资源简介

初中数学人教版（2024）七年级上册
6.3.3 余角和补角
课标分析
根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求，本节"余角和补角"内容属于"图形与几何"领域中的"角的概念与性质"部分。课标要求学生理解互为余角()和互为补角()的概念，即两角和为或的关系，并能运用三角尺等直观教具进行验证。重点要求学生掌握"同角(等角)的余角相等"和"同角(等角)的补角相等"这两个核心性质，能通过代数推理(，，故)理解性质的推导过程，培养几何直观和逻辑推理能力，为后续学习三角形内角和等知识奠定基础。
教材分析
本节课介绍了余角和补角的概念及其性质，通过三角尺的实例引出两个角互余和互补的定义，并通过思考探究得出“同角（或等角）的余角相等”和“同角（或等角）的补角相等”的重要性质。教学过程可从学生已有知识出发，结合图形引导学生理解互余、互补关系，并通过推理验证得出相关性质。本节内容是继角的分类、对顶角性质之后的进一步延伸，为后续学习平行线的判定、三角形内角和定理及几何推理打下基础。掌握余角与补角的性质有助于提升学生的逻辑推理能力和数形结合意识，为今后几何学习提供有力工具。
学情分析
七年级学生已经学习了角的基本概念、直角和平角的相关知识，具备了初步的几何认知基础，同时学生处于由具体思维向抽象思维过渡的阶段，对直观图形有较强的理解能力，但对于抽象的几何关系仍需借助具体模型进行理解，本节课通过三角尺中的角度关系引入余角和补角的概念，结合图形和实际操作帮助学生建立互余、互补的数学模型，理解同角或等角的余角、补角相等的性质，学生需要通过观察、计算和推理逐步掌握余角与补角的性质，提升逻辑推理能力和几何语言表达能力，同时为后续学习平行线、三角形等几何内容奠定基础。
教学目标
理解余角与补角的定义，掌握两个角互余或互补的数量关系，通过观察和推理，提升空间观念与逻辑推理能力，发展数学抽象与数学表达素养。
探索同角（等角）的余角相等、补角相等的性质，通过思考与归纳，培养合情推理与演绎推理能力，增强数学探究与逻辑论证意识。
运用余角和补角性质解决简单几何问题，提升分析问题和解决问题的能力，体会数学知识之间的联系，培养严谨思维和数学应用意识。
重点难点
重点：理解余角和补角的概念，掌握同角（等角）的余角、补角相等的性质。
难点：探究并理解同角（等角）的余角、补角相等性质的推导过程。
课前任务
1.知识回顾：
上节课学习了角的度量与表示。请思考角的度量单位有哪些？如何进行度、分、秒的换算？快速完成几道简单的度分秒换算题，巩固知识。
2.预习教材：
阅读教材中余角和补角相关内容，了解余角和补角的定义，即两个角和为互余，和为互补。并关注余角、补角性质的推导过程，记录疑问与重点。
3.问题思考：
若与互余，与也互余，和有什么关系？类似地，若与互补，与互补，和又有什么关系？
课堂导入
同学们，大家先来看这样一个生活场景。建筑工人在盖房子时，经常会用到一种工具叫铅垂线（简单示意），它与地面形成一个直角。此时，如果旁边再有一条线与铅垂线相交，形成的两个角之和就是 。像这样两个角之和为 的情况，在生活中还有很多。同样，当一条直线绕着它上面一点旋转，形成一个平角时，如果从这个点再引出一条线，把平角分成两个角，这两个角之和就是 。这两种特殊的角的关系，在数学里有着专门的名称，它们分别叫做余角和补角。今天，我们就一起来探究余角和补角的奥秘。
余角和补角
探究新知
（一）知识精讲
首先，我们通过三角尺来认识余角的概念。观察图6.3-13，在一副三角尺中，每个三角尺都有一个角是，而其他两个角的和也是。例如，，。
图6.3-13
一般地，如果两个角的和等于（直角），我们就说这两个角互为余角（complementary angle），简称这两个角互余。其中一个角是另一个角的余角。
类似地，观察图6.3-14，如果两个角的和等于（平角），我们就说这两个角互为补角（supplementary angle），简称这两个角互补。其中一个角是另一个角的补角。
图6.3-14
接下来，我们研究余角和补角的性质。假设与、都互为余角，那么，，因此。由此可以得到余角的一个性质：同角（或等角）的余角相等。
对于补角，也有类似的性质：同角（或等角）的补角相等。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果和互为余角，和也互为余角，那么和有什么关系？为什么？
学生回答：和相等，因为根据余角的性质，同角的余角相等。
教师追问：非常好！那么，如果和互为补角，和也互为补角，和的大小关系是什么？
学生思考后回答：和相等，因为同角的补角相等。
（三）设计意图
通过观察三角尺中的角度关系，引导学生从具体实例中抽象出余角和补角的定义，培养学生的抽象思维能力。通过推导余角和补角的性质，帮助学生理解数学定理的严谨性，并学会用数学语言表达几何关系。师生互动环节通过提问和追问，引导学生运用所学性质解决问题，巩固对知识的理解，同时培养学生的逻辑推理能力和语言表达能力。整个探究过程注重从直观到抽象的思维过渡，体现数学学习的逻辑性和系统性。
新知应用
例4题目：
如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC。图中哪些角互为余角？
解答：
首先，我们知道互为余角的两个角的和是。
题目中给出：
点A，O，B在同一条直线上，说明∠AOC和∠BOC互为补角，即
又已知：
射线OD平分∠AOC，所以
射线OE平分∠BOC，所以
接下来，我们计算∠COD与∠COE的和：
因此，
同理，我们也可以验证以下角对的和也为：
∠AOD 和 ∠BOE：
∠AOD 和 ∠COE：
∠COD 和 ∠BOE：
所以，图中互为余角的角有：
∠COD 和 ∠COE
∠AOD 和 ∠BOE
∠AOD 和 ∠COE
∠COD 和 ∠BOE
总结
1.题目考查内容
① 余角和补角的定义；
② 角平分线的性质；
③ 利用角度和判断两个角是否互为余角。
2.题目求解要点
① 理解“点A、O、B在同一直线上”意味着∠AOC与∠BOC互为补角；
② 掌握角平分线将角分成两个相等的部分；
③ 利用补角的和为，结合角平分线的性质，推导出某些角的和为；
④ 明确互为余角的定义，即两个角的和为。
板书设计
余角和补角
├─ 余角定义：若两角和为，则两角互余
├─ 补角定义：若两角和为，则两角互补
├─ 余角性质：同角（等角）的余角相等
└─ 补角性质：同角（等角）的补角相等
教学反思
本节课围绕余角与补角的概念及其性质展开，通过三角尺实例引入概念，结合图形与数学符号直观呈现互余、互补关系，引导学生探究同角或等角的余角、补角之间的关系。课堂通过“思考”问题激发学生推理能力，进而归纳得出“同角（等角）的余角相等”“同角（等角）的补角相等”的性质。教学目标基本达成，多数学生能理解概念并完成相关练习。成功之处在于借助直观图形与具体实例帮助学生建立概念，逻辑推理过程清晰。不足在于部分学生对“等角的余角相等”这类抽象表述理解不够深入，今后应加强符号语言与文字语言之间的转化训练，提升学生的几何语言表达与逻辑推理能力。

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