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初中数学沪科版（新课标）
第十二章函数与一次函数
12.2 一次函数
第3课时
一、教学目标
1.会用待定系数法确定一次函数的解析式.
2.了解两个条件确定一次函数，一个条件确定正比例函数.
3.经历确定一次函数的解析式的过程，体验数形结合，具体感知数形结合思想在一次函数中的应用.
4.通过让学生经历先设出函数表达式，根据题意列出方程再求解的过程，带领学生学习待定系数法，激发学生探索、总结数学方法的兴趣.
二、教学重难点
重点：会用待定系数法确定一次函数的解析式.
难点：经历确定一次函数的解析式的过程，体验数形结合，具体感知数形结合思想在一次函数中的应用.
三、教学过程设计
环节一：情境导入
【回顾】
前面我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出一个具体的一次函数解析式吗？
预设答案：y=x+2(其他答案合理亦可)
如何画出它的图象？
预设答案：两点法
【思考】
反过来，如果知道一条直线经过两个已知点，能否确定这条直线的表达式呢？
学生活动：思考举手回答，并画出相应的函数图象，小组交流，合作探究.
设计意图：复习旧知，引导学生在质疑中发现问题，在问题中展开教学，可以激活学生的数学思维，在解决问题中深化学生对知识的理解.
环节二：探究新知
【思考】
下面，我们用具体例子进行探究.
如果知道一个一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5；当x=5时，y=2.写出函数表达式并画出它的图象.
分析：因为y是x的一次函数，设其表达式为y=kx+b(k≠0).
∴求函数表达式的关键是根据已知条件确定表达式y=kx+b中的系数k和b的值.
∵当x=4时，y=5；当x=5时，y=2；∴(4，5)与(5，2)这两点的坐标必适合解析式.
由题意得，
解方程组得
所以函数表达式为 y=3x+17.
图象如下图中的直线：
学生活动：学生独立完成解答，点名板演解题过程.
设计意图：培养学生的动手解题能力和规范解题步骤.
问题：
给两点可以确定一次函数的解析式，一点可以吗？更多点呢？
从几何角度来看：一点不够，因为两点确定一条直线. 两个及以上都可以，但是两点足够.
从代数角度来看：一次函数的解析式中含有k，b两个待定系数，因此需要两个点的坐标，列两个方程，即得二元一次方程组.
学生活动：学生分组讨论、交流.
设计意图：培养学生从多个角度思考问题，全面认识事物的能力.
【归纳】
这里，先设所求的一次函数表达式为y=kx+b(k，b是待确定的系数)，再根据已知条件列出关于k，b的方程组，求得k，b的值.这种确定表达式中系数的方法叫做待定系数法.
★你能归纳出待定系数法求函数解析式的基本步骤吗？
①设：设一次函数的一般形式 y=kx+b(k≠0) ；
②代：将图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式，组成关于系数k，b的 二元一次 方程组；
③解：解二元一次方程组得k，b；
④写：把k，b代入所设解析式中，写出解析式.
★通过前面的学习，我们知道了函数解析式和图象可以相互转化.
这体现了：数形几何的基本思想方法
学生活动：在教师的指导下，学生归纳总结待定系数法定义及其用待定系数法求一次函数解析式的基本步骤.
设计意图：锻炼学生的总结归纳能力和语言表达能力.
环节三：应用新知
教师活动：教师提出问题，对于学生的回答，给予激励性评价.
【典型例题】
【例1】已知某一次函数的图象经过点A(5，0)，B(1，4).求这个一次函数的表达式.
审题关键：用待定系数法，通过设、代、解、写四个步骤求出.
解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0).
把A(5，0)，B(1，4)代入表达式，得：
解方程组得
所以这个一次函数的表达式为y=x+5.
【例2】一次函数的图象经过点P(2，3)，且与直线y=平行.求这个函数的表达式.
分析：解析式y=kx+b(k≠0)中的k决定这条直线的倾斜程度.当两个函数的k值相同、b值不同时，它们的图象平行.
解：设函数表达式为y=kx+b(k≠0).
由题意可得：k= ，∴y=+b
又∵直线y=+b过点P(2，3)，
∴3=+b ，解得b=2.
即y=+2.
学生活动：学生自主学习、合作交流，思考后写出答案.
设计意图：巩固待定系数法求函数解析式的一般步骤，进一步体会数形结合的思想.
环节四：课堂练习
教师活动：通过抢答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程.
1. 已知y=ax+b，当x=2时，y=2；当x=2时，y=6.求a和b的值.
2. 已知一次函数的图象与直线y=4x+1平行，并且经过点(2，5)，求此一次函数的解析式，并求出其图象与坐标轴围成的三角形的面积.
3. 已知一次函数，当1≤x≤4时，2≤y≤1，求这个一次函数的解析式.
学生活动：自主完成练习，然后集体交流评价.
设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生应用知识的能力.
答案：
1.解：将x=2，y=2和x=2，y=6分别代入y=ax+b得
解得a=1，b=4.
2.解：(1)∵一次函数的图象与直线y=4x+1平行，
∴设一次函数的解析式为y=4x+b
∵一次函数经过点(2，5)，
∴5= 42+b 解得b= 13
∴一次函数的解析式为y=4x+13.
(2)设直线y=4x+13分别与x轴、y轴交于A、B两点，
令x=0，则y=13，B(0，13)；
令y=0，则x= ，A(，0).
∴=
3.解：当k0时，即x=1时，y=2；x=4时，y=1.
∴
解得k=1，b=3. ∴ y=x3.
当k0时，即x=1时，y=1；x=4时，y=2.
∴
解得k=1，b=2. ∴ y=x+2.
综上：这个一次函数的解析式为y=x3或y=x+2.
环节五：总结归纳
学生活动：在教师的引导下，回顾反思本节课所掌握的知识、技能、思想方法.
设计意图：培养学生总结知识的能力，巩固新知.

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