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18.5　分式方程（第1课时）
　　1．理解分式方程的概念，能区分分式方程和整式方程．
　　2．掌握解分式方程的基本思路，会解可化为一元一次方程的分式方程．
　　3．理解分式方程无解的原因，掌握检验分式方程的解的方法．
　　4．经历“实际问题—分式方程—整式方程”的过程，发展分析问题和解决问题的能力，渗透转化的数学思想，体会化归思想在解方程时的作用．
　　解分式方程的基本思路和一般步骤．
　　检验分式方程的解的原因及方法．
知识回顾
　　1．前面我们学习了什么方程？
　　【答案】一元一次方程和二元一次方程．
　　【师生活动】教师提示：一元一次方程和二元一次方程都是整式方程．
　　2．什么是一元一次方程？
　　【答案】方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程．
　　【设计意图】带领学生复习已经学过的方程的知识，巩固基础，为本节课学习分式方程做好准备．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】1．一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，江水的流速为多少？
　　【师生活动】教师出示本章引言的问题，学生独立解决，然后教师展示学生的答案．
　　【答案】解：设江水的流速为v km/h，根据题意，得
　　＝．
　　【追问】为解决引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分式表示问题中的量，根据问题中的等量关系得到了方程＝．仔细观察这个方程，未知数有什么特点？
　　【答案】未知数位于分母的位置上．
　　【新知】方程＝的分母中含有未知数，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程．
　　注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数都不在分母中．
　　【设计意图】从本章引言中的轮船航行问题说起，列出分母中含未知数的方程，并指出这个方程的特点，给出分式方程的概念．
　　【练习】判断下列式子是不是分式方程？若不是，请说明理由．
　　（1）＝5； （2）＝1；
　　（3）x2－x＋＝5； （4）－；
　　（5）＋＝7； （6）－＝1．
　　【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并回答．
　　【答案】（1）（5）（6）是分式方程；
　　（2）（3）（4）不是分式方程．
　　理由：（2）（3）分母中不含未知数，不是分式方程；（4）不是方程．
　　【归纳】分式方程的三个特征：
　　①是方程；
　　②方程中含分母；
　　③分母中含有未知数．
　　特别注意，判断一个式子是不是分式方程时，不能对式子进行约分、通分变形，更不能利用等式的性质对其进行变形．
　　【设计意图】通过练习题，帮助学生巩固分式方程与整式方程的区别．
　　【问题】2．解分式方程：＝．
　　【追问】1．如何将分式方程化为整式方程？
　　【师生活动】教师提问，学生小组讨论后回答．
　　【答案】通过“去分母”将分式方程化为整式方程．
　　【追问】2．如何去分母？去分母的依据是什么呢？
　　【答案】利用等式的性质2，可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．
　　【师生活动】教师引导学生完成问题2的作答．
　　【答案】解：方程两边同乘(30＋v)(30－v)，得90(30－v)＝60(30＋v)．
　　解得v＝6．
　　【追问】v＝6是分式方程＝的解吗？你是怎样确定的？
【答案】将v＝6代入分式方程中，左边＝，右边＝，这时左、右两边的值相等，因此v＝6是原分式方程的解．
由此可知，江水的流速为6 km/h．
　　【思考】将分式方程化成整式方程的关键步骤是什么？
　　【答案】方程两边乘最简公分母，去分母．
　　【设计意图】由分式方程的特点引出解分式方程的基本思路，即通过去分母将分式方程化为整式方程，再解出未知数．体会化繁为简，化未知为已知，化未学为已学的基本思想．
　　【问题】3．解分式方程：＝．
　　【答案】解：方程两边同乘(x－5)(x＋5)，得x＋5＝10．
　　解得x＝5．
　　检验：将x＝5代入原分式方程，分母x－5和x －25的值都为0，相应的分式无意义．
　　因此，x＝5虽然是整式方程x＋5＝10的解，但不是分式方程＝的解．实际上，这个分式方程无解．
　　【问题】4．比较解前面两个分式方程的过程，为什么＝ ①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而＝ ②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
　　【师生活动】学生分组讨论，得出结论，师生一起总结．
　　【答案】解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子（最简公分母）．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解为v＝6．当v＝6时，最简公分母(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．
　　方程②两边乘(x－5)(x＋5)，得到整式方程，它的解是x＝5．当x＝5时，最简公分母(x－5)(x＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解．
　　【归纳】解分式方程产生不适合原方程的解的原因
　　在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被扩大了．对于整式方程来说，求出的解成立；而对于原分式方程来说，当分母为0时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解．
　　【思考】你能总结出检验分式方程的解的方法吗？
　　【师生活动】学生独立思考，进行作答．学生回答后，师生一起总结．
　　【新知】一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
　　将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
　　【设计意图】通过问题2和问题3，经过对比得出解分式方程时检验的必要性和具体的检验方法．让学生经历由特殊到一般的过程，认识到解分式方程时需要检验，并知道怎样检验．
二、典例精讲
　　【例1】解方程：＝．
　　【师生活动】学生独立完成，教师巡查，给予辅导．
　　【答案】解：方程两边同乘x(x－3)，得2x＝3x－9．
　　解得x＝9．
　　检验：当x＝9时，x(x－3)≠0．
　　所以，原分式方程的解为x＝9．
　　【例2】解方程：－1＝．
　　【师生活动】学生独立完成后，教师出示答案．师生总结解分式方程的一般步骤．
　　【答案】解：方程两边乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3．
　　解得x＝1．
　　检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解．
　　所以，原分式方程无解．
【归纳】解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，得到整式方程的解后，要对其进行检验．
解分式方程的一般过程：
　　【设计意图】通过例1和例2，帮助学生巩固分式方程的解法，培养学生的运算能力．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第166页练习题．
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18.5　分式方程（第2课时）
　　1．会分析工程问题和行程问题中的数量关系，能列出分式方程解决实际问题．
　　2．类比列一元一次方程解应用题的一般步骤，探索并掌握列分式方程解应用题的一般步骤．
　　3．经历分析相等关系、列分式方程的过程，培养分析和解决问题的能力．
　　列分式方程解决实际问题．
　　找出相等关系列出分式方程，将实际问题数学化．
知识回顾
　　1．分式方程的概念是什么？
　　【答案】分母中含未知数的方程叫作分式方程．
　　2．解方式方程：＝．
　　【答案】解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得x＋1＝3．
　　解得x＝2．
　　检验：当x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0．
　　所以，原分式方程的解为x＝2．
　　3．列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？
　　【答案】（1）审：弄清题意，分清已知量和未知量，并找出相等关系；
　　（2）设：设未知数，并用式子表示出其他相关量；
　　（3）列：根据相等关系列出方程；
　　（4）解：通过解方程，求出未知数的值；
　　（5）验：检验所得的未知数的值是否符合题意；
　　（6）答：根据题意写出答案．
　　【设计意图】带领学生复习解分式方程和列一元一次方程解应用题的一般步骤，巩固基础，为本节课学习列分式方程解决实际问题做好准备．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？
　　【分析】本题是一道工程问题，题中涉及的数量关系为：工作总量＝工作效率×工作时间，相等关系为：甲队完成的工程量＋乙队完成的工程量＝总工程量．
　　【追问】怎样设未知数列方程？
　　【师生活动】教师提示：对于这类工程问题，通常设总工程量为1，从题中已知条件可知甲队单独施工1个月完成总工程量的，如果能知道乙队单独施工1个月所完成的工程量，就可以比较两队的施工速度．
　　学生根据提示进行作答．
　　【答案】设乙队单独施工1个月能完成总工程的．
工程队 工作总量 工作效率 工作时间
甲队
乙队
　　根据相等关系列出方程：＋＝1．
　　【追问】请完成本题的解答．
　　【答案】解：设乙队的工作效率为．
　　记总工程量为1，根据题意，得＋＝1．
　　方程两边乘6x，得2x＋x＋3＝6x．
　　解得x＝1．
　　检验：当x＝1时，6x≠0．
　　所以，原分式方程的解为x＝1．
　　由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快．
　　【归纳】解决工程问题“两手都要抓”
　　解决工程问题时，一要抓住“工作总量＝工作效率×工作时间”这一等量关系；二要抓住“所有队工作量之和＝总工作量”这一关系列方程求解．
　　【设计意图】通过这个问题，让学生了解列分式方程解决工程问题的基本思路．让学生经历分析相等关系列方程的过程，培养学生分析问题和解决实际问题的能力，学会用数学的眼光观察现实世界．
　　【思考】根据上面题目，类比列一元一次方程解应用题的一般步骤，你能总结出列分式方程解应用题的一般步骤吗？
　　【师生活动】小组交流讨论，提炼解题步骤．
　　【新知】列分式方程解应用题的一般步骤：
　　（1）审：弄清题意，找出数量关系和相等关系；
　　（2）设：设出未知数；
　　（3）列：根据相等关系列出方程；
　　（4）解：解方程；
　　（5）验：①检验求得的解是否为分式方程的解；②检验求得的解是否符合题意；
　　（6）答：根据题意写出答案．
　　【设计意图】通过对解题思路的回顾和分析，让学生初步掌握列分式方程解应用题的一般步骤．
　　【问题】某次列车平均提速v km/h．在相同的时间内，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
　　【分析】本题是一道行程问题，题中涉及的数量关系为：路程＝速度×时间，相等关系为：提速前所用的时间＝提速后所用的时间．
　　【追问】问题中的已知量是什么？未知量是什么？
　　【师生活动】教师提示：表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（或未知量），也可以表示已知数（或已知量）．
　　学生根据提示进行作答．
　　【答案】已知量：列车平均提速v km/h，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km．
　　未知量：提速前列车的平均速度．
　　【追问】怎样设未知数列方程？
　　【师生活动】教师提示：将所求的未知量设为未知数，抓住题目中“用相同的时间”这个条件，列出方程．
　　学生根据提示进行作答：
　　【答案】设提速前列车的平均速度为x km/h．
行驶状态 路程/km 速度/(km/h) 时间/h
提速前 s x
提速后 s＋50 x＋v
　　根据相等关系列出方程：＝．
　　【追问】请完成本题的解答．
　　【答案】解：设提速前列车的平均速度为x km/h．
　　根据题意，得＝．
　　方程两边乘x(x＋v)，得s(x＋v)＝x(s＋50)．
　　解得x＝．
　　检验：因为v，s都是正数，所以当x＝时，x(x＋v)≠0．
　　所以，原分式方程的解为x＝．
　　答：提速前列车的平均速度为km/h．
　　【设计意图】通过这个问题，让学生了解列分式方程解决行程问题的基本思路．让学生经历分析相等关系列方程的过程，培养学生分析问题和解决实际问题的能力，学会用数学的眼光观察现实世界．
二、典例精讲
　　【例1】甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间和乙做60个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．
　　【分析】本题是一道工程问题，工程问题常根据“工作总量＝工作效率×工作时间”设未知数．本题中工作效率和工作时间均为未知量，可任选一个设为未知数．
　　【师生活动】学生根据分析独立完成，教师巡查，给予辅导．
　　【答案】解：设乙每小时做x个零件．
　　根据题意，得＝．
　　方程两边乘x(x＋6)，得90x＝60(x＋6)．
　　解得x＝12，x＋6＝18．
　　检验：当x＝12时，x(x＋6)≠0．
　　所以x＝12是原分式方程的解，且符合题意．
　　答：乙每小时做12个零件，甲每小时做18个零件．
　　【例2】小明和小红从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1 800 m的少年宫参加活动，两人都步行，已知小明的速度是小红速度的1.2倍，结果小明比小红早6 min到达，求小红的速度．
　　【分析】本题是一道行程问题，行程问题常根据“路程＝速度×时间”设未知数，本题中速度和时间均为未知量，可任选一个设为未知数．
　　【师生活动】学生根据分析独立完成，教师巡查，及时发现问题，并进行指导．
　　【答案】解：设小红的速度是x m/min．
　　根据题意，得－＝6．
　　方程两边乘1.2x，得2 160－1 800＝7.2x．
　　解得x＝50，1.2x＝60．
　　检验：当x＝50时，1.2x≠0．
　　所以x＝50是原分式方程的解，且符合题意．
　　答：小红的速度是50 m/min．
　　【归纳】行程问题中常用的等量关系
　　行程问题属于典型应用题，其中路程、时间和速度三个量之间的关系是路程＝速度×时间．解这类应用题，首先分析出问题中的已知量，确定待求量，然后根据第三个量找出反映全部题意的等量关系，从而列出方程．
　　【设计意图】通过例1和例2，帮助学生巩固列分式方程解应用题的一般步骤，培养学生的抽象能力．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第168页练习1～2题．
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