资源简介

5.1　方程（第1课时）
　　1．感受运用代数法解决问题的必要性，体会“方程”是解决实际问题的有效工具．
　　2．理解方程的定义，会设未知数，列方程．
3．感受用方程解决实际问题的优越性，体会从算式到方程是数学的进步．
　　设未知数，列方程．
　　分析实际问题中的相等关系，并利用相等关系正确列出方程．
新课导入
【思考】甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发．甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km．多长时间后，甲队在途中追上乙队？
【师生活动】学生回答：时间＝(3－1)÷(1.2－0.8)＝5．
教师提问：问题中蕴含的数量关系是什么？
学生回答：甲队速度×时间－乙队速度×时间＝3－1．
【设计意图】从学生熟知的问题入手，引出用算式解决问题的本质是找出问题中的数量关系，为进一步根据具体问题列方程作好铺垫．
新知探究
一、探究学习
【问题】甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km．多长时间后，甲队在途中追上乙队？
你还能用新的方法解决这个问题吗？
【师生活动】教师提问：如果设两队行进的时间为x h，根据“路程＝速度×时间”，你能分别列式表示甲队和乙队的行进路程以及甲、乙两队距大本营的路程吗？
　　教师分析，学生回答.
（1）列表：
时间/h 速度/（km/h） 行进路程/km 距大本营路程/km
甲队 1.2
乙队 0.8
　　（2）在上面的表格中，有一些未知的量，根据设A，B两地相距x km，分别列式表示甲队和乙队从A地到B地的行驶时间，完成表格．
时间/h 速度/（km/h） 行进路程/km 距大本营路程/km
甲队 x 1.2 1.2x (1.2x＋1)
乙队 x 0.8 0.8x (0.8x＋3)
教师提问：想一想，甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间有什么关系？
学生分组讨论并回答，教师总结；寻找相等关系，列方程．
甲队距大本营的路程＝乙队距大本营的路程，列方程：1.2x＋1＝0.8x＋3．
教师总结：这样，我们就根据实际问题中的相等关系，得到了一个含有未知数x的等式．再来看两个实际问题．
【问题1】用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？
【师生活动】教师提问：这个问题中的已知条件是什么？相等关系是什么？
学生回答：已知条件是大水杯的单价比小水杯的单价多５元．相等关系是用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯．
教师提问：如果设大水杯的单价为x元，那么小水杯的单价为(x－5)元．如何表示相等关系？
学生回答：3x＝4(x－5)．
【问题2】下图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其面积是4 000 mm2，长和宽的比为8∶5(即宽是长的)．这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？
【师生活动】教师提问：这个问题中的已知条件是什么？相等关系是什么？
学生回答：已知条件是长方形纪念币的面积是4 000 mm2，长和宽的比为8∶5．相等关系是长×宽＝面积．
教师提问：如果设这枚纪念币的长为x mm，则纪念币的宽可以表示为x mm，面积可以表示为x mm2．如何表示相等关系？
学生回答：x2＝4 000．
【新知】方程必须满足两个条件：
（1）是等式；
（2）化简后含有未知数．
注意：方程是等式，但等式不一定是方程，如3＋1＝4是等式，但不含未知数，所以不是方程．
教师提问：用算术方法和用列方程法解决问题，各有什么特点？
学生回答：用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只含有已知数．用列方程法解题时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数．
【归纳】列方程的一般步骤如下：
（1）设未知数，一般求什么就设什么为x；
（2）分析题意，找相等关系；
（3）根据相等关系列方程．
【设计意图】教师引导学生采用不同设未知数的方法列方程，让学生体会解题策略的多样性．
二、典例分析
【例】根据下列问题，设未知数并列出方程：
（1）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？
（2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m，扩大后的绿地面积是500 m2，求正方形绿地的边长．
【答案】解：（1）设这所学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1－0.52)x．根据“女生比男生多80人”，列得方程
0.52x－(1－0.52)x＝80．
（2）设正方形绿地的边长为x m，那么扩大后的绿地面积为(x2＋5x)m2．根据“扩大后的绿地面积是500 m2”，列得方程
x2＋5x＝500．
【设计意图】将简单的列方程题目大胆地放给学生自主、合作学习，学生通过展示自己的学习成果，进一步激发学习兴趣．通过例题的练习与讲解，让学生学会如何列方程解决实际问题．
课堂小结
课后任务
完成教材第113页练习1～3题．
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5.1　方程（第2课时）
　　1．了解方程的解、解方程及一元一次方程的概念．
　　2．会检验一个数是否是方程的解．
　　会检验一个数是否是方程的解．
　　能正确区分方程的解及解方程．
知识回顾
1．含有 未知数 的 等式 叫作方程．
2．列方程的一般步骤如下：
　　（1） 设未知数，一般求什么就设什么为x ；
　　（2） 分析题意，找相等关系 ；
　　（3） 根据相等关系列方程 ．
　　【师生活动】教师提问，学生回答．
【设计意图】带领学生复习已学过的方程知识，为本节课讲解一元一次方程相关知识作铺垫．
新知探究
一、探究学习
【问题】方程1.2x＋1＝0.8x＋3中未知数x的值是多少
【分析】当x＝5时，左边＝1.2×5＋1＝7，右边＝0.8×5＋3＝7，方程左、右两边的值相等．
结论：x＝5就是方程1.2x＋1＝0.8x＋3的解．
【新知】一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．求方程的解的过程，叫作解方程．
解方程和方程的解是两个不同的概念．方程的解是求得的结果，它是一个（或几个）数值，解方程是求方程的解的过程．
二、典例分析
【例1】（1）x＝2，x＝是方程2x＝3的解吗？
（2）x＝10，x＝20是方程3x＝4(x－5)的解吗？
【师生活动】学生独立完成例题，教师提问，学生尝试归纳总结，教师给予帮助．
【答案】解：（1）当x＝2时，方程2x＝3的左边＝2×2＝4，右边＝3，方程左、右两边的值不相等，所以x＝2不是方程2x＝3的解；
当x＝时，方程2x＝3的左边＝2×＝3，右边＝3，方程左、右两边的值相等，所以x＝是方程2x＝3的解．
（2）当x＝10时，方程3x＝4(x－5)的左边＝3×10＝30，右边＝4×(10－5)＝20，方程左、右两边的值不相等，所以x＝10不是方程3x＝4(x－5)的解；
当x＝20时，方程3x＝4(x－5)的左边＝3×20＝60，右边＝4×(20－5)＝60，方程左、右两边的值相等，所以x＝20是方程3x＝4(x－5)的解．
【思考】x＝60是方程x2＝4 000的解吗？x＝80呢？
【分析】当x＝60时，左边＝×602＝2 250，右边＝4 000，所以左边≠右边，所以x＝60不是方程x2＝4 000的解．
当x＝80时，左边＝×802＝4 000，右边＝4 000，所以左边＝右边，所以x＝80是方程x2＝4 000的解．
　　【归纳】如何检验某个值是不是方程的解？
（1）将已知数值分别代入方程的左右两边；
（2）若左右两边的值相等，则这个值是方程的解，否则不是．
【设计意图】教师逐步设疑，学生思考并回答，通过探究，加深对解方程和方程的解的概念的理解，并总结归纳“如何检验某个值是不是方程的解”，提高学生分析问题、解决问题的能力．
三、探究学习
【思考】观察上节课所列出的3个方程1.2x＋1＝0.8x＋3，3x＝4(x－5)，0.52x－(1－0.52)x＝80，它们有什么共同特征？
【师生活动】教师提示：方程的突出特点是含有未知数，我们要注意观察未知数的特征．
学生回答：（1）只含有一个未知数．（2）未知数的次数都是1．
教师提问：还有其他特征吗？含有未知数的式子都是什么式子？
学生回答：整式．
教师总结：第（3）条特征是含有未知数的式子都是整式．
【新知】一元一次方程的概念．
一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是 1，这样的方程叫作一元一次方程．
注意：概念中的“元”是指方程中的未知数，“次”是指方程中含有未知数的项的最高次数．
【设计意图】通过实例让学生体会一元一次方程的特点，方便学生理解一元一次方程的概念．
四、典例分析
【例2】判断下列方程是否是一元一次方程．若不是，请说明理由．
（1）； （2）3x－4y＝12；
（3）－5x2＋x＝3； （4）．
【师生活动】学生独立完成例题，教师提问，学生尝试归纳总结，教师给予帮助．
【答案】解：（1）是．
（2）含有两个未知数x和y，不是一元一次方程．
（3）未知数x的最高次数是2，不是一元一次方程．
（4）等式的左边不是整式，不是一元一次方程．
【归纳】判断一个式子是一元一次方程时，必须满足：
（1）是方程；
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数的次数都是1；
（4）化简后，未知数的系数不为0；
（5）方程中分母不含未知数．
【设计意图】通过例题2的练习与讲解，巩固学生对一元一次方程概念的理解．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第115页练习1～2题．
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5.1　方程（第3课时）
　　1．理解等式的两条性质．
　　2．会利用等式的性质解简单的一元一次方程．
　　等式的两条性质．
　　利用等式的性质解简单的一元一次方程．
知识回顾
【师生活动】教师提问：什么是方程？
学生回答：含有 未知数 的 等式 叫作方程．
教师提问：什么是解方程？什么是方程的解？
学生回答：一般地，使方程 左、右两边的值相等 的未知数的值，叫作方程的 解 ．
教师出示题目，学生独立作答．
　　下列方程中，以x＝－2为解的是（　　）．
　　A．3x－2＝2x B．4x－1＝3
C．2x＋1＝x－1 D．x－4＝0
学生回答：C．
教师提问：像2x＝3，x＋1＝3这样的简单方程，我们可以直接看出方程的解，那么方程0.52x－(1－0.52)x＝80的解，你能直接得出吗？
学生回答：不能．
教师提问：像m＋n＝n＋m，x＋2x＝3x，3×3＋1＝5×2，3x＋1＝5y这样的式子，是等式吗？
学生回答：是．用等号表示相等关系的式子，叫作等式．
教师总结：我们可以用a＝b表示一般的等式．
关于等式的两个基本事实：
等式两边可以交换．如果a＝b，那么b＝a．
相等关系可以传递．如果a＝b，b＝ｃ，那么a＝ｃ．
【设计意图】带领学生复习已学过的方程和等式知识，为本节课讲解“等式的性质”作铺垫．
新知探究
一、探究学习
【思考】在小学，我们已经知道：等式两边同时加（或减）同一个正数，同时乘同一个正数，或同时除以同一个不为0的正数，结果仍相等．引入负数后，这些性质还成立吗？用一些具体的数试一试．
【师生活动】教师提问：等式3×3＋1＝5×2两边同时加（或减）－5，结果如何？
学生回答：结果仍相等．
教师追问：等式3×3＋1＝5×2两边同时乘－5，结果如何？
学生回答：结果仍相等．
教师追问：等式3×3＋1＝5×2两边同时除以－5，结果如何？
学生回答：结果仍相等．
【新知】等式的性质1．
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
如果a＝b，那么a±c＝b±c．
等式的性质2．
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
如果a＝b，那么ac＝bc；
如果a＝b（c≠0），那么．
【归纳】等式的性质抓“两同”．
（1）同一种运算：等式的两边必须都进行同一种运算．
（2）同一个数（或式子）：等式两边加或减的必须是同一个数（或式子），乘的必须是同一个数，除以的必须是同一个不为0的数．
【设计意图】从学生已经学习过的知识入手，提出问题，激发学生的学习兴趣，培养学生发现问题、解决问题的能力．
二、典例分析
【例1】根据等式的性质填空，并说明依据：
（1）如果2x＝5－x，那么2x＋___＝5；
（2）如果m＋2n＝5＋2n，那么m＝___；
（3）如果x＝－4，那么___·x＝28；
（4）如果3m＝4n，那么＝___·n．
【答案】解：（1）2x＋x＝5；根据等式的性质1，等式两边加x，结果仍相等．
（2）m＝5；根据等式的性质1，等式两边减2n，结果仍相等．
（3）－7·x＝28；根据等式的性质2，等式两边乘－7，结果仍相等．
（4）＝2·n；根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等．
【例2】利用等式的性质解下列方程：
（1）x＋7＝26； （2）－5x＝20； （3）．
【分析】要使方程x＋7＝26转化为x＝m（常数）的形式，需要去掉方程左边的7，利用等式的性质1，方程两边减7就得出x的值．类似地，利用等式的性质，可以将另外两个方程转化为x＝m的形式．
【答案】解：（1）方程两边减7，得x＋7－7＝26－7．于是x＝19．
（2）方程两边除以－5，得．于是x＝－4．
（3）方程两边加5，得．化简，得．方程两边乘－3，得x＝－27．
【归纳】解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为x＝m（常数）的形式．等式的性质是转化的重要依据．
一般地，从方程解出未知数的值以后，通常需要代入原方程检验，看这个值能否使方程左、右两边的值相等．例如，
将x＝－27代入方程的左边，得．
方程左、右两边的值相等，所以x＝－27是方程的解．
【设计意图】通过例题的练习与讲解，巩固学生对已学知识的理解及应用．
课堂小结
课后任务
完成教材第117页练习1～2题．
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