资源简介

2.2　有理数的乘法与除法（第1课时）
　　1．运用数形结合的思想方法得出有理数乘法法则．
　　2．能正确地进行有理数乘法运算．
　　3．初步理解有理数乘法法则的合理性．
　　利用有理数乘法法则进行两个数的乘法运算．
　　运用数形结合的思想方法得出有理数乘法法则．
　　 新课导入　　
　　如图，有甲、乙两座水库，甲水库的水位每天升高3 cm，乙水库的水位每天下降3 cm．如果用“＋”号表示水位的上升，用“－”号表示水位的下降，请用算式表示，3天后甲、乙水库水位的总变化量分别是多少．
　　【师生活动】通过水库水位的上升和下降问题所列出的算式，引出正数与负数、负数与正数、负数与负数、负数与零相乘问题，引发学生思考：这类的运算该如何进行呢？从而点出这节课所要学习的内容．教师可以引导学生从有理数分类的角度考虑，区分出有理数乘法的情况有：正数乘正数、正数与0相乘、0与0相乘、正数乘负数、负数乘正数、负数乘负数、负数与0相乘．
　　【设计意图】通过实际问题，自然地引出本节课要解决的问题，给出有理数相乘的几种情况，为下面的教学做好准备；渗透分类讨论思想，引导学生借助于已有的经验开始着手研究解决新问题．
　　 新知探究　　
一、探究学习
　　【问题】分别观察下面的两列乘法算式，你能发现什么规律？
　　　　　　　　（1）3×3＝9，　　　　　　（2）3×3＝9，
　　　　　　　　3×2＝6，　　　　　　　　 2×3＝6，
　　　　　　　　3×1＝3，　　　　　　　　 1×3＝3，
　　　　　　　　3×0＝0；　　　　　　　　 0×3＝0．
　　【师生活动】教师引导学生从算式的两边分别分析两个乘数和积去观察发现规律．
　　【设计意图】构造这组有规律的算式，通过合情推理，为得到正数乘负数的法则做准备，通过引导和提示，使学生知道“如何观察”“如何发现规律”．
　　【问题】对于（1）中的算式，要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
3×(－1)＝－3，
3×(－2)＝－6，
3×(－3)＝－9．
对于（2）中的算式，要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
(－1)×3＝－3，
(－2)×3＝－6，
(－3)×3＝－9．
　　【思考】从符号和绝对值两个角度分别观察上述所有算式，你能说说它们的共性吗？你能发现什么规律？
　　【师生活动】先让学生观察、叙述、补充，教师再带领学生总结．
　　【新知】正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积也为负数．积的绝对值等于乘数的绝对值的积．
　　【问题】利用上面归纳的结论计算下面的算式，你能发现什么规律？
(－3)×3＝－9，
(－3)×2＝－6，
(－3)×1＝－3，
(－3)×0＝0．
　　按照上述规律，下面的空格应各填什么数？
(－3)×(－1)＝3，
(－3)×(－2)＝6，
(－3)×(－3)＝9．
　　【思考】从符号和绝对值两个角度观察上述算式，能发现什么规律
　　【师生活动】让学生自主探究得出负数乘负数的结论．
　　【新知】负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积．
　　【设计意图】让学生根据前面积累的经验，独立完成归纳、概括．
　　【问题】总结上面所有的情况，你能试着自己总结出有理数乘法法则吗？
　　【师生活动】学生独立思考后进行课堂交流，师生共同完成，得出结论．
　　【新知】有理数乘法法则：
　　1．两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积．
　　2．任何数与0相乘，都得0．
有理数乘法法则也可以表示如下：
　　设a，b为正有理数，c为任意有理数，则
　　(＋a)×(＋b)＝＋(a×b)，(－a)×(－b)＝＋(a×b)；
　　(－a)×(＋b)＝－(a×b)，(＋a)×(－b)＝－(a×b)；
　　c×0＝0，0×c＝0．
　　显然，两个有理数相乘，积是一个有理数.
　　【问题】你认为根据有理数乘法法则进行有理数乘法运算时，应按照怎样的步骤进行运算？你能举例说明吗？
　　【师生活动】学生独立思考、回答．
　　【设计意图】让学生尝试归纳有理数乘法运算的关键步骤．
　　【新知】有理数乘法的运算步骤：
　　有理数相乘，可以先确定积的符号，再确定积的绝对值．
二、典例精讲
【例1】计算：（1）(－3)×9；（2）8×(－1)；（3）(－5)×0；（4）；（5）．
　　【答案】（1）－27；　　（2）－8；　　（3）0；　　（4）1；　　（5）．
　　【师生活动】教师引导学生共同完成例题的分析和总结．
　　【设计意图】巩固乘法法则，规范答题步骤．并指出有理数乘法运算和有理数加法运算是类似的，都是先确定结果的符号，再确定结果的绝对值，建立知识之间的联系．
　　【例2】用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高1 km气温的变化量为－6 ℃，登高3 km后，气温有什么变化？
　　【答案】解：依题意，得(－6)×3＝－18．
　　答：登高3 km后，气温下降18 ℃．
【设计意图】利用有理数乘法解决实际问题，体现数学的应用价值．
　　 课堂小结　　
课后任务
完成教材第40页练习1～3题．
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.2　有理数的乘法与除法（第2课时）
　　1．探索多个有理数相乘的积的符号规律，并能熟练进行多个有理数的乘法运算．
　　2．探索和掌握乘法交换律、乘法结合律和分配律．
　　3．能灵活运用所学的知识进行简便运算．
　　1．熟练进行多个有理数的乘法运算．
　　2．探索和掌握乘法交换律、结合律和分配律．
　　1．探索多个有理数相乘的积的符号规律．
　　2．探索乘法运算律，能灵活运用所学的知识进行简便运算．
　　 新课导入　　
　　【问题】有了有理数的乘法法则后，就要研究乘法的运算律．在小学我们学过乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律，对于有理数的乘法，它们还成立吗？
　　【师生活动】学生独立思考，全班交流，教师引导．
　　【设计意图】通过此问题，自然地引出本节课要学习的新知，为下面的教学做好准备，引导学生借助已有的经验开始着手研究解决新问题．
　　 新知探究　　
一、探究学习
　　【问题】计算下列各题，并比较它们的结果，你有什么发现？
（1）5×(－6)；（2）(－6)×5．
　　【答案】（1）－30；　（2）－30．
　　【新知】一般地，在有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变．
乘法交换律：ab＝ba．
　　【问题】计算下列各题，并比较它们的结果，你有什么发现？
（3）[3×(－4)]×(－5)；（4）3×[(－4)×(－5)]．
　　【答案】（3）60；　　（4）60．
　　【新知】在有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．
乘法结合律：(ab)c＝a(bc)．
　　【归纳】根据乘法交换律和结合律，多个有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘．
　　【问题】计算下列各题，并比较它们的结果，你有什么发现？
（5）5×[3＋(－7)]；（6）5×3＋5×(－7)．
　　【答案】（5）－20；　（6）－20．
　　【新知】一般地，有理数中，一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加．
分配律：a(b＋c)＝ab＋ac．
　　【师生活动】教师引导学生，从具体运算入手，验证小学所学的运算律在有理数范围内依然成立．
　　【设计意图】让学生经历从具体到抽象的研究过程，把小学所学的运算律推广到了有理数范围，让学生感受到初中学习到的很多知识，都是小学所学知识的自然延续．
　　【问题】下列各式中用了哪条运算律？如何用字母表示？
　　（1）(－4)×8＝8×(－4)；
　　（2）[(－8)＋5]＋(－4)＝(－8)＋[5＋(－4)]；
　　（3）(－6)×＝(－6)×＋(－6)×；
　　（4）×(－12)＝29×．
　　【答案】（1）乘法交换律：ab＝ba；（2）加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；（3）分配律：a(b＋c)＝ab＋ac；（4）乘法结合律：(ab)c＝a(bc)．
　　【师生活动】学生独立完成，全班交流，教师讲解．
　　【设计意图】让学生独自辨析运算律的使用场景，巩固运算律的相关知识．
二、典例精讲
　　【例题】（1）计算2×3×0.5×(－7)；
（2）用两种方法计算．
　　【答案】（1）2×3×0.5×(－7)＝(2×0.5)×[3×(－7)]＝1×(－21)＝－21．
（2）解法1：．
　　解法2：．
　　【思考】比较（2）中的两种解法，它们在运算顺序上有什么区别？解法2用了什么运算律？哪种解法更简便？
【答案】解法1先做加法运算，再做乘法运算．解法2先做乘法运算，再做加法运算．
解法2用了分配律．解法2的解法更简便．
　　【师生活动】教师引导学生共同完成例题的分析和总结．
【设计意图】应用所学知识解决问题，能运用运算律进行一些简便运算．
　　【问题】改变例题（1）的乘积式子中某些乘数的符号，得到下列一些式子．观察这些式子，它们的积是正的还是负的？
2×3×(－0.5)×(－7)，
2×(－3)×(－0.5)×(－7)，
(－2)×(－3)×(－0.5)×(－7)．
　　【答案】正；　负；　正．
　　【思考】几个不为0的数相乘，积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系？如果有乘数为0，那么积有什么特点？
　　【师生活动】教师引导学生观察，找出以上算式的负的乘数的个数和积的符号之间的关系，思考有乘数为0时积的特点．
　　【新知】几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0．
　　【问题】（1）；（2）．
　　【答案】（1）；　（2）6；
　　【师生活动】教师引导学生共同完成问题的分析和总结．
　　【设计意图】应用所学知识解决问题，掌握多个非零有理数相乘的积的符号规律．
　　【思考】多个不为0的数相乘，先做哪一步，再做哪一步？
　　【新知】步骤：
　　1．先确定积的符号；
　　2．再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值．
　　【问题】你能看出下式的结果吗？如果能，请说明理由．
7.8×(－8.1)×0×(－19.6)．
　　【答案】0；理由：几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0．
　　【归纳】多个有理数相乘的解题步骤：
　　第一步：看是否有乘数0：含乘数0，则结果为0；不含，则进行第二步；
　　第二步：确定符号（奇负偶正）；
　　第三步：绝对值相乘．
　　【设计意图】让学生总结归纳出多个有理数相乘的解题步骤．在做题时能够注意0乘数，养成先观察的好习惯．
　　 课堂小结　　
课后任务
　　完成教材第43页练习1～2题．
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.2　有理数的乘法与除法（第3课时）
　　1．初步掌握有理数除法法则，能利用有理数除法法则进行简单的运算和分数的化简．
　　2．经历探索有理数除法法则的过程，体会转化思想，进一步提高学生观察、归纳、验证等能力．
　　正确运用有理数除法法则进行有理数除法运算．
　　有理数除法法则的灵活运用．
知识回顾
　　1．计算：
（1）3×(－9)； （2）－5×(－11)；
（3）； （4）－6×0．
　　【答案】解：（1）3×(－9)＝－27； （2）－5×(－11)＝55；
（3）；（4）－6×0＝0．
　　2．说一说有理数的乘法法则.
　　两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积．任何数与0相乘，都得0．
　　【归纳】运算过程中应先判断积的符号
　　（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负的乘数的个数决定：
　　①当负的乘数有奇数个时，积为负；
　　②当负的乘数有偶数个时，积为正．
　　（2）几个数相乘，有一个乘数为0，积就为0．
　　【师生活动】学生自主解答所给问题，然后教师继续讲解课程．
　　【设计意图】通过复习有理数的乘法法则，为引出本节课的内容作铺垫．
新知探究
一、探究学习
【问题】怎样计算8÷(－4)？
【思考】（1）小学里学过的除法的意义是什么？
　　（2）它与乘法有什么关系？
【答案】（1）已知两数的积及其中一个乘数，求另一个乘数的运算．
　　（2）除法与乘法互为逆运算．
　　结论：根据除法是乘法的逆运算，计算8÷(－4)，就是要求一个数，使它与－4相乘得8．
【分析】因为(－2)×(－4)＝8，
所以8÷(－4)＝－2． ①
另一方面，我们有
8×＝－2． ②
于是有
8÷(－4)＝8×． ③
③式表明，一个数除以－4可以转化为乘来进行，即一个数除以－4，等于乘－4的倒数.
【问题】换其他数的除法进行类似讨论，是否仍有除以a(a≠0)可以转化为乘？
【思考】仿照上面的方法，我们再来看如何计算(－15)÷(－3)．
【分析】因为5×(－3)＝－15，所以(－15)÷(－3)＝5.
【思考】？
【答案】＝5.
结论：(－15)÷(－3)＝．
该式表明，一个数除以－3可以转化为乘来进行，即一个数除以－3，等于乘－3的倒数．
【师生活动】学生回答，教师给出答案，然后提出思考问题，学生尝试总结，教师给予帮助．
【设计意图】通过知识回顾“除法是乘法的逆运算”，经历探索有理数的除法法则的过程，体会转化思想，进一步发展学生观察、归纳、验证等能力．
　　【新知】有理数除法法则：
　　1．除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即．
　　2．两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
　　注意：（1）0不能作为除数．
　　（2）两个有理数相除（除数不为0），商是一个有理数．
　　【归纳】对比记忆．
　　有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．
　　有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．
　　【师生活动】学生回忆、独立思考、回答，教师再总结补充．
　　【设计意图】通过对比学习，加深学生对有理数除法法则的理解和记忆．
二、典例精讲
　　【例1】计算：（1）(－36)÷9；　　　（2）．
【答案】解：（1）(－36)÷9＝－(36÷9)＝－4；
　　（2）．
　　【师生活动】学生独立完成，全班交流，教师讲解．
【设计意图】通过例题讲解，让学生掌握在进行有理数除法运算时，能整除、不能整除及除数为分数时，如何合理选择法则进行解答．
　　【例2】化简：（1）；　　（2）．
　　【答案】解：（1）；
（2）．
　　【新知】分数化简的方法：
　　（1）把分数转化为除法，利用有理数的除法法则进行化简；
　　（2）利用分数的基本性质“分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变”进行化简.
　　【归纳】一般地，根据有理数的除法，形如的数都是有理数；有理数又都可以写成上述形式（整数可以看成分母为1的分数）．这样，有理数就是形如的数．
　　【师生活动】学生独立完成，全班交流，教师讲解．
　　【设计意图】通过例题学习，让学生尝试归纳出分数化简的方法和有理数的分数形式，提高学生归纳总结的能力．
　　【例3】计算：（1）　　（2）
　　【答案】解：（1）
　　＝
　　＝
　　＝
　　＝；
（2）
　　＝
　　＝1．
　　【新知】乘除混合运算：
（1）乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算）；
（2）有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用与有理数乘法有关的运算律简化运算．
　　【师生活动】教师引导学生共同完成例题的分析和总结．
【设计意图】学生不仅要掌握直接利用有理数除法法则解决有理数除法问题，还要学会通过“除法是乘法的逆运算”来解决乘除混合运算题目．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第45页练习1～2题．
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.2　有理数的乘法与除法（第4课时）
　　1．进一步应用有理数的除法法则，掌握有理数加减乘除混合运算顺序，能够较为熟练地进行有理数加减乘除混合运算．
　　2．能运用有理数加减乘除运算解决简单的实际问题．
　　3．通过经历尝试从不同角度解决问题的过程，让学生学会一题多解、一题巧解的解题方法．
　　4．会用计算器计算有理数的加减乘除混合运算．
　　熟练掌握有理数的加减乘除混合运算．
　　如何按有理数的运算顺序正确而简便地进行运算．
知识回顾
　　【问题1】我们目前都学习了哪些运算？
　　【答案】加法、减法、乘法、除法．
　　【归纳】有理数的加、减、乘、除运算，称为有理数的加减乘除混合运算.
　　【问题2】小学的四则混合运算的顺序是怎样的？
　　【答案】先乘除，后加减，同级运算从左向右；有括号要先算括号里的，再算括号外的．
　　括号运算顺序：先小括号，再中括号，最后大括号．
　　【思考】这个运算顺序在初中阶段是否仍然适用？
　　【问题3】下列式子含有哪几种运算？先算什么，后算什么？
　　＝？
　　【师生活动】学生自主回答问题，然后教师继续讲解课程．
　　【设计意图】复习小学学过的四则混合运算的相关知识，引出本节课课题“有理数的加减乘除混合运算”．
新知探究
　　一、新知讲解
　　【新知】有理数的加、减、乘、除混合运算顺序
　　1．如无括号应按照“先乘除，后加减”的顺序进行；如果有括号，则先算括号里面的．
　　2．同级运算，按从左向右的顺序计算．
　　【师生活动】教师引导，学生尝试总结，教师给予帮助．
　　【设计意图】通过复习旧知，归纳出有理数加减乘除混合运算顺序，发展学生的归纳总结能力．
　　二、典例精讲
　　【例1】计算：（1）－8＋4÷(－2)；　（2）(－7)×(－5)－90÷(－15)；
　　（3）；　 　（4）．
【答案】解：（1）－8＋4÷(－2)
　　 ＝－8＋(－2)
　　 ＝－10；
（2）(－7)×(－5)－90÷(－15)
　　 ＝35－(－6)
＝35＋6
＝41；
（3）方法一：
　　 ＝
　　 ＝－1＋(－1)
　　 ＝－2；
方法二：
　　 ＝
　　 ＝(2－3)＋(－1)
　　 ＝－2；
（４）方法一：
　　 ＝
　　 ＝
　　 ＝
　　 ＝．
　　方法二：
　 　＝×(－30)
　　 ＝－20＋3－5＋12
　　 ＝－10．
　　所以，原式＝．
　　【归纳】有理数的加减乘除混合运算方法：
　　（1）先算乘除，再算加减；
　　（2）同级运算从左向右依次计算；
　　（3）如有括号，先算括号内的；
　　（4）能用运算律的，应利用运算律．
　　【师生活动】学生独立完成，全班交流，教师讲解．
　　【设计意图】通过例题学习，让学生掌握有理数的加减乘除混合运算顺序，并能熟练地进行有理数的加减乘除混合运算．特别地，通过例1第4小题的讲解，让学生体会如何根据题目特点正确而简便地进行计算，从而解决问题．
　　【例2】某公司去年1月—3月平均每月亏损1.5万元，4月—6月平均每月盈利32万元，7月—10月平均每月盈利21.7万元，11月—12月平均每月亏损2.3万元．这个公司去年总的盈亏情况如何？
【答案】解：记盈利额为正数，亏损额为负数，由
(－1.5)×3＋32×3＋21.7×4＋(－2.3)×2
＝－4.5＋96＋86.8－4.6
＝173.7
　　可知，这个公司去年全年盈利173.7万元．
　　【师生活动】学生独立完成，全班交流，教师讲解．
　　【设计意图】让学生能运用有理数加减乘除运算解决简单的实际问题．
　　三、探究新知
　　【问题】如何用计算器进行有理数的混合运算？你会使用计算器计算(－1.5)×3＋32×3＋21.7×4＋(－2.3)×2吗？
　　【归纳】（1）计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，比笔算要快捷得多；
　　（2）提倡在明确算理的情况下，恰当地使用计算器进行一些比较复杂的有理数加减乘除混合运算．
　　【师生活动】教师提出问题并引导学生动手操作计算器验证，共同完成操作过程．
　　【设计意图】学生不仅要掌握有理数加减乘除混合运算顺序，能够较为熟练地进行有理数的混合运算，还要学会使用计算器进行一些比较复杂的有理数的加减乘除混合运算．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第47页练习1～3题．
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

展开更多......

收起↑