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18.4　整数指数幂（第1课时）
　　1．理解负整数指数幂的意义．
　　2．能熟练地运用整数指数幂的运算性质进行运算．
　　掌握整数指数幂的运算性质．
　　理解负整数指数幂的产生过程及运算性质的拓展过程．
知识回顾
　　【问题】1．你还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质？
　　【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并回答．
　　【答案】正整数指数幂的定义：当n是正整数时，an＝．
　　正整数指数幂的运算性质：
　　（1）·＝（m，n是正整数）；
　　（2）＝（m，n是正整数）；
　　（3）＝（n是正整数）；
　　（4）÷＝（a≠0，m，n是正整数，m＞n）；
　　（5）＝（n是正整数）．
此外，我们还学习过0指数幂：当a≠0时，a0＝1．
【设计意图】带领学生复习已经学过的正整数指数幂的相关知识，巩固基础，为本节课学习新知识做好准备．
新知探究
一、探究学习
【问题】随着我们认识的数的范围不断扩大，数的运算也在不断推广．例如，加法运算从非负整数范围推广到非负有理数范围，再到有理数范围．同样地，对于幂的运算an，是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢？
【师生活动】教师和学生共同追溯幂的符号的演变．
幂的符号的演变经历了漫长的时间，a2，a3，a4的一些表示如图所示．
an这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广．1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以我将，，，…写成a－1，a－2，a－3，…．”
　　【思考】你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么？
　　【问题】你能试着计算a3÷a5（a≠0）吗？
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考，独立解决；教师展示学生的不同答案．
　　【答案】由分式的约分可知，当a≠0时，a3÷a5＝＝＝①．
另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质÷＝（a≠0，m，n是正整数，
m＞n）中的条件m＞n去掉，即假设这个性质对于像a3÷a5的情形也能使用，则有a3÷
a5＝＝②．
　　【思考】an中的指数n可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂an表示什么？
　　【师生活动】教师引导学生：由①②两式，我们想到如果规定＝（a≠0），就能使÷＝这条性质也适用于像a3÷a5这样的情形．这样可以扩大这条性质的适用范围，同时也可以更简便地表示分式．
　　【新知】数学中规定：
　　一般地，当n是正整数时，＝（a≠0）．
　　这就是说，（a≠0）是的倒数．
　　【思考】引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数．你现在能说出当m分别是正整数、0、负整数时，各表示什么意思吗？
　　【师生活动】学生分组讨论，得出结论．学生回答后，师生一起总结．
　　【答案】当m是正整数时，表示m个a相乘；
　　当m是0时，设a≠0，即为a0，值为1；
　　当m是负整数时，设a≠0，即为的倒数．
二、典例精讲
　　【例1】填空：
　　（1）＝_______，＝_______，＝_______；
　　（2）＝_______，＝_______，＝_______．
　　【师生活动】学生独立完成，教师巡查，予以辅导，提醒学生指数的负号表示取倒数，底数的负号表示负数．
　　【解析】（1）＝，＝，＝＝2；
　　（2）＝＝，＝＝，＝＝．
　　【答案】（1）　　　　2　　（2）　　，　　．
【归纳】＝（a≠0，n是正整数）这个公式也可以写成＝，其中a≠0，n是正整数，当遇到负整数指数幂的底数是分数或分式时，应用此结论比较方便．
如：＝＝．
　　【设计意图】通过例题，帮助学生更深刻地理解负整数指数幂的含义，加深（a≠0）是an的倒数的理解．
三、探究学习
　　【问题】引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质·＝（m，n是正整数）能否推广到m，n是任意整数的情形？
　　【师生活动】教师提示：从特殊情形入手，取m，n分别为正整数和负整数、负整数和负整数、零和负整数几种情况进行研究（a≠0）．
　　学生分组讨论，得出结论．学生回答后，师生一起总结．
　　【答案】（1）当m，n分别为正整数和负整数时，
　　·＝·＝＝＝，即·＝．
　　（2）当m，n均为负整数时，
　　·＝·＝＝＝，即·＝．
　　（3）当m，n分别为零和负整数时，
　　a0·＝1·＝＝＝，即a0·＝．
　　【归纳】am·an＝这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用．
　　【思考】类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用．
　　【师生活动】学生分组讨论，进行验证．
　　【设计意图】运用类比学习的方法，帮助学生掌握负整数指数幂的运算性质．让学生体验证明过程，提升学生的逻辑推理能力．
四、典例精讲
　　【例2】计算：
　　（1）÷； （2）；
　　（3）； （4）·．
　　【师生活动】学生独立完成，教师巡查，予以辅导．
　　【答案】解：（1）÷＝＝＝；
　　（2）＝＝＝；
　　（3）＝＝；
　　（4）·＝·＝＝．
　　【归纳】整数指数幂的计算方法
　　（1）利用负整数指数幂的意义，首先把负整数指数幂都转化为正整数指数幂，然后用分式的乘除计算．
　　（2）先直接运用整数指数幂的性质计算到最后一步，再写成正整数指数幂的形式．
　　【设计意图】通过例题，巩固整数指数幂的运算性质，培养学生的运算能力．
五、探究学习
　　【问题】能否将整数指数幂的5条运算性质进行适当合并？
名称 符号表示
同底数幂的乘法 ·＝（m，n是整数）
幂的乘方 ＝（m，n是整数）
积的乘方 ＝（n是整数）
同底数幂的除法 ÷＝（a≠0，m，n是整数）
分式的乘方 ＝（n是整数）
　　【答案】当m，n为整数时，÷＝＝＝·，即同底数幂的除法÷可以转化为同底数幂的乘法·．
　　特别地，＝a÷b＝a·，所以＝，即商的乘方可以转化为积的乘方．
　　【归纳】整数指数幂的运算性质可以归结为：
　　（1）·＝（m，n是整数）；
　　（2）＝（m，n是整数）；
（3）＝（n是整数）．
课堂小结
课后任务
完成教材第161页练习1～2题．
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________18.4　整数指数幂（第2课时）
　　1．会用科学记数法表示小于1的正数．
　　2．会解决与科学记数法有关的实际问题．
　　3．经历用科学记数法表示小于1的正数的探究过程，体会负整数指数幂的应用．
　　会用科学记数法表示小于1的正数．
　　正确掌握的特征以及科学记数法中n与数位的关系．
知识回顾
　　1．负整数指数幂的意义是什么？整数指数幂有哪些运算性质？
　　【答案】一般地，当n是正整数时，＝（a≠0）．这就是说，（a≠0）是的倒数．
　　整数指数幂的运算性质：
　　（1）同底数幂的乘法：·＝（m，n是整数）；
　　（2）幂的乘方：＝（m，n是整数）；
　　（3）积的乘方：＝（n是整数）．
　　2．光速约为300 000 000 m/s，太阳的半径约为696 000 km．请用科学记数法表示上述两个数字．
　　【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并回答．
　　【答案】300 000 000＝3×108；696 000＝6.96×105．
　　比较大的数可以用科学记数法表示为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数．
　　【设计意图】带领学生复习已经学过的“科学记数法表示较大的数”的知识，巩固基础，为本节课学习科学记数法表示小于1的正数做好准备．
新知探究
一、探究学习
　　无论是在生活中或学习中，我们还会遇到一些比较小的数．例如，雾尘、煤烟等的颗粒直径约0.000 000 1～0.000 001 m；人类毛细血管的直径约0.000 008 m；单层的石墨烯的厚度仅有0.335 nm，即0.000 000 000 335 m．
【问题】我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示．类似0.000 000 1，
0.000 001，0.000 008，0.000 000 000 335这样的绝对值小的数能不能也用科学记数法表示？
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考，独立解决；教师展示学生的答案．
　　【答案】小于1的正数也能用科学记数法表示．例如，0.000 000 1＝，0.000 001＝，0.000 008＝8×，0.000 000 000 335＝3.35×等．
　　【新知】小于1的正数可以用科学记数法表示为a×的形式，其中1≤a＜10，n是正整数．
这种形式更便于比较数的大小，例如，自然科学和生活中经常用到的分(d)、厘(c)、毫(m)、微(μ)、纳(n)等国际单位制词头，其中微对应10－6，纳对应10－9．微米(μm)、纳米(nm)都是长度单位，1 μm＝10－6 m，1 nm＝10－9 m．
　　【问题】仿照式子0.1＝＝填空：
　　0.01＝______＝________；
　　0.001＝______＝________；
　　0.000 1＝______＝________；
　　0.000 01＝_______＝_________．
　　【师生活动】请四名学生板演，师生共同评析．教师要引导学生观察，发现规律．学生回答发现后，师生一起归纳．
　　【答案】　　　　　　　　　　　　　　
　　【归纳】＝＝．
　　【设计意图】从一些特殊数据出发，寻找解决问题的方法，有利于学生研究性学习能力的提高．
　　【问题】按照前面得出的规律，用科学记数法表示下列各数：
　　（1）0.002 7；
　　（2）0.000 016 2．
　　【师生活动】学生分组讨论，得出结论．学生回答后，师生一起总结．
　　【答案】解：（1）0.002 7＝2.7×0.001＝2.7×；
　　（2）0.000 016 2＝1.62×0.000 01＝1.62×．
　　【归纳】用a×（1≤a＜10）表示绝对值较小的数时，n的值为原数左边第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
　　【思考】对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？
　　【师生活动】学生根据归纳内容，回答思考中提出的问题．
　　【答案】如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是－9．如果有m个0，那么10的指数是－(m＋1)．
　　【设计意图】通过观察与思考，让学生发现规律，得出小数点后至第一个非0数字前的0的个数与10的指数的关系，从而找到用科学记数法表示小数的关键是写出10的指数．
二、典例精讲
　　【例1】用科学记数法表示下列各数：
　　（1）0.000 3；
　　（2）0.000 020 09．
　　【师生活动】学生独立完成，教师巡视指导，及时发现学生出现的问题．
　　【答案】解：（1）0.000 3＝3×；
　　（2）0.000 002 009＝2.009×．
【设计意图】通过例1，帮助学生巩固用科学记数法表示较小的数．
　　【例2】下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？
　　（1）1×；
　　（2）7.04×．
　　【师生活动】学生独立完成，教师巡查，予以辅导．
　　【答案】解：（1）1×＝0.000 1；
　　（2）7.04×＝0.000 070 4．
　　【归纳】把a×的形式还原成原数时，只需要把小数点向左移动n位即可．
　　【设计意图】通过例2，帮助学生巩固把a×的形式还原成原数的方法．
　　【例3】计算下列各题：
　　（1）(－4×)÷103；
　　（2）(1.6×)×(5×)．
　　【师生活动】学生独立完成，教师巡查，予以提示．
　　【答案】解：（1）(－4×)÷＝－4××＝－4×；
　　（2）(1.6×)×(5×)＝1.6××5×＝8×．
【例4】碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性．它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为2~20 nm．通常一根头发丝的直径约为70 μm，一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍？
　　【师生活动】学生独立完成，教师巡视，及时发现问题并进行指导．
【答案】解：70 μm＝70×10－6 m，
2 nm＝2×10－9 m，
20 nm＝20×10－9 m．
　　(70×10－6)÷(2×10－9)＝3.5×104．
　　(70×10－6)÷(20×10－9)＝3.5×103．
　　因此，一根头发丝的直径是碳纳米管直径的3.5×103~3.5×104倍．
【设计意图】通过例3和例4，学会应用整数幂的运算性质进行计算，培养学生的应用意识．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第162页练习1～2题．
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