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初中数学沪科版（新课标）
第十二章 函数与一次函数
12.2 一次函数
第1课时
一、教学目标
1.会画正比例函数的图象，了解正比例函数的图象是直线，在画图过程中体会两点可以确定一条直线.
2.掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题.
3.体会“数形结合”的数形思想方法.
4.结合描点作图，培养认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯.
二、教学重难点
重点：会画正比例函数的图象，了解正比例函数的图象是直线，在画图过程中体会两点可以确定一条直线.
难点：掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题.
三、教学过程设计
环节一：情境导入
思考 ：我们学习过哪些方程和不等式，回顾一下函数概念？
预设答案：以前我们学习了方程，一元一次方程、二元一次方程；不等式、一元一次不等式的内容.
函数的概念：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值的范围内的每一个值， y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x是自变量.
议一议： 你能根据一次函数这个名字，类比一元一次方程、一元一次不等式的概念举出一些一次函数的例子吗？
师生活动：教师抛出问题，学生小组之间进行交流.
设计意图：类比前面所学内容，自然地引出本节课的研究课题~一次函数.
思考：有如下函数，观察表达式，它们有什么共同特点？
h=30t+1800 ；；S=300t ； y=2x ； y=2x ； y=2x+4 .
提示：
①这些函数中，表示函数自变量的式子，是关于自变量的几次式？
②都可以写成什么形式？
特点 ①这些函数的表达式都是关于自变量的一次式.
②可以写成：y=kx+b的形式.
概念形成：一般地，形如y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.
学生活动：观察、思考、学生分组讨论、交流.
设计意图：从具体解析式入手，使学生认识到一次函数的解析式的基本结构，通过这些问题使学生进一步加深对函数的理解，为引出一次函数和正比例函数的概念做好铺垫.
探究 一次函数y = k x + b(k、b为常数，且k≠0)在形式上具有怎样的结构特征呢？
形式特征 ：常数k与自变量的乘积与常数b的和的形式.
结构特征：① k≠0；②自变量x的次数是1；③常数项b为任意实数.
重点强调：一次函数解析式中，虽然存在四个字母，但是只有x，y是变量，k和b都是常量.
思考 一次函数y = k x + b(k、b为常数，且k≠0)，k≠0，那b呢？
其中，当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx(k为常数，且k≠0).
如前面的：y=2x ；y=-2x ；s=80t. 这些变量间的关系，就是小学学过的正比例函数，又因为这些函数中自变量和因变量之间是一一对应的关系，
概念形成：所以：一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
y=2x 中比例系数是2；
y=-2x中比例系数是-2；
s=80t中比例系数是80.
归纳：正比例函数是一次函数的特殊情形.正比例函数一定是一次函数，反过来，一次函数不一定是正比例函数.
学生活动：学生作出判断，说出正比例函数的特殊的一次函数.
设计意图：感受数学定义的严谨性，培养学生勤于思考的习惯.
探究：下面，来研究正比例函数的图象与性质.
前面画过函数y=2x，y=-2x及另外一些正比例函数的图象.
归纳：①正比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象是一条经过原点的直线.
②通常我们把正比例函数的图象叫做直线y=kx.
思考：如何快速画出正比例函数图像？
分析：①两点确定一条直线；②正比例函数的图象经过(0，0)和(1，k)两点.
所以画正比例函数的图象，只要先描出两点(常取②中两点)，再过这两点画直线.
画一画：在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图象:
y= ， y=x， y=3x .
解：列表：(为便于比较，三个函数值计算表排在一起)
操作：仿照画一画，在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图象:
y= ， y=， y= .
议一议:观察下图中各函数的图象
(1)请说出正比例函数y=和y=的图象经过的象限;
预设答案：①函数y=经过一三象限；②函数y=经过二四象限
讨论：结合函数y= 和y=x图形，你发现什么规律？
(2)当k>0时，正比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象经过哪几个象限 k<0呢
归纳：①函数y=k(k>0)经过一三象限；②函数y=k(k<0)经过二四象限
(3)当k>0时，函数图象从左向右看，变化趋势是怎样的 当自变量x增大时，函数值y是怎样变化的 k<0呢
归纳：①函数y=k(k>0)图象自左至右上升，即y随x的增大而增大.
②函数y=k(k<0)图象自左至右下降，即y随x的增大而减小.
(4)的大小对正比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象有什么影响
预设答案：
当k>0时，k越大，y随x的增大而增大(或减小)的速度越快.
当k<0时，k越小，y随x的增大而增大(或减小)的速度越快.
归纳：越大，y随x的增大而增大(或减小)的速度越快.
总结：一般地，正比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)有下列性质
①函数y=k(k>0)经过一三象限
②函数y=k(k>0)图象自左至右上升，即y随x的增大而增大.
③函数y=k(k<0)经过二四象限
④函数y=k(k<0)图象自左至右下降，即y随x的增大而减小.
⑤越大，y随x的增大而增大(或减小)的速度越快.
师生活动：画出函数图象，观察并思考其性质.得出关于k对函数图象的另一大影响.
设计意图：在多个实例的基础上，归纳得到正比例函数图象的特征，潜移默化地对学生进行了概括、归纳、比较、分析的思维方法的教育. 了解事物的特征就可以使解决问题变得更简捷一些，培养学生分析问题、解决问题的能力，对数形结合思想的理解.
环节三：应用新知
例1 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1) y=x4 ； (2) y=5x 6 ； (3) ； (4) y=
解：(1)、(4)是一次函数.
(4)是正比例函数.
归纳：判断函数是一次函数需要满足：
①能够变形转化为：y=kx+b(k≠0)的形式；
②自变量x的次数是1.
判断函数是正比例函数需要满足：
①能够变形转化为：y=kx (k≠0)的形式；
②自变量x的次数是1.
例2 已知正比例函数y=mx的图象经过点(m，4)，且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.
解：∵正比例函数y=mx的图象经过点(m，4)
∴4=m×m. 解得m=±2.
又∵y的值随着x值的增大而减小，
∴m<0，故m=-2.
学生活动：学生自主学习、合作交流，思考后写出答案.
设计意图：通过例题，进一步巩固所学知识，加深对正比例函数与一次函数概念的理解，同时强化了正比例函数的性质.
环节四：课堂练习
教师活动：通过抢答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程.
1. 正比例函数y=k1x和y=k2x的图象如图，则k1和k2的大小关系是( )
A. k1>k2 B. k1=k2
C. k12. 函数y=-7x的图象经过第_________象限，经过点
_______与点 ，y随x的增大而_______.
3. 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
(1) y=-8x； (2) y=8x ； (3) y= ； (4) y= 8x-4 .
4.已知函数y=(m-1)x+1-m
(1)当m为何值时，这个函数是一次函数
(2)当m为何值时，这个函数是正比例函数
答案：
1.A
2.二、四；(0，0)；(1，-7)；减小.
3.(1)(4)是一次函数；(1)是正比例函数.
4.解：(1) 由题意可得:m-1≠0，解得m≠1.
即m≠1时，这个函数是一次函数.
(2)由题意可得
m-1≠0，1- m =0解得m=-1.
即m=-1时，这个函数是正比例函数.
学生活动：自主完成练习，然后集体交流评价.
设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生应用知识的能力.
环节五：总结归纳
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识．

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