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初中数学沪科版（新课标）
第十二章 函数与一次函数
12.2.5 一次函数
第5课时
一、教学目标
1. 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系.
2.能根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，进一步发展数形结合的意识.
3.通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系.
4.通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究，让学生体会数学的融会贯通，发现数学的美.
二、教学重难点
重点：理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系.
难点：根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集.
三、教学过程设计
环节一：情境导入
谁对呢？
其实两个人都是对的，这个故事告诉我们：视角不同，即使同一个东西看在眼里也是不同的.
设计意图：以情境的方式导入，激发学生的学习兴趣，同时揭示本节课的课题.
教师活动：教师提出问题，让学生思考.
环节二：探究新知
教师活动：教师提出问题并引导学生思考分析问题.
探究 一次函数与一元一次方程关系
问题1：
(1)解方程2x+6=0；
(2)已知一次函数y=2x+6，问x取何值时，y=0？
解：(1) 2x+6=0 2x=-6 x=-3
(2) 当y=0时 ，即2x+6=0 2x=-6 x=-3
思考：这两个问题有什么关系？
从“函数值”的角度看：求一元一次方程2x+6=0的解，可转化为求一次函数y=2x+6中y=0时x的值.
思考：方程2x+6=0的解(x= -3)与一次函数y=2x+6的图象又有什么关系？
从“函数图象”的角度看：求一元一次方程2x+6=0的解，就是求直线y=2x+6与x轴交点的横坐标.
归纳：我们知道任何一元一次方程都可以转化为kx+b=0的形式，所以：
思考：如图，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的一元一次方程ax+b=4的解是 .
分析：一元一次方程ax+b=4变形ax+b 4=0，就是函数y= ax+b 4中函数值等于0，可是本 题中已知的是一次函数y=ax+b的图象.不一致，要怎么解决呢？
从“函数图象”的角度看：解一元一次方程ax+b=4在直线y=ax+b上，取纵坐标为4的点，看它的横坐标是多少.
从“函数值”的角度看：解一元一次方程ax+b=4求一次函数y=ax+b中y=4时，x的值.
议一议：你能把得到的结论推广到一般情况吗？
归纳：一般地，一元一次方程ax+b=c(a、b、c为常数，a≠0) 的解就是当函数 y=ax+b 的函数值为 c 时的自变量 x 的值.
如：求4x+5=9的解求一次函数y=4x+5的函数值为9时，自变量的值.
问题2：我们知道任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0的形式，你能用函数的观点解释这个方程吗？
教师活动：引导学生得出，解任何一元一次方程，都可以转化为求一次函数值为0时自变量的值的问题.
【探究】一次函数与一元一次不等式
问题2：根据一次函数y=2x+6的图象，你能分别说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？
教师活动：引导学生类比一次函数和一元一次方程的关系，试着用函数观点看一元一次不等式．
分析 ①不等式2x+6>0就是函数y=2x+6中函数值y>0.
②直线y=2x+6在x轴上方的部分所有点的纵坐标都满足y>0，即2x+6 >0 ， 此时x > 3 .故此时一元一次不等式 2x+6>0的解集为 x> 3 .
同样地，不等式2x+6<0就是函数y=2x+6中函数值y<0，即直线y=2x+6在x轴下方的部分.故 2x+6<0的解集为 x< 3.
追问：你能利用图象说出一元一次不等式2x+6<2时的解集吗？
在同一直角坐标系中作出直线y=2，它与直线y=2x+6相交于点 < 2，2) .直线y=2x+6在直线y=2下方部分的所有点的纵坐标都满足 y<2 ，即2x+6 <2 .横坐标都满足 x< 2 .故不等式2x+6<2的解集为 x< 2 .
归纳：你能总结出利用图象一元一次不等式kx+bc或kx+bc的解集方法吗？
(1)在同一直角坐标系中作出直线y= kx+b 和直线y=c；
(2)直线y= kx+b在直线y=c下方的部分所对应的x的取值范围就是一元一次不等式kx+bc 的解集.
我们知道任何一元一次不等式都可以转化为kx+b>0(或kx+b<0)的形式，所以：
师生活动：在教师的指导下归纳总结
设计意图：锻炼学生的总结归纳能力和语言表达能力.
环节三：应用新知
例1 画出函数y= 3x+6的图象，结合图象：
(1)求方程 3x+6=0的解；
(2)求不等式 3x+6>0 和 3x+6<0的解集.
分析：方程 3x+6=0的解就是函数y= 3x+6与x轴交点的横坐标；
不等式 3x+6>0的解集是x轴上方的图象所对应的自变量x的取值范围；不等式 3x+6<0的解集是x轴下方的图象所对应的自变量x的取值范围.
解：
〔1〕如图所示，函数y= 3x+6图象与x轴交点B的坐标是(2，0)，∴方程 3x+6=0的解就是交点B的横坐标x=2.
〔2〕结合图象可知，y>0时x的取值范围是x<2；y<0时x的取值范围是x>2.∴不等式 3x+60 的解集是x<2，不等式 3x+6<0 的解集是x>2.
【例2】画出函数y= 2x+3的图象，结合图象：求不等式组 3≤ 2x+3≤7的解集.
分析：不等式组 3≤ 2x+3≤7的解集就是直线y= 2x+3在直线y=3与y=7之间的部分所对应的x的取值范围
解：∵y= 2x+3，
∴当y=<3时，x=3；当y= 7时，x=<2.
结合函数的图象，可得不等式组 3≤ 2x+3≤7的
解集是 2≤x≤2.
师生活动：教师展示例题，学生自主学习、合作交流，思考后写出答案.
设计意图：通过例题，进一步巩固所学知识，加深对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的理解.
环节四：课堂练习
1. 画出一次函数y=-2x 6的图象，结合图象求：
〔1〕x 时，y=0；
〔2〕x 时，y>0；
〔3〕x 时，y<0；
〔4〕x 时，y>6.
2. 直线y=ax+b(a≠0)过点A(0，2)，B(1，0)，则关于x的方程ax+b=0的解为(　　).
A. x=0 B. x=2 C. x=1 D. x=3
3 . 如图，一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)与正比例函数y=ax(a为常数，且a≠0)的图象相交于点P，则不等式kx+b>ax的解集是 .
答案：
1.=-3 ； <-3 ；>-3 ；<-6
2.解：所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．
∵直线y=ax+b过B(1，0)，
∴方程ax+b=0的解是x=1，故选：C．
3.解：不等式kx+b>ax的解集求一次函数y=kx+b的图象在y=ax的上方时，所对应的x的取值范围.
答案：x <2
环节五：总结归纳
设计意图：通过小结给出本节课的知识结构，让学生进一步熟悉本节课所学的知识.

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