资源简介

6.3　角（第1课时）
　　1．理解角的定义．
　　2．掌握角的表示方法．
　　3．认识平角和周角，并理解其形成过程．
　　角的表示方法．
　　理解和掌握角的静态定义和动态定义．
　　三角尺．
新课导入
　　角也是一种基本的几何图形，你能从下图中找出角吗？
　　【师生活动】学生观察思考，找出上面图形中的角．
　　【设计意图】通过“在生活中寻找角”这个问题，引出本节课的新知，让学生知道数学和生活是紧密相连的．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】你能总结出角的定义吗？
　　【师生活动】学生独立思考、回答，然后教师总结出角的定义．
　　【新知】有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
　　【设计意图】让学生独立总结出角的定义，加深对定义的理解．
　　【问题】判断下列图形是角吗？
　　【师生活动】学生独立完成，然后全班交流．
　　【答案】解：（1）√；（2）×；（3）√；（4）√．
　　【问题】前面我们学习用字母表示直线、射线、线段．想一想，如何用字母来表示一个角？
　　　　
　　【师生活动】让学生根据前面所学的用字母表示直线、射线、线段的方法，尝试类比出用字母表示角的方法．
　　【新知】1．用三个大写英文字母表示：记作∠AOB或∠BOA．O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的点，写在两边，可以交换位置．
　　2．用一个大写英文字母表示：记作∠O．在以点O为顶点的角只有一个时，才能用这种方法．
　　3．用数字或小写希腊字母表示：记作∠1或∠．要在靠近顶点处加上弧线，标注上阿拉伯数字或小写希腊字母，，等．
　　【设计意图】为学生提供自主探究学习的机会，在探究过程中加强引导，以帮助学生攻克难点．
　　【问题】如图，能把∠记作∠O吗？为什么？∠还可以怎样表示？
　　【答案】不能．
理由：唯有在顶点处只有一个角的情况，才可只用顶点的一个字母来表示这个角；否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
在上图中，∠还可以表示为∠AOB．
　　【思考】你还能从其他角度给角下定义吗？
　　【师生活动】教师引导学生观察，共同总结出角的动态定义．
　　【新知】角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
　　【设计意图】用旋转的方式描述角，对以后角的定义的扩展有用，教学时要通过实例，让学生更好地理解．
　　【思考】如图，射线OA绕端点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？
　　【答案】平角：如果角的终边是由角的始边旋转半周得到的（这时角的始边和终边互为反向延长线），这样的角叫做平角．
　　【思考】继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角？
　　【答案】周角：如果角的终边是由角的始边旋转一周得到的（这时角的始边和终边重合），这样的角叫做周角．
　　【问题】仔细观察下面的动图，你有什么发现？
　　【师生活动】学生独立思考，然后小组合作讨论，小组代表发言．教师指导学生归纳和表达．
　　【归纳】1．平角和周角都是“角”，而不是“线”．因此，不能说“一条直线就是平角”，也不能说“一条射线就是周角”．
　　2．平角的一半是直角，1直角＝90°，通常在直角的顶点处加上“”或“”标志．
　　【设计意图】通过动画的形式，更好地帮助学生理解平角和周角的定义．
二、典例精讲
　　【例1】将图中的角用不同的方法表示出来，并填写下表．
∠1 ∠3 ∠4
∠ACB ∠ABC
　　【师生活动】学生独立完成，然后全班讨论．
　　【答案】∠BCE　　∠2　　∠BAC（或∠BAE）　　∠DAB　　∠5
　　【例2】能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　）．
A． B．
C． D．
　　【答案】B
　　【归纳】1．当以某一点为顶点的角有两个或两个以上时，其中任意一个角都不能只用一个大写英文字母表示．
　　2．用三个大写英文字母表示角时，一定要把表示顶点的字母写在中间．
　　3．角的表示方法有多种，具体用哪种方法要根据角的情况具体分析．但要记住一个原则：角的表示要明确，不能使人产生误解．
　　【设计意图】通过例题，巩固学生对角的表示方法的掌握；重点练习某个顶点有多个角时的表示方法． 课堂小结
课后任务
　　完成教材第178页习题6.3第1题．
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6.3　角（第2课时）
　　1．让学生学习度、分、秒，并掌握角度制．
　　2．让学生能进行角度的换算，并学会求解钟面角问题．
　　3．让学生掌握用量角器量角，并学会画角．
　　4．让学生认识方位角，并能用方位角解决相关实际问题．
　　认识度、分、秒，并掌握角度制以及角度的换算．
　　能进行角度的换算，并学会求解钟面角问题．
　　三角尺、量角器．
知识回顾
　　1．角的定义：
　　静态定义：有 公共端点 的 两条射线 组成的图形叫作角，这个公共端点是角的 顶点 ，这两条射线是角的 两条边 ．
　　动态定义：角也可以看作由 一条射线 绕着它的 端点旋转 而形成的图形．
　　2．角的表示方法：
　　（1） 用三个大写英文字母表示 ．
　　（2） 用一个大写英文字母表示 ．
　　（3） 用数字或小写希腊字母表示 ．
　　3．平角：如果角的终边是由角的始边 旋转半周 得到的（这时角的始边和终边互为 反向延长线 ），这样的角叫作平角．
　　周角：如果角的终边是由角的始边 旋转一周 得到的（这时角的始边和终边 重合 ），这样的角叫作周角．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】角的大小用什么工具度量呢？用什么单位表示呢？你能想办法量出此角的大小吗？
　　【师生活动】学生独立思考、回答，然后教师追问：试着说出你是怎样使用量角器测量出角度的。
　　【答案】量角器　　∠AOB＝60°
　　【归纳】用量角器测量角度的方法：
　　（1）对中（顶点与量角器的中心重合）．
　　（2）重合（一边与量角器的0°刻度线重合）．
　　（3）读数（读出另一边所在的刻度线的度数）．
　　【新知】角的常用度量单位：度、分、秒
　　把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；
　　把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′；
　　把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″．
　　教师引导学生完成下面问题的填写：
　　1周角＝ 360 °，1平角＝ 180 °，
　　1°＝ 60 ′，1′＝ 60 ″．
　　∠的度数是48度56分37秒，记作∠＝ 48°56′37″ ．
　　与计量时间的时、分、秒一样，角的度、分、秒也是六十进制的.
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制．
　　【设计意图】通过学习用量角器测量角的度数来引出角度制．
　　【师生活动】教师让学生阅读角度制的相关拓展资料．
　　【拓展】弧度制：以弧度为角的度量单位的度量制叫弧度制．
　　1弧度＝≈57°17′44″．
　　密位制：把一个周角6 000等分，每一份是1密位的角．
　　1密位＝．
　　【设计意图】通过拓展资料，让学生了解到角度制的起源，提高学生的学习兴趣，接着介绍了其他度量角的单位制，教师此处不要着重讲解，主要目的是开拓学生的视野．
　　【问题】试着使用三角尺和量角器画出30°和36°的角．
　　【师生活动】首先让学生独立画出30°和36°的角，然后教师展示结果并讲解．教师追问：你还知道角的其他画法吗？
　　【答案】∠AOB＝30°　　∠COD＝36°
　　【新知】借助三角尺，可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角，借助量角器，可以画出任何给定度数（如36°，108°）的角．
　　【归纳】角的三种常用的画法：
　　（1）用量角器画出任意给定度数的角．
　　（2）用直尺和圆规画一个角等于已知角．
　　（3）用三角尺画 30°，45°，60°，90°等特殊角．
【设计意图】让学生通过自主实践完成问题的探究，培养学生动手实践的能力．关于尺规画角，只要求学生了解即可，本节课不展开讲解．
　　【问题】表示方向的角（方位角）经常用于航空、航海、测绘中，领航员常用地图和罗盘进行方位角的确定．观察下图你有什么发现？
　　【师生活动】首先让学生观看动画，试着说出自己的发现，然后师生共同完成归纳．
　　【归纳】东北方向表示北偏东45°，东南方向表示南偏东45°，西南方向表示南偏西45°，西北方向表示北偏西45°．
【设计意图】通过动画的形式，生动地表现出方位角的几种特殊情况．
二、典例精讲
　　【例1】按要求进行角度换算：
　　（1）把36°36′化成度的形式；
　　（2）把27.457 5°化成度、分、秒的形式．
　　【师生活动】学生独立完成，然后全班讨论．
　　【答案】解：（1）因为36′＝0.6°，所以36°36′＝36.6°．
　　（2）因为0.457 5°＝0.457 5×60′＝27.45′，
　　0.45′＝0.45×60″＝27″，
　　所以27.457 5°＝27°27′27″．
　　【归纳】角的换算方法：
　　（1）将度化为度、分、秒的形式的方法：从左往右依次进行，整数度保持不变，先把不满1度的小数部分乘60化为分，再把化成分之后的小数部分乘60化为秒，最后以度、分、秒的形式写出来．
　　（2）将度、分、秒的形式化为度的形式的方法：．
　　【设计意图】通过例题，让学生掌握角度的换算方法．
　　【例2】若现在是9时20分，则钟面上的时针与分针的夹角是多少度？
　　【师生活动】学生独立完成，然后全班讨论．
　　【分析】当9时20分时，时针指在数字9和数字10之间，分针指向数字4，根据每两个数字之间相隔30°和时针每分钟走0.5°可得夹角的度数．
　　【答案】解：时针经过20 min所走的度数为20×0.5°＝10°，
　　数字4与数字9之间的夹角为5×30°＝150°，
　　所以钟面上的时针与分针的夹角是150°＋10°＝160°．
　　【归纳】钟面角的计算方法：
　　为了研究问题方便起见，我们不妨设m时n分，两针的夹角为．我们知道时针每小时旋转30°，则每分钟旋转；而分针每分钟旋转6°，所以两针的夹角就是两针旋转的角度之差的绝对值，即．当求出的大于180°时，两针的夹角为360°减去上式．
【设计意图】通过例题，让学生学会钟面角问题的解决方法．
【例3】如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D .仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
　　【师生活动】学生独立完成，然后全班讨论．
　　【答案】解：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间.射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.
【设计意图】通过例题，让学生学会解决方位角的实际应用问题．
三、拓展提升
仿照下面的步骤画一个五角星：
（1）任意画一个圆；
（2）以圆心为顶点，连续画72圆（即360心为顶）的角，与圆相交于五个点；
（3）连接每隔一点的两个点；
（4）擦去多余的线，就得到五角星.
你能说出这种画法的道理吗？你还有其他画法吗？类似地，你能画出一个六角星吗？
通过折线，你能制作一个五角星吗？沿不同的∠α剪开，得到的五角星形状相同吗？哪一种更美观？变换不同的∠α试一试！
许多艺术设计和图案设计都与星形有关，在你画出的五角星或六角星上着色，可得到如图的艺术图案.你能在此基础上再设计一些图案吗？
　　【师生活动】学生独立完成，然后全班讨论．
【设计意图】培养学生动手实践的能力,让学生学会画角.
课堂小结
课后任务
　　完成教材第172页练习第1题、第3题、第4题．
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6.3　角（第3课时）
　　1．会比较角的大小．
　　2．能进行角的和、差运算．
　　3．让学生理解角的平分线的定义，并会用量角器或折纸作出角的平分线，以及运用角平分线进行角度的相关计算．
　　4．能进行角度的四则运算．
　　1．会比较角的大小．
　　2．能进行角的和、差运算．
　　3．能进行角度的四则运算．
　　运用角平分线进行角度的相关计算．
　　三角尺、量角器、透明或半透明的纸．
知识回顾
　　1．角度制：
　　以 度、分、秒 为单位的角的度量制，叫作角度制．
　　1周角＝ 360 °，1平角＝ 180 °，
　　1°＝ 60 ′，1′＝ 60 ″．
　　∠的度数是48度56分37秒，记作∠＝ 48°56′37″ ．
　　2．角的三种常用的画法：
　　（1）用 量角器 画出任意给定度数的角．
　　（2）用 直尺和圆规 画一个角等于已知角．
　　（3）用 三角尺 画30°，45°，60°，90°等特殊角．
　　3．角的换算方法：．
　　4．钟面角的计算方法：设m时n分，两针的夹角为，则．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】我们已经知道了比较两条线段的长短的方法，怎样比较两个角的大小呢？
　　【师生活动】首先让学生讨论解决问题的方法，学生代表展示交流，然后教师在学生展示交流的基础上，利用课件动画演示度量法、叠合法比较角的大小的过程．
　　【新知】1．度量法：首先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
　　【归纳】用量角器测量角度的方法：
　　（1）对中（顶点与量角器的中心重合）．
　　（2）重合（一边与量角器的0°刻度线重合）．
　　（3）读数（读出另一边所在的刻度线的度数）．
　　【新知】2．叠合法
　　固定∠AOB的位置，让∠A O B 的边O A 与OA重合，O B 与OB在OA的同一侧．
　　①若O B 在∠AOB内部，则∠A O B ＜∠AOB；
　　②若O B 与OB重合，则∠A O B ＝∠AOB；
　　③若O B 在∠AOB外部，则∠A O B ＞∠AOB．
　　　　∠A O B ＜∠AOB　　　∠A O B ＝∠AOB　　　　∠A O B ＞∠AOB
　　【归纳】叠合法：
　　（1）将两个角的顶点及其中一条边重合．
　　（2）使两个角的另一边落在重合一边的同侧．
　　（3）根据两个角的另一边的位置关系确定两个角的大小．
【设计意图】通过回忆与本节课内容密切相关的知识，帮助学生掌握研究问题的方法．
　　【问题】判断下图中∠ABC与∠DEF的大小关系．
　　【师生活动】教师关注学生运用度量法或叠合法比较角的大小操作的规范性，首先用课件演示规范的叠合法，然后教师追问：你有什么发现？
　　【答案】∠ABC＝∠DEF．
　　【归纳】角的大小与角的两边画出部分的长度无关，只与角的两边张开的大小有关．
　 【设计意图】通过此题来测试学生对两种比较角的大小方法的掌握情况，同时让学生知道角度大小和两边的长度无关，只与角的两边张开的大小有关．
　 【问题】类比两条线段的和与差，你能结合图说明什么是两个角的和与差吗？
　　【师生活动】让学生明确角之间的和、差关系．
　　【答案】图中∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，∠COB是∠AOC与∠BOA的差.
　　【思考】你能用等式表示它们之间的数量关系吗？
　　【新知】图中，∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC＝∠AOB＋∠BOC；
　　∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB＝∠AOC－∠BOC；
　　类似地，∠AOC－∠AOB＝∠BOC．
　　【设计意图】通过此题让学生了解角的和与差，能进行角的和与差运算.
　　【问题】借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算，可以画出哪些度数的角？这些角有什么共同点？
　　【答案】
　　用一副三角尺可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°的角．这些角的度数都是15的倍数．
　　【设计意图】用一副三角尺画出一些特殊角，除让学生巩固角的和与差的概念外，也使学生对这些特殊角的大小有直观的认识，培养学生的动手操作能力，加深学生对角的认识．
　　【问题】如图，如果∠AOB＝∠BOC，思考射线OB与∠AOC的位置关系？
　　【师生活动】学生独立思考，然后教师进行讲解．教师提醒学生类比线段的中点去解决此问题．
　　【新知】如果∠AOB＝∠BOC，那么射线OB把∠AOC分成两个相等的角，这时有
　　∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．（几何语言）
　　角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．（文字语言）
　　类似地，还有角的三等分线等．
　　【设计意图】通过此问题引出角的平分线的相关知识．
【师生活动】让学生仿照下图，在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线．教师注意学生操作是否规范．
　　【设计意图】进一步明晰角的平分线的概念，锻炼学生的动手能力．
二、典例精讲
　　【例1】如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC的度数．
　　【师生活动】学生独立完成，然后全班讨论．教师讲解补充：这里的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60．本题中应借1°，化为60′．
　　【分析】AB是直线，∠AOB是平角．∠BOC与∠AOC的和是∠AOB．
　　【答案】解：由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC．
　　所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝180°－53°17′＝126°43′．
　　【设计意图】通过例题，让学生掌握角的和、差运算．
　　【例2】如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OD是∠AOC的角平分线，求∠BOD的度数．
　　【师生活动】学生独立完成，然后全班讨论．
　　【答案】解：因为∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，
　　所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°－60°＝30°．
　　因为OD是∠AOC的角平分线，
　　所以∠DOC＝∠AOC＝×30°＝15°，
　　所以∠BOD＝∠DOC＋∠BOC＝15°＋60°＝75°．
　　【归纳】利用角平分线求角的大小
　　（1）利用角平分线进行计算时，要灵活运用角平分线的几种不同的表达方式．
　　（2）在计算角的大小时，常常要用到等量代换，即用已知角代替与它相等的未知角．
　　【设计意图】通过例题，让学生学会运用角平分线进行角度的相关计算．
　　【例3】把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？
　　【师生活动】学生独立完成，然后全班讨论．教师提醒学生注意：度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度数化成分．
　　【答案】解：360°÷7＝51°＋3°÷7＝51°＋180′÷7≈51°26′．
答：每份是约51°26′的角．
　　【归纳】角度的四则运算
运算 法则
加法运算 先同级相加，再对分、秒进行化简
减法运算 从低位算起，若同级不够减，则向上一位借1作60
乘法运算 当一个角度与一个正整数相乘时，先用正整数分别与度、分、秒相乘，再把所得的积相加后化简
除法运算 当一个角度与一个正整数相除时，从高位算起，余数乘60化为下一级再运算
【设计意图】通过例题，让学生学会角度的四则运算．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第174页练习第1~3题，第175页练习第1题，第176页练习2、3题．
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6.3　角（第4课时）
　　1．理解余角和补角的定义及其性质，并能运用其性质解决简单的数学问题．
　　余角和补角的定义及其性质的运用．
　　运用余角和补角的性质解决简单的数学问题．
　　三角尺、量角器．
知识回顾
　　1．角的比较：
　　（1） 度量法 ；
　　（2） 叠合法 ．
　　2．角的和、差：
　　∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作 ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC ；
　　∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作 ∠AOB＝∠AOC－∠BOC ；
　　类似地，∠AOC－∠AOB＝ ∠BOC ．
　　3．角的平分线：
　　文字语言：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．
　　几何语言：如果∠AOB＝∠BOC，那么射线OB把∠AOC分成两个相等的角，这时有∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．
　　4．角度的四则运算：
运算 法则
加法运算 先同级相加，再对分、秒进行化简
减法运算 从低位算起，若同级不够减，则向上一位借1作60
乘法运算 当一个角度与一个正整数相乘时，先用正整数分别与度、分、秒相乘，再把所得的积相加后化简
除法运算 当一个角度与一个正整数相除时，从高位算起，余数乘60化为下一级再运算
新知探究
一、探究学习
　　【问题】试着把三角尺里面的两个锐角拼在一起．拼在一起后，你发现了什么？
　　【师生活动】首先让学生使用三角尺动手操作，小组讨论，然后教师通过课件给出答案．
　　【答案】在一副三角尺中，每个三角尺上都有一个角是90°，而其他两个角的和是90°（30°＋60°＝90°，45°＋45°＝90°）．
　　【设计意图】通过让学生动手操作三角尺，从而引出本节课的新知．
　　【问题】观察下图∠1与∠2，∠3与∠4，它们的大小有什么关系？
　　【答案】∠1＋∠2＝90°　　∠3＋∠4＝180°
　　【新知】一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角．
　　类似地，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角．
　　【设计意图】通过此题引出余角和补角的定义．
　　【问题】图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
　　【师生活动】学生独立完成，然后教师给出答案并讲解．
　　【答案】解：10°与80°、30°与60°互为余角，10°与170°、30°与150°、60°与120°、80°与100°互为补角．
【设计意图】通过此题来检验学生对余角和补角的定义的掌握情况．
【问题】∠1与∠2，∠3都互为余角，∠2与∠3的大小有什么关系？
　　【师生活动】学生观看动画后，让学生参考补角写出证明过程．
　　【答案】证明：因为∠1与∠2，∠3都互为余角，
　　所以∠2＝90°－∠1，∠3＝90°－∠1，
　　所以∠2＝∠3．
　　【新知】同角（等角）的余角相等．
【设计意图】让学生模仿已有的讨论过程，自己得出余角的性质．培养学生的归纳、概括能力．
　　【思考】∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？
　　【师生活动】教师让学生独立思考一会儿，然后让学生观看动画并追问：试着写出证明过程．
　　【答案】证明：因为∠1与∠2，∠3都互为补角，
　　所以∠2＝180°－∠1，∠3＝180°－∠1，
　　所以∠2＝∠3．
　　【新知】同角（等角）的补角相等．
【设计意图】通过动画的形式，生动地展现了补角的性质，同时锻炼学生用数学语言表达思考过程．
二、典例精讲
　　【例1】如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？
　　【师生活动】学生独立完成，然后全班讨论．
　　【答案】解：因为点A，O，B在同一条直线上，
　　所以∠AOC和∠BOC互为补角．
　　又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠COD＋∠COE＝∠AOC＋∠BOC＝(∠AOC＋∠BOC)＝90°，
　　所以∠COD和∠COE互为余角．
　　同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角．
　　【归纳】（1）互余、互补都是指两个角的数量关系，与位置无关．
（2）余角、补角是成对出现的，单独的一个角、三个或三个以上的角之间不能说互余或互补．例如，当∠1＋∠2＋∠3＝90°时，不能说∠1，∠2，∠3互余．
　　【设计意图】通过例题，让学生掌握余角的相关计算．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第177页练习第1～4题．
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6.3　角（第5课时）
　　1．理解角度运算的基本思路．
　　2．掌握角度运算题目的五种类型．
　　利用方程思想、整体思想、分类思想求角度．
　　利用方程思想、分类思想求角度．
知识回顾
　　1．余角：
　　定义：如果两个角的和等于 90°（直角） ，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角．
　　性质： 同角（等角）的余角相等．
　　2．补角：
　　定义：如果两个角的和等于 180°（平角） ，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角．
　　性质： 同角（等角）的补角相等．
　　【师生活动】教师先带领学生一起完成填空，然后说明本节课要讲解的内容：对求角度的几种方法进行总结．
　　【设计意图】通过填空复习上节课的知识，同时引入新课．
新知探究
类型一 利用角的平分线及角的和、差求角度
【问题】1．如图，已知∠AOB＝80°，∠AOC＝15°，OD是∠AOB的平分线，求∠DOC的度数．
　　【师生活动】首先让学生独立完成，然后教师展示结果并讲解．教师提醒学生灵活运用角平分线的性质．
　　【答案】解：因为∠AOB＝80°，OD是∠AOB的平分线，
　　所以∠AOD＝∠BOD＝40°．
　　因为∠AOC＝15°，
　　所以∠DOC＝40°－15°＝25°．
　　【归纳】计算角度时，首先要观察图形，确定几个角之间的和、差关系．有角平分线时，注意角平分线的性质的运用．
　　【设计意图】通过解答本题，让学生学会灵活运用角平分线的性质解决角度运算的相关问题．
类型二 利用方程思想求角度
　　【问题】2．已知∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB∶∠AOD＝2∶7，求∠BOC和∠COD的度数．
　　【师生活动】让学生尝试独立完成，教师提醒学生尝试列方程求未知角的度数．
　　【答案】解：设∠AOB和∠AOD的度数分别为2x，7x，由题意得2x＋100°＝7x，
解得x＝20°，
则∠AOB＝40°，∠AOD＝140°，
　　∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝60°，
　　∠COD＝∠BOD－∠BOC＝40°．
　　【归纳】在解决求角度的问题时，可以尝试把角的度数设为未知数，并根据所求的角与其他角之间的关系列方程求解．
　　【设计意图】通过此题，让学生掌握运用方程的思想解决角度问题．
类型三 利用整体思想求角度
　　【问题】3．如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠DOB的平分线．
　　（1）如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？
　　（2）如果∠COE＝，那么∠AOB是多少度？
　　【师生活动】首先让学生尝试独立完成，然后教师进行讲解．
　　【答案】解：因为OC是∠AOD的平分线，
　　所以∠COD＝∠AOD．
　　因为OE是∠DOB的平分线，
　　所以∠DOE＝∠BOD．
　　所以∠COD＋∠DOE＝∠AOD＋∠BOD＝(∠AOD＋∠BOD)．
　　因为∠COD＋∠DOE＝∠COE，∠AOD＋∠BOD＝∠AOB，
　　所以∠COE＝∠AOB．
　　（1）因为∠AOB＝130°，
　　所以∠COE＝65°．
　　（2）因为∠COE＝，
　　所以∠AOB＝2∠COE＝2．
　　【归纳】整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求问题进行综合考虑后，得出结论．整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造等．
　　在上题中首先通过将∠AOB看成一个整体，然后利用角平分线的性质得出∠COE＝∠AOB这一结论．
　　【设计意图】通过此题让学生掌握利用整体思想求角度的方法．
类型四 利用分类思想求角度
　　【问题】4．已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE＝30°，∠BOD＝10°，试求∠COF的度数．
　　【师生活动】让学生独立完成，教师提醒学生所得结果是否还有其他情况．
　　【答案】解：①如图，
　　因为OE平分∠AOB，∠AOE＝30°，∠BOD＝10°，
　　所以∠AOD＝30°＋30°＋10°＝70°．
　　因为OD平分∠AOC，
　　所以∠COD＝∠AOD＝70°．
　　因为OF平分∠BOC，
　　所以∠COF＝(70°＋10°)×＝40°．
　　②如图，
　　因为OE平分∠AOB，∠AOE＝30°，∠BOD＝10°，
　　所以∠AOD＝30°＋30°－10°＝50°．
　　因为OD平分∠AOC，
　　所以∠COD＝∠AOD＝50°．
　　因为OF平分∠BOC，
　　所以∠COF＝(50°－10°)×＝20°．
　　综上所述，∠COF的度数是40°或20°．
　　【归纳】分类思想，就是对问题所涉及对象的条件、结论、图形等不能统一研究时，需要将研究对象按某个标准分类，然后分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的答案．本章的分类讨论思想主要体现在角的问题等方面．
　　解答可能含多种情况这类问题时，可分为三步．
　　第1步：根据题意确定分哪几种情况；
　　第2步：结合已知对每一种情况分别求解；
　　第3步：确定问题的答案．
　　【设计意图】通过此题让学生学会利用分类思想解决角度的问题，同时锻炼学生思维的严谨性．
类型五 利用角的旋转求角度
　　【问题】5．点O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，射线OE平分∠BOC．
　　（1）如图①，如果∠AOC＝50°，依题意补全图形，写出求∠DOE度数的思路（不需要写出完整的推理过程）；
　　（2）将OD绕点O顺时针旋转一定的角度得到图②，使得OC在直线AB的上方，若∠AOC＝，其他条件不变，依题意补全图形，并求∠DOE的度数（用含的式子表示）．
　　（3）将OD绕点O继续顺时针旋转一周，回到图①的位置．在旋转过程中，你发现∠AOC与∠DOE（0°≤∠AOC≤180°，0°≤∠DOE≤180°）之间有怎样的数量关系？（请直接写出你的发现）
　　
　　【师生活动】师生共同完成此题．
　　【答案】解：（1）补全图形如图所示．解题思路如下：
　　因为∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝50°，
　　所以∠BOC＝130°．
　　因为OE平分∠BOC，
　　所以∠COE＝65°．
　　因为∠COD＝90°，∠COE＝65°，
　　所以∠DOE＝25°．
　　（2）补全图形如图所示．
　　因为∠AOC＝，
　　所以∠BOC＝180°－．
　　因为射线OE平分∠BOC，
　　所以∠COE＝∠BOC＝90°－．
　　因为∠COD＝90°，
　　所以∠DOE＝90°－∠COE＝．
　　（3）∠AOC与∠DOE之间的数量关系为∠DOE＝∠AOC．
　　【设计意图】此处教师不要过多深入讲解旋转相关知识，只是通过此题让学生了解可以利用角的旋转求角度．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第178页习题6.3第8题，第9题．
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