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5.3　实际问题与一元一次方程（第1课时）
　　1．会运用方程解决实际问题中的配套问题与工程问题，掌握利用一元一次方程解决实际问题的一般步骤．
　　2．在实际问题的分析与解决的过程中，经历利用字母表示未知量和借助图表寻找量与量之间关系的过程，体会“方程”是解决实际问题的常用工具．
　　通过分析题意，寻找相等关系，建立方程模型．
　　厘清数量关系，多角度找相等关系．
新课导入
　　根据前面的学习，我们已经知道，方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具．本节课我们来研究如何用一元一次方程解决实际问题中的配套问题与工程问题．
　　在学习新课之前，先让我们一起来解决下面这个问题：
　　【问题】一种配套产品由一个螺栓和两个螺母组成，现已生产x个螺栓，需生产多少个螺母刚好配套？如果生产了x个螺母，那么需要生产多少个螺栓刚好配套呢？
　　【答案】2x　　x
　　【设计意图】使用教材中的例题情境，让学生对配套问题有一个初步的认识，为后面的新课学习做好铺垫．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名
　　【师生活动】学生读题，逐句进行分析，初步找出题目中的有用信息．
　　【思考】已知量是什么？未知量是什么？
　　【师生活动】引导学生对找出的有用信息进行归纳，分别对已知量和未知量进行分类．
　　【答案】已知量：工人22名，每人每天生产1 200个螺栓或2 000个螺母，1个螺栓和2个螺母配套．
　　未知量：分别安排生产螺栓和螺母的工人人数．
　　【设计意图】通过对题目中给出的信息进行归纳分类，为后续设未知数做好铺垫．
　　【思考】“为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套”，什么叫刚好配套？
　　【师生活动】学生分组讨论，得出对“刚好配套”的理解，教师进行点评．
　　【答案】因为1个螺栓需要配2个螺母，每天生产的螺栓和螺母刚好配套应满足：，即螺母数量是螺栓数量的2倍．
　　【设计意图】通过理解“刚好配套”的意思，找到配套问题中物品之间的数量关系，为后续列方程提供依据．
　　【思考】在此配套基础上，可以将哪个量设为未知数呢？
　　【师生活动】教师引导学生设出未知数，同时用未知数表示出相关的数量关系．
　　【答案】可将生产螺栓的人数设为x，那么生产螺母的人数应为22－x．
　　则每天共生产螺栓 1 200x 个，生产螺母 2 000（22－x） 个．
　　【设计意图】用含有未知数的式子表示相关量，逐步找出列方程所需要的各元素．
　　【问题】根据前面的分析，完成表格：
项目 每人每天生产量/个 安排人数 共生产数量/个
螺栓
螺母
　　【师生活动】师生合作，完成表格．
　　【答案】
项目 每人每天生产量/个 安排人数 共生产数量/个
螺栓 1 200 x 1 200 x
螺母 2 000 22－x 2 000(22－x)
　　【设计意图】采用表格便于学生从纷繁的实际情境中分析问题，有条理地获取数量关系，体现了数形结合的数学思想．
　　【问题】列出方程，对本题进行解答．
　　【师生活动】学生独立列出方程，并解方程，教师根据答题结果进行点评．
　　【答案】解：设应安排x名工人生产螺栓，(22－x)名工人生产螺母．
　　根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程2 000(22－x)＝2×1 200x．
解方程，得x＝10，进而22－x＝12．
　　答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母．
　　【问题】如果设x名工人生产螺母，又该怎样列方程呢？尝试列出方程并解答．
　　【师生活动】教师引导学生列出方程，并解方程．
　　【答案】解：设应安排x名工人生产螺母，(22－x)名工人生产螺栓．
　　根据螺母数量是螺栓数量的2倍，列得方程2 000x＝2×1 200(22－x)．
　　解方程，得x＝12，22－x＝10．
　　答：应安排12名工人生产螺母，10名工人生产螺栓．
　　【设计意图】通过本问题让学生意识到，一道应用题中往往含有多个未知量，可以选择设不同的未知量为未知数，一般设未知数的原则是“问什么设什么”．
　　【师生活动】组内交流，提炼解题思路．
　　【设计意图】通过对解题思路的回顾和分析，让学生初步了解列一元一次方程解决实际问题的一般步骤．
【归纳】解答配套问题的关键
　　在配套问题中，一套物品的各个零部件之间会有一定的倍数关系，这个倍数关系就是列方程的关键．
　　其中最常见的配套问题的相等关系是如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么．由等式的性质可得，甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍．
二、典例分析
　　【例1】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1 m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条．现有5 m3木料，为使做出的桌面和桌腿恰好配成方桌，应分别用多少木料做桌面和桌腿？能配成多少张方桌？
　　【分析】本题的配套关系是：桌面∶桌腿＝1∶4，即1个桌面需要4条桌腿．
　　相等关系是：桌面的数量×4＝桌腿的数量．
　　【设计意图】通过分析，找到本题中桌面和桌腿之间的数量关系．
【问题】列出方程，对本题进行解答．
　　【师生活动】学生独立列出方程，并解方程，教师根据解题结果是否正确进行指导．
【答案】解：设用x m3木料做桌面，(5－x) m3木料做桌腿，则可做桌面50x个，做桌腿300(5－x)条．
根据题意，列得方程：4×50x＝300(5－x)．
解方程，得x＝3，5－x＝2．
配成方桌的数量为：3×50＝150（张）．
　　答：用3 m3木料做桌面，2 m3木料做桌腿，恰能配成150张方桌．
　　【设计意图】通过解答本题，巩固解题方法，加深学生对配套问题解题思路的理解．
【例2】服装厂要生产一批某种型号的学生运动服，已知每3 m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．计划用600 m长的这种布料生产运动服，应分别用多少布料生产上衣和裤子，才能配套？共能生产多少套运动服？
　　【师生活动】学生尝试独立解答，派出学生代表回答．
　　【答案】解：设用x m布料生产上衣，则用(600－x) m布料生产裤子，
　　根据题意列方程：x＝600－x，解方程，得x＝360．
　　则生产裤子的布料：600－360＝240（m），
　　生产上衣：360×＝240（件），即240套运动服．
　　答：分别用360 m和240 m布料生产上衣和裤子，才能配套，共能生产240套运动服．
【设计意图】该题继续巩固解决配套问题的一般方法，同时要注意数量关系的细微变化，增强运算能力．
　　【例3】某车间有85名工人加工齿轮，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个．
2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的齿轮刚好配套？
　　【师生活动】学生独立解决，并派学生代表板书写出答案，教师进行点评．
　　【答案】解：设x名工人加工大齿轮，则(85－x)名工人加工小齿轮．
　　根据题意，列得方程：3×16x＝10(85－x)×2．
　　解方程，得x＝25，85－x＝60．
　　答：应安排25名工人加工大齿轮，60名工人加工小齿轮，可使每天加工的齿轮刚好配套．
【设计意图】加深学生对利用一元一次方程解决实际问题的理解，知道列方程最关键的是找出问题中的相等关系．
新课导入
　　前面我们学习了如何运用一元一次方程来解决实际问题中的配套问题，接下来，我们来探究一元一次方程与实际问题——工程问题．
　　在学习新知识之前，先完成下面的填空：
　　工作量＝ 工作效率×工作时间 ；
工作效率＝ 工作量÷工作时间 ；
工作时间＝ 工作量÷工作效率 ．
　　【设计意图】对前面学过的工程问题中存在的一些等量关系进行复习，为接下来的学习做好铺垫，有助于准确地找到相等关系并列出方程．
新知探究
三、探究学习
　　【问题】整理一批图书，由1人整理需要40 h完成．现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？
　　【师生活动】学生读题，逐句进行分析，初步找出题目中的有用信息．
　　【思考】（1）工作总量通常看作______．
　　（2）人均工作效率为______．
　　（3）工作量＝_______________________________________．
　　【师生活动】引导学生结合已经学过的知识填空．
　　【答案】（1）1　　（2）　　（3）人均工作效率×人数×工作时间
　　【设计意图】明确解答本题需要用到的一些数量关系，为后面设未知数做好铺垫．
　　【思考】整项工作由几部分组成？存在怎样的等量关系？
　　【师生活动】学生分组讨论，找出问题中的等量关系．
　　【答案】整项工作由两个阶段的工作量组成，存在的等量关系：一部分人先整理4 h完成的工作量＋增加了2人之后再整理8 h完成的工作量＝总工作量．
　　【设计意图】找到等量关系，为设出未知数后列方程做好准备．
　　【思考】你能根据已知条件，分别表示出两个阶段的工作量吗？
　　【师生活动】师生配合，表示出两个阶段的工作量．
　　【答案】第一阶段工作量：×4×第一阶段人数；
　　第二阶段工作量：×8×第二阶段人数．
　　【问题】我们可以怎样设未知数？设出未知数后，相关的量可以如何表示呢？
　　【师生活动】教师引导学生结合前面所学内容，设出未知数，表示出列方程所需要的相关量．
　　【答案】根据前面讲过的“求什么设什么”的原则，可以设先安排x人工作．
　　第一阶段的工作人数是x，则第二阶段的工作人数是x＋2；
　　第一阶段的工作量可以表示为，第二阶段的工作量可以表示为．
　　【设计意图】用含有未知数的式子表示相关量，逐步找出列方程所需要的各元素．
　　【问题】根据前面的分析，完成表格：
项目 人均效率 人数 时间/h 工作量
第一阶段工作
第二阶段工作
　　【师生活动】师生合作，完成表格．
【答案】
项目 人均效率 人数 时间/h 工作量
第一阶段工作 x 4
第二阶段工作 x＋2 8
　　【设计意图】采用表格便于从纷繁的实际情境中发现数量关系，有条理地获取数量关系，有助于提升学生思考问题的条理性．
　　【问题】列出方程，对本题进行解答．
　　【师生活动】根据前面的分析和所完成的表格，列出方程，并解方程．
　　【答案】解：设先安排x人整理4 h．
　　根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程
．
解方程，得
x＝2．
　　答：应先安排2人进行整理．
　　【师生活动】组内交流，提炼解题思路．
　　【设计意图】通过对解题过程的分析回顾，让学生能清晰地掌握利用一元一次方程解决工程问题的一般步骤．
　　【问题】整理一批图书，由1人整理需要40 h完成，现计划由2人先整理4 h，然后增加若干人与他们一起又整理4 h完成这项工作，应增加多少人？
　　【师生活动】教师引导学生列出方程，并解方程．
　　【答案】解：设增加x人．
　　根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程
．
　　解方程，得
x＝6．
　　答：应增加6人一起完成工作．
　　【设计意图】通过变式问题，巩固学生对列一元一次方程解决工程问题的应用．
　　【归纳】工程问题中的等量关系．
　　（1）在工作总量不明确、不具体的情况下，通常把工作总量看成单位1．
　　（2）工作总量＝工作效率×工作时间．
　　（3）甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率．
　　（4）所有人工作量的和等于总工作量．
四、典例分析
　　【例4】甲每天生产某种零件80个，甲生产3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过5天，两人共生产这种零件940个，问乙每天生产这种零件多少个？
　　【分析】画出示意图如下：
　　等量关系式：
　　前3天甲生产零件的个数＋后5天甲生产零件的个数＋后5天乙生产零件的个数＝940．
【设计意图】数和形是数学中两种重要的表示形式，在列方程解应用题时，我们可以利用图形分析问题中的数量关系，进行求解．本题通过使用示意图，得出等量关系式，给学生展示使用图形分析题目的方法．
【问题】列出方程，解答本题．
　　【师生活动】学生独立列出方程，并解方程，教师根据解题结果是否正确进行指导．
　　【答案】解：设乙每天生产零件的个数为x．
　　由题意，得3×80＋5×80＋5 ＝940．
　　解方程，得x＝60．
　　答：乙每天生产这种零件60个．
　　【设计意图】让学生掌握另一种形式的工程问题的解题思路．
【例5】某项工作，甲单独做需要4小时，乙单独做需要6小时，甲先做30分钟，然后甲、乙合作．甲、乙合作还需要多少小时才能完成全部工作？
　　【师生活动】教师引导学生从不同的角度思考问题，列出方程．
　　【答案】解法1：设甲、乙合作还需要x小时才能完成全部工作．
　　根据题意，得．
　　解方程，得x＝2.1．
　　答：甲、乙合作还需要2.1小时才能完成全部工作．
　　解法2：设甲、乙合作还需要x小时才能完成全部工作．
　　根据题意，得．
　　解方程，得x＝2.1．
　　答：甲、乙合作还需要2.1小时才能完成全部工作．
　　【设计意图】该题继续巩固工程问题的解题方法，同时帮助学生寻找不同的列方程切入点，知道列式的不同并不会影响最终结果．
【例6】某工人安装一批机器，若每天安装4台，预计若干天完成，安装后，改用新方法安装，工作效率提高到原来的倍，因此比预计时间提前一天完工．这批机器有多少台？预计几天完成？
　　【师生活动】学生独立解决，并派学生代表板书写出答案，教师进行点评．
　　【答案】解：设这批机器有x台，则预计天完成．
　　根据题意，得．
　　解方程，得x＝36．
　　进而．
　　答：这批机器有36台，预计9天完成．
【设计意图】此题有一定难度，可以更好地巩固学生对工程问题解法的掌握．
【归纳】工程问题中的三个基本量：工作量、工作效率、工作时间．
列方程解应用题时要牢记：如果甲量已知，从乙量设元，那么需从丙量找相等关系列方程．
【思考】用一元一次方程解决实际问题的基本步骤是什么？
【归纳】用一元一次方程解决实际问题的基本步骤包括：审、设、列、解、检、答．即分析题意，设未知数，列方程，解方程，检验所得结果，确定答案．
正确分析问题中的相等关系是列方程的基础．
【设计意图】通过前面一系列的学习，师生共同归纳出用一元一次方程解决实际问题的基本步骤，为之后的教学做铺垫．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第134页练习1～3题．
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5.3　实际问题与一元一次方程（第2课时）
　　1．掌握如何利用一元一次方程解决销售问题．
　　2．适当结合商品经营中的问题，增强学生的经济意识和经营意识．
　　寻找销售问题中的等量关系，建立一元一次方程．
　　正确运用数学知识分析问题．
新课导入
　　前面，我们已经学习了利用一元一次方程解决实际问题的基本过程，也知道了正确分析问题中的相等关系是列方程的基础．今天，我们来探究如何用一元一次方程解决与实际生活联系更为紧密的问题——商品销售问题．
　　【思考】什么情况表示盈利？什么情况表示亏损？
　　【设计意图】引导学生明确盈利和亏损的情况，知道在求相关问题时如何寻找等量关系．
　　【问题】与销售有关的概念．
常用概念 概念含义
进价
标价
售价
打折
利润
利润率
　　
　　【答案】与销售有关的概念．
常用概念 概念含义
进价 商店进货时的价格
标价 商品在商店出售时所标明的价格
售价 商品出售时的实际价格
打折 打几折就是标价的十分之几
利润 商品的售价高于进价的钱数
利润率 商品的利润与进价的比值
　　【设计意图】复习相关概念，为探究新知做好铺垫．
　　【问题】商品销售问题相关关系式
　　（1）利润＝______________；
　　（2）利润率＝____________；
　　（3）售价＝______________；
　　（4）售价（打折后）＝___________；
（5）售价－进价＝_________．
【答案】（1）售价－进价　　（2）　　（3）成本＋利润
（4）　　（5）进价×利润率
　　【设计意图】熟练掌握商品销售问题中的相关关系式，为后面列方程解决问题奠定理论基础．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
　　【思考】两件衣服的售出价格相同，一件盈利25%，另一件亏损25%，最终结果是不是不盈不亏？如何理解盈利与亏损？
　　【师生活动】引导学生结合已经学过的知识回答对盈亏的理解．
　　【设计意图】掌握利润＝售价－进价，当利润＞0时，是盈利，当利润＜0时，是亏损．知道后续从哪个方面寻找等量关系，列方程．
　　【思路】两件衣服共卖了120元，判断卖这两件衣服是盈利还是亏损应该与这家商店买进这两件衣服时所花的钱数来比较．
　　【答案】总进价＜120，盈利；
　　总进价＞120，亏损；
　　总进价＝120，不盈不亏．
　　【设计意图】代入数据，量化判断．
　　【分析】①设盈利25%的那件衣服的进价是 x 元，则商品利润是0.25x元，
　　依题意列方程 x＋0.25x＝60 ，解得 x＝48 ．
　　②设亏损25%的那件衣服的进价是 y 元，则商品利润是 －0.25y 元，
　　依题意列方程 y＋(－0.25y)＝60 ，解得 y＝80 ．
　　两件衣服的总进价是48＋80＝128（元），
　　两件衣服的总售价是 60×2＝120 （元）．
　　因为总售价 ＜ 总进价，所以可知卖这两件衣服总的盈亏情况是 亏损 ．
　　【师生活动】教师指导学生完成相关填空．
【设计意图】此处设出未知数，求出相关数据，有助于后续列一元一次方程并求解．
【问题】列出方程，解答本题．
　　【答案】解：设盈利25%的衣服的进价是x元，亏损25%的衣服的进价是y元．
　　根据进价与利润的和等于售价，列出方程：
x＋0.25x＝60，y－0.25y＝60．
　　解得x＝48，y＝80．
　　两件衣服的总进价是48＋80＝128（元），而两件衣服的总售价是60＋60＝120（元），总售价小于总进价，由此可知卖这两件衣服共亏损8元．
答：卖这两件衣服总的是亏损，亏损8元．
二、典例分析
　　【例1】一件夹克按进价提高50%后标价，后因季节关系按标价的八折出售，每件以60元卖出，这批夹克每件的进价是多少元？
　　【思考】本题中涉及到哪些量？这些量之间有怎样的关系？怎样设未知数？
【设计意图】通过读题，找出题目中所给与列方程相关的有用信息，能准确设出未知数．
【问题】列出方程，解答本题．
　　【师生活动】学生独立列出方程，并解方程，教师根据解题结果是否正确进行指导．
　　【答案】解：设这批夹克每件的进价为x元，则标价为(1＋50%) x元．
　　根据题意，列出方程
(1＋50%)x·0.8＝60．
　　解方程，得x＝50．
　　答：这批夹克每件的进价是50元．
　　【设计意图】让学生掌握如何解答销售问题中求进价的题型．
　　【例2】书店里每本定价10元的书，进价是8元．为了促销，书店决定让利10%给读者，问该书应打几折？
　　【思考】打折前每本书的利润为多少元？“让利10%给读者”隐含什么条件？打折之后的售价是多少元？
　　【师生活动】教师引导学生逐字逐句对题目中的信息进行解读．
【设计意图】让学生熟练运用销售问题中的利润关系式，准确列出方程．
【问题】该书应打几折？
　　【师生活动】学生小组交流列出方程，并解答，随后教师给出正确答案．
　　【答案】解：设该书应打x折，根据利润＝售价－进价，列出方程
10×－8＝(10－8)×(1－10%)．
　　解方程，得x＝9.8．
　　答：该书应打九八折．
　　【设计意图】让学生掌握如何解答销售问题中求打几折的题型．
　　【例3】某商场节日酬宾：全场八折．一种电器在这次酬宾活动中的利润率为10%，它的进价为2 000元，那么它的原价为多少元？
　　【思考】该种电器的利润是多少？售价怎么求？等量关系是什么？
【设计意图】通过分析，让学生知道利润率和利润、售价等之间的关系式．
【问题】该种电器的原价为多少元？
　　【师生活动】学生独立解决，并派学生代表板书写出答案，教师进行点评．
　　【答案】解：设原价为x元，根据题意，得
80%x－2 000＝2 000×10%．
　　解方程，得x＝2 750．
　　答：它的原价为2 750元．
【设计意图】让学生掌握如何解答销售问题中求原价的题型．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第136页练习第1～2题．
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5.3　实际问题与一元一次方程（第3课时）
　　1．学会分析表格，并能从表格中提取信息，能够根据表格列出一元一次方程．
　　2．明确在利用方程解决实际问题时，不仅要检验解方程是否正确，还要检验方程的解是否符合实际意义．
　　分析表格，并根据表格中数据找到等量关系．
　　针对实际问题，检验方程的解是否符合实际意义．
新课导入
　　今天，我们来探究如何用一元一次方程解决与实际生活联系更为紧密的问题——比赛积分问题．
　　注意：积分问题多出现在球赛和知识竞赛中，赛事的规则不同，积分也不一样．解决这类问题的关键是弄清比赛积分规则．
新知探究
一、探究学习
　　【材料】某次篮球联赛积分．　　
队名 前进 东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 钢铁
比赛场次 14 14 14 14 14 14 14 14
胜场 10 10 9 9 7 7 4 0
负场 4 4 5 5 7 7 10 14
积分 24 24 23 23 21 21 18 14
【问题】从表格中，你能得到什么信息？
　　【师生活动】教师引导学生直观分析表格，罗列出能直接得到的信息．
　　【答案】这次篮球联赛共有8支队伍参赛，每队都打了14场比赛．从积分表中可以知道每队的胜场数、负场数和积分．
　　【设计意图】通过罗列信息，让学生知道如何从表格中获取基础信息．
　　【问题】这张表格中的数据之间有什么样的数量关系？
　　【师生活动】在上个问题的基础上，引导学生从数量方面去分析表格．
　　【答案】每队的胜场数＋负场数＝这个队的比赛场次14；
　　每队胜场总积分＋负场总积分＝这个队的总积分；
　　每队胜场总积分＝胜1场得分×胜场数；
　　每队负场总积分＝负1场得分×负场数．
　　【设计意图】循序渐进地引导学生，从表格中挖掘出尽量多的信息．
　　【问题】胜一场和负一场各积多少分？
　　【师生活动】学生分组讨论，通过观察表格和计算，得出胜一场和负一场各积多少分．
　　【答案】根据表格中最下面一行数据可以看出，钢铁队14场全负，总积分是14分，所以，负一场积1分．
　　设胜一场积x分，根据负一场积1分，由表中前进队的胜负场数和积分，可列方程10x＋1×4＝24，解得x＝2，所以，胜一场积2分．
　　得到积分规则：负一场积1分，胜一场积2分．
　　【设计意图】多角度引导学生对表格进行分析，结合计算，得出表格中隐藏的数量关系．
　　【问题】用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系．
　　【师生活动】教师对学生进行提醒，可以用未知数来表示胜场数或负场数．
　　【答案】若一支球队胜m场，则负 (14－m) 场，胜场积分为 2m ，负场积分为 14－m ，总积分为 2m＋(14－m)，即m＋14．
　　【设计意图】列式表示，量化表格中的信息．
　　【问题】某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
　　【师生活动】学生独立列式解答，教师根据解题结果进行点评．
　　【答案】设一支球队胜了y场，则负了(14－y)场，依题意，得2y＝14－y．解得y＝．
　　【设计意图】能够根据表格所得到的信息列出方程并解答．
　　【问题】y表示什么量？它可以不取整数吗？由此你能得出什么结论？
　　【师生活动】教师引导学生进行分析，判断结果是否符合实际意义．
　　【答案】y表示某队获胜的场数，它应该是自然数，不能是分数．
　　结论：解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际．
　　因为y（所胜的场数）的值必须是整数，所以y＝不符合实际，由此可以判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分．
　　【设计意图】通过对此问题进行分析，让学生意识到对于实际问题，有必要检验解出的结果是否合乎实际．
　　【归纳】通过对球赛积分表的探究，你有什么收获？
　　1．生活中数据信息的传递形式是多样的．
　　2．解决表格问题，首先根据表格中给出的有关信息，找出数量间的关系，再运用数学知识解决问题．
二、典例分析
　　【例题】某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．
下表记录了5个参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 94
C 18 2 88
D 14 6 64
E 10 10 40
　　（1）参赛者F得76分，他答对了几道题？
　　（2）参赛者G说他得80分，你认为可能吗？为什么？
　　【分析】通过表格，你能得到什么信息？
　　【师生活动】在前面探究的基础上，学生单独分析这个表格并找出直接信息．
　　【答案】答对题数＋答错题数＝20；答对题得分＋答错题得分＝总得分；
　　答对（错）题得分＝答对（错）题数×对（错）一题得分．
　　【设计意图】巩固学生对表格的分析能力，为下面列方程计算做好铺垫．
　　【问题】通过表格，能求得哪些数值？
　　【师生活动】学生通过分析表格隐藏信息，求出答对一题和答错一题分别得多少分．
　　【答案】A答对题得分＝100＝20×5，答错题得分0，可知答对一题得5分；
　　E答对题得分＝10×5＝50，总得分＝40，答错题目数是10，答错题得分＝40－50＝－10，可知答错一题得－1分．
　　【设计意图】根据表格求出基本数据，以便于后续列方程．
　　【问题】参赛者F得76分，他答对了几道题？
　　【师生活动】学生独立列方程解答，小组交流互判对错．
　　【答案】解：设F答对了x道题，则答错了(20－x)道题．
　　列出方程
5x＋(－1)×(20－x)＝76．
　　解方程，得x＝16．
　　答：他答对了16道题．
　　【设计意图】让学生学会运用表格中所得到的信息，列方程解决问题．
　　【问题】参赛者G说他得80分，你认为可能吗？为什么？
　　【师生活动】小组交流合作，解答本题，派出学生代表回答．
　　【答案】解：设G答对了m道题，则答错了(20－m)道题．
　　假设G得80分，可列方程
5m＋(－1)×(20－m)＝80．
　　解方程，得m＝．
　　因为m不可能是分数，所以参赛者G不可能得80分．
【设计意图】通过此题，强化学生对结果检验的认识，知道针对实际问题，要检验方程的解是否符合实际意义．
【归纳】解决这类问题的关键是要弄清积分规则，正确找出相等关系，从而列出方程．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第137页练习1～2题．
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5.3　实际问题与一元一次方程（第4课时）
　　1．体验建立方程模型解决问题的一般过程．
　　2．体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力．
　　通过分类讨论，将数学问题转化为方程问题．
　　由实际问题抽象出数学模型的探究过程．
新课导入
　　今天，我们来探究如何用一元一次方程解决与实际生活联系更为紧密的问题——方案选择问题．
　　解决这类问题的关键仍然是在实际问题中分析数量关系，先找出相等关系，再设未知数列方程求解．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低．
匹数 能效等级 售价/元 平均每年 耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
　　你了解上面表格中这些数字的含义吗？怎样理解综合费用？
　　【师生活动】教师提问，学生思考、回答．
　　教师对回答的方向适当给予提示，然后教师列举出一两个具体的使用时间，让学生通过简单计算回答相应的费用．
　　【设计意图】通过提问和学生的回答，了解学生对表格信息的理解能力，引导学生对表格信息做初步梳理和简单加工；通过计算几个较容易的电费，检验学生是否理解表格信息的含义，并渗透“电费多少与使用时间相关”．
　　【问题】根据对表格的理解，你觉得应该怎么求综合费用？
　　【师生活动】教师引导学生写出综合费用和电费的求法．
　　【答案】综合费用＝空调的售价＋电费；
　　电费＝平均每年耗电量×使用的时间×电价．
　　【设计意图】引导学生写出综合费用的求法，为后面进行比较做好铺垫．
　　【问题】你觉得选择哪款空调的综合费用较低呢？
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考回答．根据学生的回答情况，教师适当加以引导．
　　若学生回答1级能效空调或者3级能效空调综合费用较低，可以和班级其他学生一起举例加以质疑；
　　若学生的回答中出现分类讨论的趋势，则教师加以肯定并引导学生作进一步的探究．
　　【设计意图】学生有生活基础，所以具备了一定的认识，在给出探究问题后让学生充分发言，表达自己对问题的直观认识，同时学生之间进行交流，为问题的进一步探究做准备．
　　【问题】通过大家的讨论，你对两款空调的综合费用有什么新的认识？
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考回答．根据学生回答，教师适当加以归纳引导：
　　若学生还没有明确的分类，则引导学生思考“你可以确定哪一个时间区间内两款空调的综合费用的比较结果”，从而引导学生进行分类；
　　若学生已经对问题进行了分类，则追问“为什么这样分类？”以及“在每一个时间区间内你是怎么分析的”，从而引导学生更合理地解决问题．
　　【设计意图】学生参考了其他同学的观点后再次对问题进行认识，其认识过程与结论已经逐步接近正确而合理的方向，教师在此基础上加以引导和启发，帮助学生确定分类讨论的研究方式．
　　【问题】应该怎么列式表示综合费用．
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并列出式子，教师巡视．
　　【设计意图】引导学生独立思考，同时考察学生列代数式表示未知量的能力．
　　【问题】t取什么值时，两款空调的综合费用相等？
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并小组讨论，教师选小组汇报讨论结果．
　　学生能对“t＝5”这种情况作出准确判断，对于“t＜5”“t＞5”的情况，教师辅助学生加以分析．
　　【问题】当t＜5，t＞5时，两款空调的综合费用是怎样的呢？
　　【师生活动】学生组内交流，派出学生代表回答．
　　【答案】把表示3级能效空调的综合费用的式子2 600＋400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即(3 000＋320t)＋(80t－400)，也就是3 000＋320t＋80(t－5)．
当t＜5时，80(t－5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；
当t＞5时，80(t－5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低．
　　【设计意图】学生通过分类讨论得到方程模型，并利用方程求出关键数据，这可使学生认识到方程的重要性和应用价值，增强学生对模型的应用意识和应用能力．
　　【问题】综合以上的分析，可以发现：
　　___________________，选择3级能效空调；___________________，选择1级能效空调．
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答．
　　【答案】当t＜5时　　当t＞5时
　　【设计意图】在得出方程模型的结论之后，引导学生利用结论解释实际问题，从而完成解题过程．
　　【归纳】方案选择问题的求解方法．
　　方案选择在日常生活中有着广泛的应用，解决方案选择问题时，我们可分别计算每种方案应付的费用，然后进行比较．
二、典例分析
　　【例】在甲复印店用A4纸复印文件，复印页数不超过20页时每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费降为0.09元．在乙复印店用A4纸复印文件，不论复印多少页，每页收费0.1元．如何根据复印的页数选择复印的地点，使总价格比较便宜？（复印的页数不为0）
【问题】你能通过分析题目，合理地列出表格吗？
　　【师生活动】教师引导学生列表，将题目中的信息以表格的形式整理出来．
【答案】设复印x页，整理数据如下．
复印页数x/页 甲复印店复印费用/元 乙复印店复印费用/元
x＜20 0.12x 0.1x
x＝20 0.12×20＝2.4 0.1×20＝2
x＞20 2.4＋0.09(x－20) 0.1x
　　【设计意图】通过列表，提升学生列表整理信息的能力．
　　【问题】如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？
　　【师生活动】根据表格，学生对此问题进行分析，教师巡视进行指导．
　　【答案】解：设复印页数为x页（x是正整数）．
　　（1）当x＜20时，0.12x＞0.1x恒成立，乙复印店价格便宜；
　　（2）当x＝20时，2.4＞2，乙复印店价格便宜；
　　（3）当x＞20时，依题意，得2.4＋0.09(x－20)＝0.1x．解得x＝60．
代入数值进行验证，可知当x＞60时，甲复印店价格便宜，
当x＜60时，乙复印店价格便宜．
综上所述，当x＜60时，乙复印店价格便宜；当x＝60时，甲复印店和乙复印店价格相同；当x＞60时，甲复印店价格便宜．
【设计意图】通过解答此题，使学生进一步熟悉解决问题的方法与过程，从而提高分析与解决问题的能力．
【活动1】生活中的阶梯计价问题
　　居民生活用水通常按户计费．下表是某城市居民生活用水的收费标准(户内人口不超过4人)，称这样的收费方式为阶梯计价．
收费方式 年用水量/m3 费用/(元/m3)
第一阶梯 0～180 4.5
第二阶梯 181～240 6
第三阶梯 240以上 8
【问题】（1）设某户居民的年用水量为t m3(t是正整数)，请你列表说明，当t在不同范围内取值时，如何计费．
　　（2）已知某户居民一年的水费为930元，这户居民的年用水量是多少立方米？
　　（3）查阅资料，了解自己所在地区的城市居民生活用水收费标准．据此你能提出一些数学问题并加以解决吗？
　　（4）查阅资料，了解生活中还有哪些阶梯计价问题(如电费、停车场收费、出租车收费等)，根据相应的收费标准，自己提出可以利用一元一次方程解决的问题，并正确地表述问题及其解决过程．
　　【答案】解：（1）当t(t是正整数)在不同范围内取值时，计费情况如下表所示．
年用水量t/m3 费用/元
0＜t<180 4.5t
t＝180 810
180＜t＜240 810＋6(t－180)
t＝240 1 170
t＞240 1 170＋8(t－240)
　　（2）设这户居民的年用水量为x m3．
因为这户居民一年的水费为930元，所以180＜x＜240．
列得方程810＋6(x－180)＝930，解得x＝200．
所以这户居民的年用水量是200 m3．
【活动2】木杆挂重物问题
　　用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验：
　　（1）在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点；
　　（2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡；
　　（3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；
　　（4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；
　　（5）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录．
　　【问题】根据记录你能发现什么规律？
　　【答案】随着支点左边小物体数目的增多，支点到木杆左边挂重物处距离越来越近；
　　左边小物体数目×支点到木杆左边挂重物处距离＝右边小物体数目×支点到木杆右边挂重物处距离．
　　【问题】如图，在木杆右端挂一重物，支点左边挂n个重物，并使左右平衡．设木杆长为l cm，支点在木杆中点处，支点到木杆左边挂重物处的距离为x cm，把n，l作为已知数，列出关于x的一元一次方程．
　　【答案】解：根据规律，可列得方程nx＝．
【设计意图】通过解答此题，使学生进一步熟悉解决问题的方法与过程，从而提高分析与解决问题的能力．
课堂小结
课后任务
完成教材第139页练习第2题．
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5.3　实际问题与一元一次方程（第5课时）
　　1．能从实际问题中找出相等关系，由此列出方程，把实际问题转化为数学问题．
　　2．针对不同的题目类型，能正确进行解答，并将解方程的结果回归到实际问题中．
　　通过寻找相等关系，将实际问题转化为数学问题．
　　由实际问题抽象出数学模型的探究过程．
新课导入
　　一元一次方程在实际生活中有着广泛的应用，这类问题常与现实生活背景结合，常见类型有“配套问题”“工程问题”“商品销售问题”“比赛积分问题”“分段计费问题”等．
　　解决这类问题的关键是先通过对实际问题进行分析，找出相等关系，再设未知数列方程求解．
　　本节课，主要对这几种类型的题目进行复习巩固，进一步提高同学们分析和解决问题的能力．
新知探究
类型一、配套问题与工程问题
　　【问题】1．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．现在有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？
　　【师生活动】学生独立解答，小组内部交流纠错．
【答案】解：设用x张白铁皮制盒身，则用(36－x)张制盒底．
由题意，得2×25x＝40(36－x)．
解方程，得x＝16，36－x＝36－16＝20．
　　答：用16张白铁皮制盒身，20张白铁皮制盒底，可使盒身与盒底正好配套．
　　【问题】2．甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，每超过1天罚款1 000元，甲、乙两人商量后签订了该合同．
　　（1）正常情况下，甲、乙两人能按期履行该合同吗？为什么？
　　（2）现两人合作完成了这项工程的75%，因别处有急事，必须调走1人，则调走谁合适？为什么？
　　【师生活动】学生独立解答，小组内部交流纠错．
　　【答案】解：（1）能按期履行该合同．理由如下：
　　设甲、乙两人合作x天完成，则有x＝1．
　　可得x＝12，12＜15，因此两人能按期履行该合同．
（2）调走甲合适．理由如下：
由（1）知，两人合作完成这项工程的75%需要的时间为12×75%＝9（天）．
　　剩下6天必须由某人单独做完余下的工程，故他的工作效率至少为(1－75%)÷6＝．
　　因为，所以调走甲合适．
　　【归纳】列一元一次方程解决工程问题应注意：
　　（1）要清楚地表达出各个工作者的工作效率．
　　（2）明确各阶段工作效率对应的工作时间．
　　（3）一般有单独工作、合作两种形式，总量一般记为单位“1”．
　　【设计意图】通过解答这两道题目，检验学生对本类型题目的掌握程度，让学生知道列一元一次方程解决工程问题的三个注意点，同时对配套问题进行解后反思，意识到解决配套问题的关键是找到数量关系．
类型二、商品销售问题
　　【问题】3．某商场将某种电器的标价按进价提高40%后，进行促销：“大酬宾，八折优惠”，结果每件电器可获利270元，请问这种电器每件的进价是多少元？
　　【师生活动】学生独立解决问题，教师提问．
　　【答案】解：设每件电器的进价是x元，按进价提高40%后的价格是x(1＋40%)元，
　　“大酬宾，八折优惠”，是价格提高后的80%．
　　由题意，得x(1＋40%)×80%－x＝270．
解方程，得x＝2 250．
答：这种电器每件的进价是2 250元．
　　【问题】4．某水果店以5元/千克的价格购进一批橙子，很快售罄，该店又再次购进，第二次进货价格比第一次每千克便宜了2元，两次一共购进600千克，且第二次进货的花费是第一次进货花费的1.2倍．
　　（1）该水果店两次分别购进了多少千克的橙子？
　　（2）售卖中，第一批橙子在其进价的基础上加价a%进行定价，第二批橙子因为进价便宜，因此以第一批橙子的定价再打八折进行销售．销售时，在第一批橙子中有5%的橙子变质不能出售，在第二批橙子中有10%的橙子变质不能出售，该水果店售完两批橙子能获利2 102元，求a的值．
　　【师生活动】教师引导学生分步解答本题，鼓励学生组内讨论，尽量准确地找出等量关系，列出方程．
　　【答案】解：（1）设第一次购进橙子x千克，则第二次购进橙子(600－x)千克．
　　由题意，得1.2×5x＝(5－2)×(600－x) ．
　　解方程，得x＝200，所以600－x＝400．
　　答：第一次购进橙子200千克，第二次购进橙子400千克．
　　（2）由题意，得
　　5(1＋a%)×200×(1－5%)＋5(1＋a%)×80%×400×(1－10%)－200×5－400×3
　　＝2 102．
　　解方程，得a＝80，即a的值为80．
　　【归纳】
类型 常用概念 相关公式
商品销售问题 ①成本：进价，即进货价格； ②标价：商品在出售时标明的价格； ③售价：商品在出售时的实际价格； ④利润：商品的售价高于成本的钱数； ⑤利润率：商品的利润与成本的比值 ①利润＝售价－成本（进价）＝成本（进价）×利润率； ②利润率＝×100%； ③售价＝成本＋利润＝成本×（1＋利润率）； ④商品售价（打折后）＝商品标价×
【设计意图】这两道题目涉及概念较多，主要让学生回顾商品销售问题中的相关概念，并对所涉及公式进行巩固．
类型三、比赛积分问题与行程问题
　　【问题】5．某市今年公务员录用考试是这样统计成绩的：综合成绩＝笔试成绩×60%＋面试成绩×40%．王小明的笔试成绩是82分，他的竞争对手的笔试成绩是86分，王小明要使自己的综合成绩追平竞争对手，则他的面试成绩必须比竞争对手多（　　）．
　　 A．2.4分 B．4分 C．5分 D．6分
　　【师生活动】学生分组解决此问题，以组为单位汇报解答结果．
【答案】D
【解析】若王小明要使自己的综合成绩追平竞争对手，设他的面试成绩必须比竞争对手多x分，由题意，得82×60%＋40%x＝86×60%，解得x＝6．所以王小明要使自己的综合成绩追平竞争对手，则他的面试成绩必须比竞争对手多6分．故选D．
　　【问题】6．甲、乙两人从相距100 m的两地同时出发来散步，相向而行，甲每秒钟走6 m，乙每秒钟走4 m，甲带了一只小狗，小狗每秒钟跑10 m，小狗随甲同时出发，向乙跑去，当它遇到乙后，就立刻回头向甲跑去，遇到甲后它又向乙跑去……直到甲、乙两人相遇小狗才停住．求这条小狗一共跑了多少路程．
　　【师生活动】教师引导学生列出方程，学生独立解方程．
　　【答案】解：设小狗跑了x s，由题意，得6x＋4x＝100．
解方程，得x＝10，则小狗一共跑了10×10＝100（m）．
　　答：小狗一共跑了100 m．
　　【问题】7．一列火车匀速行驶，经过一条长450 m的隧道时，需要20 s的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是5 s．根据以上数据，解答问题：
　　（1）求火车的长度；
　　（2）求火车完全在隧道里行驶的时间．
　　【师生活动】教师引导学生设出未知数，学生独立列出方程解答．
【答案】解：（1）设火车的长度为x m．
由题意，得．
解方程，得x＝150．
　　答：火车的长度为150 m．
　　（2）因为火车的速度为：＝30（m/s），
所以火车完全在隧道里行驶的时间为：＝5（s）．
答：火车完全在隧道里行驶的时间是5 s．
　　【归纳】相遇问题中等量关系的寻找方法
　　（1）从时间考虑：两人同时出发，相遇时两人所用的时间相等．
　　（2）从路程考虑：沿直线运动，两人相向而行，相遇时两人所走的路程之和等于全路程．
　　【设计意图】让学生掌握相遇问题中等量关系的寻找方法，同时由问题7意识到，火车是有长度的，不能单纯地看作一个点．
类型四、分段计费问题与方案选择问题
　　【问题】8．为了鼓励节约用水，某市对自来水的收费标准作如下规定：
用水量/m3 0～18（含） 18～40（含） 40以上
费用/（元/m3） 2.2 3.3 6.6
　　另外：1 m3收污水处理费1元．
　　（1）9月，小张家用水10 m3，交费_____元；小赵家用水26 m3，交费_____元．
　　（2）已知小李家10月份缴水费175元，他家10月份用了多少水？
　　【师生活动】师生合作，解答问题．
　　【答案】解：（1）10×1＋2.2×10＝32（元），2.2×18＋(26－18)×3.3＋26＝92（元）．
故答案为：32；92．
　　（2）设小李家10月份用水x m3，由题意，得
　　2.2×18＋(40－18)×3.3＋(x－40)×6.6＋x＝175．
　　解方程，得x＝43．
　　答：小李家10月份用水43 m3．
　　【问题】9．小商品批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种小商品700件．
　　（1）现有两种购买方案：
　　 ①分两次购买，第一次购买240件，第二次购买460件；
　　 ②一次性购买700件．
　　问哪种购买方案费用较省？省多少元？说明理由．
　　（2）若该客户分两次购买该商品共700件（第二次多于第一次），共付费1 860元，
则第一次、第二次分别购买该商品多少件？
　　【师生活动】教师提问，学生在不借助计算的前提下猜测哪种购买方案更省钱．在猜测的前提下，列方程进行验证．
　　【答案】解：（1）购买方案②费用较省，理由如下：
　　购买方案①所需费用为：
　　3×240＋2.5×460＝720＋1 150＝1 870（元）；
　　购买方案②所需费用为：2×700＝1 400（元）．
　　因为1 870＞1 400，1 870－1 400＝470（元）．
　　所以购买方案②费用较省，省470元．
　　（2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品（700－x）件．
　　①当0＜x＜200时，3x＋2(700－x)＝1 860．
　　解方程，得x＝460（不合题意，舍去）；
　　②当200≤x≤300时，3x＋2.5(700－x)＝1 860．
　　解方程，得x＝220，所以700－x＝700－220＝480．
　　③当300＜x＜350时，2.5x＋2.5(700－x)＝1 750≠1 860，该情况不存在．
　　答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件．
　　【设计意图】此处设置方案选择题目，让学生认识该种题型，并掌握解答这种题目的方法，知道在解题过程中，一定要把实际问题抽象成一元一次方程，利用解方程获得最终答案．
类型五、数字问题和年龄问题
　　【问题】10．若一个三位数的十位数字是个位数字的2倍，我们称这个三位数为“倍尾数”，如521．已知一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大1，其各位数字之和是16，求这个“倍尾数”．
　　【师生活动】学生设出未知数，列出方程，教师巡视．
　　【答案】解：设这个“倍尾数”的个位数字为x，则十位数字为2x，百位数字为2x＋1，
由题意，得(2x＋1)＋2x＋x＝16．解方程，得x＝3．所以2x＝6，2x＋1＝7．即这个“倍尾数”是763．
　　答：这个“倍尾数”是763．
　　【问题】11．小明问老师的年龄，老师说：“我们两人现在的年龄和为50岁，5年后，我的年龄比你的年龄的2倍还大3岁．”小明听后说：“老师，我知道自己的年龄，也就知道了您的年龄．”同学们，你们知道老师今年年龄是多少吗？
　　【师生活动】学生解答完此题后，教师再以自己的年龄举例，让学生求解．
　　【答案】解：设老师今年的年龄为x岁，则小明的年龄为(50－x)岁．
根据题意，得x＋5＝2(50－x＋5)＋3．解方程，得x＝36．
答：老师今年的年龄为36岁．
　　【归纳】数字问题设未知数的技巧：
　　在数字问题中，一般直接设未知数不易列出方程，可以采用间接设法，即设某个数位上的数字为未知数，并用它表示出其他数位上的数字，求解后再确定要求的具体数字．
　　【设计意图】此处数字问题主要是考查学生设未知数的能力，要求学生能掌握间接设法，即由某一位来表示其余数位；年龄问题更加贴合实际，进一步巩固学生列方程解决问题的能力．
类型六、调配问题和图形问题
　　【问题】12．某工厂有甲、乙两车间各生产不同型号的产品，原计划乙车间人数比甲车间少100人，产品上市后，甲车间的产品成为爆款，于是又从乙车间调50人支援甲车间，这时甲车间的人数是乙车间剩余人数的3倍，求原来甲、乙车间各有多少人．
　　【师生活动】学生列出方程并解答，组内交流纠错．
　　【答案】解：设乙车间原有x人，则甲车间原有(x＋100)人．
　　由题意，得x＋100＋50＝3(x－50)．解方程，得x＝150．
　　故甲车间原有人数为：150＋100＝250．
答：乙车间原有150人，甲车间原有250人．
　　【归纳】
类型 特点 等量关系
调配问题 从甲处调一些人（或物）到乙处，使之符合一定数量关系，或从第三方调入一些人（或物）到甲、乙两处，使之符合一定数量关系 甲数＋乙数＝总数； 甲调人数＋乙调人数＝总调人数
　　【设计意图】通过调配问题的解决，让学生能够熟练掌握该类型题目的特点及涉及的公式．
　　【问题】13．如图，宽为50 cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，求其中一个小长方形的面积．
　　【师生活动】教师引导学生分析图形，找出边长之间的等量关系，列出方程．
　　【答案】解：设小长方形的长为x cm，则宽为(50－x)cm．
　　由题意，得2x＝x＋4(50－x)．
解方程，得x＝40，所以50－x＝10．
所以一个小长方形的面积为：10×40＝400（cm2）．
　　答：其中一个小长方形的面积为400 cm2．
类型七、古代数学问题中的一元一次方程
　　【问题】14．我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，问：人数多少？银子几何？意思是：有若干客人分银若干两，如果每人分7两，还多4两；如果每人分9两，还差8两．问：有几位客人，几两银子？（注：题中斤、两为旧制，1斤＝16两）
　　【师生活动】教师引导学生读题，理解题意，找出等量关系．
【答案】解：设有x位客人．由题意，得7x＋4＝9x－8．
　　解方程，得x＝6，7x＋4＝42＋4＝46．
　　答：有6位客人，46两银子．
　　【问题】15．我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问第一天织多少布？
　　【师生活动】学生独立分析题目，找出等量关系列方程．
　　【答案】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺．
　　由题意，得x＋2x＋4x＋8x＋16x＝5．
解方程，得x＝．
答：该女子第一天织布尺．
　　【设计意图】这两道古代题目主要是提醒学生，在遇到类似的问题时要想办法把内容翻译成现代文来解答．
课堂小结
课后任务
完成教材第147页复习题5第7～12题．
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