资源简介

17.2　用公式法分解因式（第1课时）
(
教学目标
)
　　1．掌握平方差公式的特点，熟练运用平方差公式进行因式分解．
　　2．掌握用平方差公式分解因式的方法，会综合运用提公因式法和公式法分解因式．
　　3．通过乘法公式逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括的能力，发展有条理地思考及语言表达能力，感受数学知识的关联性和完整性．
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教学重点
)
　　利用平方差公式分解因式．
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教学难点
)
　　灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式．
(
教学过程
)
知识回顾
　　1．什么叫多项式的因式分解？
　　【答案】把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解．
　　2．判断下列变形过程，哪些是整式的乘法？哪些是因式分解？
　　（1）(x＋2)(x－2)＝x2－4； （2）x2－4＋3x＝(x＋4)(x－1)；
　　（3）7m－7n－7＝7(m－n－1)； （4）x2－4＝(x＋2)(x－2)．
　　【答案】解：（1）是整式的乘法；
　　（2）（3）（4）是因式分解．
　　【设计意图】带领学生复习已经学过的知识，巩固基础，为本节课学习运用平方差公式因式分解做好准备．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】1．如图，在边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
　　【师生活动】教师展示图形变换过程，学生独立观察思考，得出答案．
　　【答案】拼成一个长方形前：S阴影＝a2－b2；
　　拼成一个长方形后：S阴影＝(a＋b)(a－b)；
　　所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
　　【问题】2．你能将多项式x2－9与多项式y2－64分解因式吗？
　　【师生活动】教师提示：这两个多项式都是两个数的平方差的形式，由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把(x＋3)(x－3)＝x2－9和(y＋8)(y－8)＝y2－64的等号两边互换，就能得到结果．
　　学生根据教师的提示思考，得出答案．
　　【答案】解：x2－9＝(x＋3)(x－3)；y2－64＝(y＋8)(y－8)．
　　【思考】你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括你的发现．
　　【师生活动】教师出示问题，学生小组讨论，并尝试归纳．
　　教师提醒学生注意此处语言叙述的顺序与乘法公式中的平方差公式不相同．
　　【新知】a2－b2＝(a＋b)(a－b)，
　　即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
　　【设计意图】通过具体问题的解决，让学生在观察、思考和实践的过程中，了解用平方差公式分解因式的方法，通过乘法公式逆向变形，发展学生的归纳、类比、概括能力．
　　【思考】利用平方差公式分解因式时，多项式需具备什么特点？
　　【师生活动】教师展示：
　　学生观察思考，并尝试归纳．
　　【答案】利用平方差公式分解因式时，多项式应含有两部分，两部分的符号相反，且每一部分的绝对值都可以写成某个数（或式子）的平方．
　　【设计意图】让学生弄清平方差公式的形式和特点，加深对运用平方差公式进行因式分解的理解．
　　【练习】判断下列各式能否用平方差公式分解因式：
　　（1）y2－49； （2）y2－2x3；
　　（3）x2＋4； （4）(p＋q)2－9；
　　（5）－m4－n4； （6）a＋(－b)2．
　　【答案】解：（1）（4）能用平方差公式分解因式，（2）（3）（5）（6）不能用平方差公式分解因式．
　　【设计意图】通过实例辨析，让学生进一步理解平方差公式的特点．
二、典例精讲
　　【例1】分解因式：
　　（1）4x2－9；
　　（2）a2－25b2．
　　【分析】（1）由于4x2＝(2x)2，9＝32，所以4x2－9＝(2x)2－32，即可以利用平方差公式分解因式．
　　（2）由于25b2＝(5b)2，所以a2－25b2＝a2－(5b)2，即可以利用平方差公式分解因式．
　　【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并回答．
　　【答案】解：（1）4x2－9＝(2x)2－32＝(2x＋3)(2x－3)．
　　（2）a2－25b2＝a2－(5b)2＝(a＋5b)(a－5b)．
　　【归纳】用平方差公式分解因式的一般步骤
　　第1步：观察多项式的特点，确定a，b；
　　第2步：把多项式的两项写成两个数（或式子）的平方；
　　第3步：因式分解成两个数（或式子）的和与两个数（或式子）的差的积的形式；
　　第4步：因式分解的结果，能化简的要进行化简．
　　【设计意图】通过例题，让学生掌握用平方差公式分解因式的一般步骤．
　　【例2】分解因式：
　　（1）x2－y4；
　　（2）(x＋p)2－(x＋q)2．
　　【分析】（1）由于y4＝(y2)2，所以x2－y4＝x2－(y2)2，即可以利用平方差公式分解因式．
　　（2）可把x＋p和x＋q各看成一个整体，设x＋p＝a，x＋q＝b，则原式化为a2－b2，即可以利用平方差公式分解因式．
　　【师生活动】学生独立完成，一名学生板书，师生共同交流．
　　【答案】解：（1）x2－y4＝x2－(y2)2＝(x＋y2)(x－y2)．
　　（2）(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q)．
　　【归纳】对于二项式进行因式分解，先看有没有公因式，有公因式要先提公因式；再看能不能用平方差公式分解因式，注意必须进行到每个多项式因式都不能再分解为止．
　　【设计意图】通过例题，巩固用平方差公式分解因式的一般步骤，会综合运用提公因式法和公式法分解因式，知道因式分解必须进行到每个多项式因式都不能再分解为止．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第129页练习题．
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教学反思
)
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17.2　用公式法分解因式（第2课时）
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教学目标
)
1．理解完全平方式的特点．
2．能熟练运用完全平方公式分解因式．
3．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
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教学重点
)
1．理解完全平方式的特点．
2．能熟练运用完全平方公式分解因式．
(
教学难点
)
能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
(
教学过程
)
知识回顾
1．提公因式法
一般地，如果多项式的各项有 公因式 ，可以把这个 公因式 提取出来，将 多项式写成 公因式 与另一个因式的 乘积 的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．
2．运用平方差公式分解因式
两个数的平方差，等于这两个数的 和 与这两个数的 差 的 积 ．
＝．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】多项式与有什么特点？
　　【师生活动】学生先独立思考，然后学生代表回答．
【答案】这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍．
【新知】我们把和这样的式子叫作完全平方式．
【设计意图】让学生在观察和思考的过程中，了解完全平方式的概念．
【问题】你能将与分解因式吗？
【师生活动】学生观察并独立思考，尝试着写出答案．
【答案】利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式．
把整式乘法的完全平方公式
的等号两边互换，就得到
【新知】两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
【设计意图】通过解决具体问题，让学生掌握利用完全平方公式分解因式的方法．
【问题】下列式子能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）．
A． B．
C． D．
【师生活动】师生共同分析，并解答问题．
【答案】A
【解析】选项A，，符合题意；
选项B，C，D均无法运用完全平方公式分解因式，故选A．
【归纳】可套用完全平方公式的式子的特点
（1）含有三部分；
（2）有两部分可以分别写成某个数（或式子）的平方，并且这两部分的符号相同；
（3）第三部分是这两个数（或式子）的乘积的2倍．
【设计意图】通过此题，归纳出可套用完全平方公式的式子的特点．
二、典例精讲
【例1】分解因式：
（1）； （2）．
【师生活动】学生独立完成，然后全班交流．
【分析】在（1）中，由于4＝22，4x＝2·x·2，所以是一个完全平方式，即＝x2＋2·x·2＋22．
在（2）中，由于，，，所以是一个完全平方式．
【答案】解：（1）
（2）
．
【例2】分解因式：
（1）； （2）．
【师生活动】学生独立思考，然后回答问题．
【分析】在（1）中，将a＋b看作一个整体，设a＋b＝m，则原式化为完全平方式；对于（2），可通过添括号将原式写成，括号内的式子为完全平方式．
【答案】解：（1）
（2）
【新知】可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法．
【设计意图】通过解决例1、例2，引出公式法的概念．
【例3】分解因式：
（1）； （2）．
【师生活动】学生独立完成解题过程，并相互批改．
【分析】在（1）中，可以写成的形式，可用公式法分解因式；
对于（2），的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式．
【答案】解：（1）
（2）
＝
．
【归纳】对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法．
【设计意图】通过例3，明确有时需要多次运用公式法或综合运用提公因式法和公式法解决复杂的因式分解问题．
【例4】把下列多项式进行因式分解：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【师生活动】学生独立完成解题过程，并相互批改．
【分析】（1）中需先提取公因式，再用平方差公式分解因式；
（2）中，整理后满足完全平方公式，注意因式分解要彻底；
（3）中需先提出公因式，再用完全平方公式分解因式；
（4）中需先将变为，再提出公因式，最后用平方差公式分解因式．
【答案】解：（1）
（2）
（3）
（4）
＝
．
【归纳】因式分解的步骤
一“提”：看有无公因式，若有，则提取公因式；
二“套”：考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式；
三“检查”：检查分解因式是否彻底，若不彻底则继续分解．
【设计意图】通过例4巩固运用提公因式法、公式法分解因式，进而归纳出因式分解的步骤．
【例5】求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【师生活动】师生共同分析解答．
【答案】证明：
．
∵n为正整数，
∴为正整数，
∴原代数式的值一定是某个整数的平方．
【设计意图】体现因式分解的应用价值．
【例6】我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
15×15＝225＝1×2×100＋25，
25×25＝625＝2×3×100＋25，
35×35＝1 225＝3×4×100＋25，
……
你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？
【师生活动】师生共同分析解答．
【答案】(10n＋5)2＝100n·(n＋1)＋25(n为正整数)．
证明：(10n＋5)2＝100n2＋100n＋25＝100n·(n＋1)＋25，所以等式成立．
【设计意图】经历发现规律、验证规律的过程，培养观察、分析、推理的能力，体会化归思想和从特殊到一般的数学思想在运算中的价值．
课堂小结
课后任务
完成教材第132页练习题．
(
教学反思
)
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