资源简介

初中数学人教版（2024）七年级上册
6.3.2 角的比较与运算
课标分析
根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求，本课"角的比较"属于"图形与几何"领域，要求学生掌握角的大小比较方法（度量法和叠合法），理解角的和差运算（如），并能运用三角尺进行角的组合（如、等）。重点培养几何直观和推理能力，通过类比线段比较迁移到角的比较，理解角平分线的概念（），掌握用折纸等实践操作探究角平分线的性质。课标强调在直观操作中发展空间观念，体会数形结合思想，为后续学习角的度量、三角形等知识奠定基础。
教材分析
本节课内容为“角的比较”，主要介绍了类比线段比较大小的方法来比较角的大小，包括度量法与叠合法，并进一步引入角的和、差运算及角的平分线概念。教学过程通过问题引导学生动手操作、观察图形、归纳结论，发展几何直观与推理能力。本节内容承接了前面关于线段比较与运算的知识，是后续学习角的分类、三角形内角和、平行线性质等几何内容的重要基础。本节课通过类比思想帮助学生建立几何研究的基本方法，提升空间观念与逻辑表达能力，同时为后续学习图形性质与几何证明打下坚实基础。
学情分析
七年级学生已经学习了线段长短的比较方法和角的基本概念，具备几何图形的初步认知能力，能够通过类比线段比较的方法理解角的大小比较，同时，学生处于由具体思维向抽象思维过渡的阶段，具备一定的观察、分析和归纳能力，但对几何语言的表达和图形的抽象理解仍需加强，本节课通过类比线段的和差，引导学生理解角的和差及角平分线的概念，旨在培养学生的几何直观、推理能力和类比思想，帮助学生建立角的运算与图形性质之间的联系，为后续学习几何证明和图形变换奠定基础。
教学目标
理解角的大小比较方法，掌握叠合法与度量法的基本原理，通过类比线段比较提升逻辑推理能力，发展几何直观与空间观念。
掌握角的和与差的概念，能结合图形进行角的运算，提升数形结合意识，增强数学抽象与运算能力。
理解角的平分线定义，能识别并画出角的平分线或三等分线，通过折纸操作发展动手实践能力，培养推理能力和几何作图意识。
重点难点
重点：掌握角的大小比较方法，理解角的和差、角平分线概念。
难点：类比线段相关知识理解角的运算及角平分线性质，借助三角尺画特定度数角。
课前任务
1.知识回顾：
上节课学习了线段长短的比较方法，回忆下，有哪两种比较线段长短的方法呢？请你举例说明。通过回顾巩固相关知识。
2.预习教材：
阅读教材中关于角的比较的内容，了解角的大小比较方法，明确角的和差、角平分线的概念。将角的大小比较方法、角平分线定义记录在预习笔记上，对不理解处做好标记。
3.问题思考：
类比线段长短比较，角的大小比较有哪些方法？借助三角尺能通过角的和差画出哪些特殊度数的角？思考并准备课上交流。
课堂导入
同学们，我们先来玩个小游戏。老师这里有两根小棒，大家想想办法比较它们的长短。（引导学生回顾线段长短比较方法）那现在老师手上有两个角的模型，又该如何比较这两个角的大小呢？这就是我们今天要探究的“角的比较”。其实，生活中也常需要比较角的大小，比如，不同时刻钟表指针形成的角，怎样知道哪个角大呢？就像比较线段长短有不同方法一样，角的大小比较也有多种途径，接下来就让我们一起开启探索之旅，看看角的大小该如何比较，以及角之间还存在哪些奇妙的和差关系。
角的比较
探究新知
（一）知识精讲
同学们，我们已经掌握了比较线段长短的方法，现在来学习如何比较两个角的大小。观察图，我们可以采用两种方法来比较和的大小：
第一种方法是使用量角器测量两个角的度数，直接比较数值大小。第二种方法是叠合法：将两个角的一条边重合，观察另一条边的位置关系。如果的另一条边在的内部，则较小；如果重合，则两角相等；如果在外部，则较大。
接下来我们学习角的和与差运算。观察图：
在这个图中，可以表示为与的和，记作。同理，可以表示为与的差，记作。根据这个规律，。
最后，我们来看如何利用三角尺进行角的运算。观察图：
一副三角尺包含30°、45°、60°、90°等特殊角。通过角的和差运算，我们可以组合出15°、75°、105°、120°、135°、150°等多种角度的角。例如，45°-30°=15°，45°+30°=75°，90°+45°=135°等。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果我们要比较和的大小，除了用量角器测量外，还可以怎样操作呢？
学生回答：可以用叠合法，将的边BA与的边ED重合，观察边BC和边EF的位置关系。
教师追问：很好！那么如果的边BC在的边EF的外部，说明什么？
学生思考后回答：说明比大。
教师继续提问：现在请同学们思考，利用一副三角尺，我们还能画出哪些度数的角？比如，如何得到165°的角？
学生回答：可以用90°+60°+15°=165°，其中15°可以通过45°-30°得到。
（三）设计意图
通过直观的图形演示和实际操作，帮助学生理解角的大小比较方法和角的运算原理。培养学生的观察能力、动手操作能力和逻辑推理能力。采用从具体到抽象的教学方式，让学生在实际操作中体会数学知识的形成过程。通过师生互动，引导学生主动思考，培养其数学思维能力和解决问题的能力，同时感受数学知识的实用性和趣味性。
新知应用
例1：如图，是直线上一点，，求的度数。
解答：
我们知道，点在直线上，因此是一个平角，它的度数是：
又因为和在同一条直线上，并且它们有公共顶点，所以这两个角的和等于，即：
题目中给出，我们可以将这个角度代入上面的等式中：
接下来我们进行角度的减法运算，求出：
我们先将写成，以便进行减法：
分别对度和分进行减法：
分：
度：
所以：
总结
1.题目考查内容
① 平角的概念（）；
② 角的和与差的计算；
③ 角度单位的加减运算（度、分）。
2.题目求解要点
① 明确点在直线上，因此为平角，度数为；
② 利用角的和关系，列出等式；
③ 掌握角度单位的减法运算，必要时将写成以便计算；
④ 正确进行角度的度分减法，避免跳步或单位混淆。
探究新知
（一）知识精讲
同学们，让我们一起来认识角的平分线。观察图6.3-10，可以看到射线OB将角AOC分成了两个相等的部分。 当时，我们就说射线OB是的平分线。这时，可以表示为，而和都等于。
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，就叫做这个角的平分线。类似地，我们还可以定义角的三等分线，如图所示。
现在，让我们通过折纸的方法来实际操作一下。如图所示，在一张半透明的纸上，我们可以通过折叠的方法找到角的平分线。 具体做法是：先将角的两边重合折叠，折痕所在的直线就是这个角的平分线。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果我们把一个角分成四个相等的部分，应该怎么称呼这样的射线呢？
学生回答：可以叫角的四等分线。
教师追问：很好！那么，如果已知一个角的度数是60度，它的三等分线把这个角分成几个角？每个角是多少度？
学生思考后回答：分成三个角，每个角是20度。
教师继续引导：正确！那你们能不能用折纸的方法来验证一下这个结论呢？
（三）设计意图
通过直观的图形展示和实际操作，帮助学生理解角平分线的概念，培养学生的空间想象能力和动手实践能力。从具体实例出发，引导学生观察、思考、归纳，体现了从具体到抽象的认知过程。通过师生互动，激发学生的学习兴趣，培养他们运用数学语言准确表达的能力，同时加深对角度等分概念的理解。
新知应用
例2：把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？
解答：我们知道，一个周角是。题目要求将这个角平均分成7份，每一份的度数就是：
我们先进行整数部分的除法：
接下来，我们将余下的转化为分。因为，所以：
然后我们继续将180分除以7：
所以，结果约为：
答：每份是约的角。
总结：
1.题目考查内容
① 角度单位的换算（度、分、秒之间的转换）
② 除法在角度中的应用
③ 精确到“分”的近似计算方法
2.题目求解要点
① 理解周角为，并能正确进行除法运算
② 掌握将余下的“度”转化为“分”的方法（）
③ 在不能整除的情况下，能继续对“分”进行除法运算并进行四舍五入
④ 最终结果要写成“度分”形式，符合题意要求“精确到分”
板书设计
角的比较
比较方法
度量法：用量角器量度数比较
叠合法：一边叠合看另一边位置
角的和差
概念：如，
探究：用三角尺结合和差画角
角平分线
定义：从角顶点出发分角为两相等角的射线
性质：，
探究：折纸作角平分线
教学反思
本节课围绕角的大小比较、和差运算及角平分线展开，通过类比线段的比较与运算，引导学生理解角的比较方法与和差关系，并借助三角尺探究特殊角度的构造，通过折纸活动加深对角平分线的理解。教学目标基本达成，学生能掌握角的度量与叠合法比较，理解角的和差关系及角平分线的定义。成功之处在于通过类比迁移促进知识建构，学生参与度较高。不足在于部分学生对角的和差表示仍存在混淆，动手操作环节指导不够细致，今后应加强几何语言训练与操作指导，提升学生的空间观念与表达能力。

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