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第十三章 全等三角形
13.2全等图形
本节课是冀教版数学八年级上册第十三章第二节，是“全等三角形”章节的基础，也是初中数学“图形与几何”领域的重要内容.从知识体系看，它承接了线段、角、三角形的基本概念及相似图形的学习，为后续等腰三角形、四边形的探究以及全等三角形的证明与应用奠定基础；从能力培养看，通过理解全等图形的性质，能有效提升学生的空间想象、逻辑推理和数学建模能力，.
教材内容以“概念—性质—应用”为主线：首先通过图片引入全等图形的概念，强调“完全重合”的本质特征；其次，学生作图、剪图、小组交流结合多媒体动态演示，全等三角形是将能够完全重合的特征数学化，即“全等三角形的对应边相等，对应角相等”是认识全等三角形的关键，为后续学习全等三角形的其他性质奠定基础，也为学生今后进一步学习几何图形的有关知识打下良好的基础，发展几何直观和推理能力，体验数学发现的乐趣，形成主动探索几何规律的学习态度.
1.了解全等图形的概念，会依据全等图形的概念判断两个图形是不是全等图形.
2.理解全等三角形的概念，能识别两三角形是否全等，并能准确找出全等三角形的对应边、对应角，发展学生的空间观念.
3.掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质，能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算.
4.经历观察、猜想、验证等过程，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的直观想象能力.
重点：理解全等三角形的概念，能识别两三角形是否全等，并能准确找出全等三角形的对应边、对应角.
难点：掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质，能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算.
情境导入
问题：下面各组图形有什么共同特点呢？
答案：每组图形都是完全一样的.
追问：把每组图形叠在一起，你发现了什么？
答案：每组图形它们能够完全重合.
问题：下面的两个图形，能够完全重合吗？
答案：每组图形它们能够完全重合.
追问：能完全重合的图形是什么图形呢？
我们一起来探究吧！
师生活动：教师提出问题，引发学生思考.
设计意图：通过生活中的图片引入，使学生初步形成全等图形的印象，为学习全等图形做好铺垫，同时让学生快速进入学习状态，增强学习的自信心.
探究新知
活动一：探究全等图形
问题：如图，观察给出的五组图形.
(1)在每组中，两个图形的形状和大小各有怎样的关系？
(2)先在半透明纸上画出同样大小的图形，再将每组中的一个图形叠放在另一个图形上，观察它们是否能够完全重合.
答案：（1）(1)(2)(3)中图形的形状和大小都一样，(4)(5)中的图形形状和大小都不一样.
(1)(2)(3)中的图形能够完全重合，(4)(5)中的图形不能完全重合.
师小结：把能够重合的两个图形的叫作全等图形.
在这两个全等图形中，互相重合的点叫作对应点.
问题：观察下面三组图形，它们是不是全等图形 为什么？
答案：
师小结：两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形的位置无关.
师生活动：学生独立思考，动手作图，并将剪下的图与同学比较、交流，教师利用多媒体演示.
设计意图：先观察再操作，然后与同学交流，符合学生的认知规律，使全等图形概念的引入显得非常自然，便于学生理解全等图形的概念.
活动二：探究全等三角形
问题：能够重合的两个三角形是什么三角形呢？
答案：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
在两个全等的三角形中，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角.
追问：△ABC与△A'B'C'是两个全等三角形，对应点，对应边，对应角分别是什么？
答案：对应点：点A和点A'，点B和点B'，点C和点C'
对应边：AB和 A'B'，AC和 A'C'，BC和B'C'
对应角：∠A和∠A'，∠B和∠B'，∠C 和∠C'
思考：△ABC与△A'B'C'是全等的两个三角形，怎么用符号表示呢
师小结：“全等”用符号“”表示，读作“全等于”.
注意：表示两个全等三角形时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.
问题：两个全等三角形的对应边有什么关系？对应角又有什么关系？
追问：两条能够完全重合的线段有什么关系？
答案：两条能够完全重合的线段长度相等.
追问：两个能够完全重合的角有什么关系？
答案：两个能够完全重合的角大小相等.
师小结：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
几何语言：∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB= A'B'，AC= A'C'，BC= B'C'，
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'.
师生活动：教师提出问题引导学生思考，让学生尝试计算并小组讨论，教师巡视指导.在讨论后给出全等三角形的性质.
设计意图：通过观察与思考，能准确识别全等三角形的对应关系，学生小组讨论，教师指导，得出全等三角形的性质，提高自主学习和合作交流能力，培养探究精神.
应用新知
例1 如图， △ABC≌DBE，写出其对应边和对应角.
分析：根据书写规范可知点A和点D，点B和点B，点C和点E分别是对应点，两对应点的夹边是对应边，对应边所对角是对应角.
解：
边AB与边DB，边BC与边BE，边AC与边DE分别是对应边；
∠A与∠BDE，∠ABC与∠DBE，∠C与∠E分别是对应角.
师小结：全等三角形中对应元素的确定方法：
(1)图形特征法：①最长边对应最长边，最短边对应最短边;
②最大角对应最大角，最小角对应最小角;
③相等的边（角）为对应边（角）.
(2)位置关系法：①公共边是对应边；公共角或对顶角是对应角；
②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边.
③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角.
(3)字母顺序法：根据书写规范按照对应点确定对边或对应角.
师生活动：教师引导学生根据全等三角形的相关概念寻找对应边和对应角，师生共同分析，得出结果.
设计意图：加深学生对基本概念的理解，能够准确找出全等三角形中的对应边与对应角.
例2 已知：如图：△ABC △DEF，∠A=78°，∠B=35°，BC=18，
(1)写出△ABC和△DEF的对应边和对应角.
(2)求∠F的度数和边EF的长.
解：(1)边AB和边DE， 边BC和边EF，边AC和边DF分别是对应边；
∠A和∠D，∠B和∠DEF，∠ACB和∠F分别是对应角.
(2)在△ABC中，∵∠A+∠B+∠ACB= 180°(三角形内角和定理），
∴∠ACB=180°- ∠A - ∠B =180°-78°-35°=67°.
∵△ABC△DEF，
∴∠ACB=∠F=67°，BC=EF=18.（全等三角形的对应边相等，对应角相等.）
师生活动：找三名学生板演，教师利用小组评价机制进行加分.
师小结：全等三角形的性质是证明线段、角相等的常用依据．
设计意图：在例2的基础上，稍加难度，逐步让学生掌握利用全等三角形的性质解决问题的方法，培养学生分析问题、解决问题的能力.
例3. 如图，已知△ABF≌△CDE.
(1)若∠B＝38 °，∠DCF＝42°，求∠EFC的度数；
(2)若BD＝10，EF＝2，求BF的长.
解：（1）∵△ABF≌△CDE，
∴∠D＝∠B＝38°，（全等三角形的对应角相等）
∴∠EFC＝∠DCF＋∠D＝42°＋38°＝80°.
（2）∵△ABF≌△CDE，
∴ BF＝DE，（全等三角形的对应边相等）
∴ BF－EF＝DE－EF，即 BE＝DF.
∵ BD＝10，EF＝2，
∴ BE＝(10－2)÷2＝4，
∴ BF＝BE＋EF＝4＋2＝6.
师小结：找准全等三角形的对应边，分析并发现线段之间的和、差、倍、分的数量关系是解决此类题目的关键.
师生活动：学生独立思考，指定学生说一说解题思路.
设计意图：进一步巩固学生利用全等三角形的性质求线段的长度和角的度数，培养学生解决问题的能力.
课堂练习
1.写出下列每组全等图形中的对应边和对应角.
解：(1)△ABC△EDF，
边AB与边ED，边BC与边DF，边AC与边EF分别是对应边，∠A与∠E，∠B与∠D，∠C与∠F分别是对应角.
(2)四边形ABCD与四边形HGEF全等，
边AD与边HF，边DC与边FE，边BC与边GE，边AB与边HG分别是对应边；∠A与∠H，∠D与∠F，∠C与∠E，∠B与∠G分别是对应角.
2.如图，△AMB△AMC，请写出图中的相等线段.
解：∵ △AMB△AMC，
∴AB=AC，BM=CM.（全等三角形的对应边相等.）
3.如图，已知△ABE△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列选项不正确的是( )
A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=CD
答案：D.
4.如图，△ABC△CDA，写出图中相等的边和角.
解：∵△ABC△CDA，
∴AB=CD ，BC=DA，AC=CA，
∠B=∠D，∠BCA=∠DAC，∠BAC=∠DCA.（全等三角形的对应边相等，对应角相等.）
5.如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=37°，AB=10，AD=6，G为AB延长线上一点，求∠EBG的度数和CE的长.
答案：∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠C=37°，(全等三角形的对应角相等)
∴∠EBG=180°-∠ABE=180°-37°=143°.
∵△ABE≌△ACD，
∴AE=AD=6，AC=AB=10，(全等三角形的对应边相等)
∴CE=AC-AE=10-6=4.
6.如图，△ABC△DEF，且B，C，F，E在同一直线上，判断AC与DF的位置关系，并证明.
解：AC∥DF，
证明如下：∵ △ABC△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴180°-∠ACB=180°-∠DFE.
即∠ACF=∠DFC，∴AC∥DF.
师生活动：学生独立完成，教师巡回，及时把握学生对知识的掌握情况.
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
总结归纳
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.

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