗？
师生活动：引导学生将跳远测量问题转化为数学问题并画出图形，引导学生通过动手操作，找到最短的位置，归纳得出垂线的性质.
教师总结：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称：垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离.
意图：通过学生熟知的跳远问题归纳得到垂线段最短，并以此为依据学习点到直线的距离的概念，加深对知识的理解，感受数学学习的整体性和学习垂线的必要性和重要性，增强学习的自信心，激发探究新知的积极性.
环节三：练学——我能做什么？
练习1： 如图，点是直线上一点，,，则（教材第180页习题2）
师生活动：教师提问，学生口答.
意图：通过两条直线垂直得到两直线夹角为，借此计算剩余角度，进一步巩固垂直定义.
练习2： 如图，，在下列各语句中填入适当的文字或数字：（教材第175页练习）
（1）点在直线　　 上，点在直线　　 外；
（2）直线　　 与直线　　 相交于点，点是直线　　 与直线　　 的交点，也是直线　　 与直线　　 的交点，又是直线　　 与直线　　 的交点；
（3）直线　　 垂直于直线　　 ，垂足为点　　 ；
（4）过点有且只有 　 条直线与直线垂直.
师生活动：学生独立思考，教师巡视并加以指导,小组交流解题经验，解题过程可由学生评价.
意图：区别垂直相交和相交，会从不同角度去掌握判断两直线相交的方法，同时巩固两直线垂直的性质.
环节四：悟学——我收获了什么？
问题：本节课我们学习了什么知识？感受最深的是什么？领悟了什么方法？ 接下来我们会对垂线的哪些方面再进行研究？
师生活动：教师引导学生对本节课所获进行回顾小结.
意图：本环节让学生自主分享交流学习收获与心得，注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会，同时在分享中思考，在思考中分享，提升学生的综合素养.
环节四：拓学——我能走多远？
练习3：在如图所示的各个三角形中，分别过点画出直线的垂线，并量出三角形顶点到直线的距离.（教材第176页习题2）
师生活动：请三名学生分别上台展示，其他学生在练习本上完成，完成后小组长负责检查，纠正出现的错误.
意图：让学生通过动手操作，掌握垂线的画法——一落、二移、三画，并进一步区分三种不同三角形对应垂线的画法，特别强调钝角三角形的画法.
练习4：如图，线段和点在四边形纸片上，你能通过折纸的方法，折出经过点且与线段垂直的直线的折痕吗？能折出线段的垂直平分线吗？说说你的想法.（教材第181页习题8）
意图：让学生明确画一条线段的垂线其实质就是画它所在直线的垂线，让学生通过折纸作垂线，体会垂线的存在性和唯一性.
环节六：布置作业，巩固提高
必做题：教材第176页练习3
选做题：教材第181页习题B组第6、第7题
【板书设计】
4.1.2 垂线 思维导图 例题展示

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