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初中数学沪科版（新课标）
第十二章函数与一次函数
12.4一次函数
第4课时
一、教学目标
1.了解简单的分段函数，并能运用分段函数求函数值的问题.
2.能作出分段函数的图象，利用它解决生活中的简单应用问题.
3.经历在分析、思考的基础上，让学生通过观察、感悟分段函数的意义过程，加深对分段函数概念、图象的认识，提高分析、解决问题的能力.
4.通过从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.
二、教学重难点
重点：理解分段函数的特点，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象.
难点：在多变量的问题的解决中，能合理选择某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数.
三、教学过程设计
环节一：情景导入
回顾：我们上节课学习了待定系数法，你还记得利用待定系数法确定函数表达式的一般步骤吗？
学生活动：回顾待定系数法解题步骤.
设计意图：复习旧知，可以激活学生的数学思维，培养学生的应用意识.
环节二：探究新知
【例5】为节约用水，某市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过16m ，每立方米收取1.3元，超过16m 时，超过部分每立方米2元；污水处理费为每立方米1.2元，现设一户每月用水x m ，应缴水费y元
〔1〕给出y与x之间的函数表达式；
分析：用水时以16m 为界，分成两段，收费标准不一样：
当x≤16时，每立方米收费(1.3+1.2)元；
当x＞16时，超过部分每立方米收费(2.0+1.2)元．
解：y与x之间的函数表达式为：
y=
这样的函数叫做分段函数·
注意：它是一个函数；要写明自变量取值范围
〔2〕画出上述函数图象；
如图，函数图象是一段折线.
〔3〕当该市一户某月的用水量为x=10或x=20时，求其应缴的水费；
分析：
先确定要求值的自变量属于哪一段范围；
然后代入该段的解析式求值.
解：当x = 10 时，y = 2.510 = 25(元)
当x = 20 m 时，y = 3.22011.2= 52.8(元)
即当用水量为10时，该户应缴水费25元；当用水量为20m 时，该户应缴水费52.8元．
〔4〕该市一户某月缴水费59.2元，求该户这个月用水量.
分析：把对应y的值代入函数解析式
解：∵y = 59.2＞ 2.5，
可见该户这月用水超过16，
因此 3.2x11.2= 59.2 ，解方程得x =22.
即该户本月用水量为22.
学生活动：学生分组讨论、交流，点名板演解题过程.
设计意图：经历一般规律的探索过程，培养学生的抽象思维能力，经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，建立起分段函数的概念，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心，体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.
环节三：方法归纳
【归纳】
分段函数：在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数.
注意：
〔1〕书写解析式时要用大括号将几个式子括起来；
〔2〕每个式子后面标明自变量的取值范围；
〔3〕临界点要根据实际情况写在其中一个自变量的范围内.
学生活动：在教师的指导下，学生归纳总结分段函数的概念，及其注意事项.
设计意图：同时锻炼学生的总结归纳能力和语言表达能力.
环节四：课堂练习
教师活动：通过抢答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程.
1.某地规定，每月每户的用电量xkW·h与应缴电费y元的关系如图所示. 求出y与x之间的函数表达式.
【归纳】
☆由分段函数的图象确定函数解析式的方法：
〔1〕定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型；
〔2〕设函数式：设出函数的解析式；
〔3〕列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程 (组)，求出该段内的解析式；
〔4〕下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.
2. 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x (分钟)与相应话费y (元)之间的函数图象如图所示：
(1)月通话为100分钟时，应交话费 元；
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
(3)月通话为280分钟时，应交话费多少元？
答案：
1.解：①当0≤x≤50时，
设y与x之间的函数关系式为y=kx(k≠0)，代入(50，25)，可得25=50k. 解得k=0.5，∴y=0.5x.
②当x＞50时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).
代入(50，25)、 (100，75) ，可得解得：，∴y=x25.
综上可得：
2.解：(1)40
(2)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).
由图上知：x=100时，y=40；x=200时，y=60.
则有，解得，∴y=x+20
把x=280代入y=x+20得，y=76 ，即当月通话为280分钟时，应交话费76元.
学生活动：在自主完成练习，然后集体交流评价.
设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生应用知识的能力.
环节五：总结归纳
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.
学生活动：在教师的引导下，回顾反思本节课所掌握的知识、技能、思想方法.
设计意图：培养学生总结知识的能力，巩固新知.

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