资源简介

3.3.1抛物线及其标准方程 教案
一、教材分析
本节课是人教A版高中数学教材选择性必修第一册第三章第三节的内容，作为一节概念新授课，本节课承前启后。在学习了椭圆和双曲线的内容基础上，展开对抛物线的研究，通过定义和标准方程的学习，为后续进一步研究抛物线的几何性质做了铺垫。
课标对本节课的要求是：了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。了解抛物线的定义和标准方程，并通过本部分内容的学习进一步体会数形结合的思想。
在教材内容编排方面，将抛物线的定义与椭圆、双曲线的定义统一起来，体现圆锥曲线内容的整体性；在推导出抛物线的标准方程以后，引导学生进一步理解初中所学二次函数图象为什么是抛物线，这体现了数学知识的一致性。在定义生成部分，通过信息技术演示，增强了抛物线概念的直观性和趣味性，体现了新课标中对教学实效性的要求。
教学目标
了解抛物线的定义，感受抛物线的不同生成情境；
了解抛物线的标准方程及其特征；
通过抛物线的学习进一步体会数形结合的思。
核心素养
通过抛物线的定义生成过程，提升直观想象和数学抽象的核心素养；
2、通过抛物线标准方程的推导，提升逻辑推理和数学运算的核心素养。
学情分析
认知基础：前面两节学生已经学习过椭圆、双曲线的相关内容，在学习抛物线的时候，在坐标系的建立选择、方程推导等环节可以采用类比的方法进行学习。
2、心理准备：经过高中一年多的锻炼，学生具备了丰富的活动经验，具有较强的分组合作意识。
3、存在困难：学生对抛物线的认知基础是对二次函数图象的直观感知，但并不知道抛物线的几何特征，而且抽象概括能力略显不足，思维发展水平不平衡，因此，教学中要注意启发式教学和因材施教。
五、教学重难点
重点：抛物线的定义与标准方程
难点：抛物线几何特征的发现
六、教法与学法
1、教师教法：设疑导学法（启发式教学）、情境导入法、讲授点拨法
2、学生学法：自主学习法、合作学习法、探究学习法
七、教学过程
（一）引课
师：同学们，我们先来观看一个关于零重力飞机的科普视频。
师生活动：一起观看视频。
师：抛物线在航空航天科技与光电子领域有着非常广泛的用途。今天，我们就来探究学习这种曲线——抛物线。
设计意图：通过观看科普视频，帮助学生初识抛物线的应用价值，引入课题。
（二）创设情境，提出疑问
师：抛物线在我们的生活中是随处可见的，比如喷泉的形状、探照灯的灯罩面与其轴截面的交线等。那么，从数学的角度来讲，抛物线是满足什么条件的点形成的轨迹呢？
设计意图：从最初的抛物线直观印象，到数学角度的严谨描述，设置疑问启发思考，进而自然产生探究抛物线严格定义的必要性，引导学生从生活实践出发提出问题，激发学生探究新知的求知欲。
（三）实践探究，形成定义
师：请同学们拿出课前发的折纸，跟着演示视频一起折一折。
学生活动一：折纸并绘制曲线。
问题1：同学们在折叠的过程中，有没有发现点有什么相同的几何规律？
师生活动：教师出示问题1，引导学生在反复折叠的过程发现几何规律：我们所做的11个点到定点的距离都等于它们到纸的边缘线的距离。
师：如果曲线上所有点都满足这种性质的话，我们就把这样的曲线叫做抛物线。同学们刚才折纸得到的曲线就是一个近似的抛物线。
设计意图：通过学生动手操作，引导学生自主探究发现规律，增强学生参与积极性，形成抛物线概念的实践印象。
师：为了让所画曲线更加精准，我们通过几何画板来观察动态过程。
信息技术展示：利用几何画板展示抛物线的动态生成过程。
设计意图：通过信息技术演示，增强学生的作图严谨意识，进一步体会抛物线的概念要点。
师：结合折纸活动和几何画板演示，我们知道了平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。其中，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
问题2：在折纸与动态演示中，焦点是在准线外的，如果我们将定点放置在定直线上，还会得到抛物线吗？
追问：会得到什么曲线呢？
学生活动二：学生分小组讨论，用自然语言描述定义并完善定义细节。
设计意图：通过定义的形成和完善，强化学生的数学抽象能力和严谨的数学表述习惯。
问题3：请同学们回顾椭圆和双曲线的第二定义，填写下列空格。
师生活动：引导学生总结圆锥曲线的第二定义。
设计意图：通过总结圆锥曲线的第二定义，帮助学生建立清晰的知识框架，构建单元知识之间的关联。
（四）类比旧知，推导方程
问题4：请同学们回顾椭圆和双曲线标准方程推导过程，共包括几个步骤？
师生活动：引导学生回顾推导曲线方程的直接法的步骤。
设计意图：帮助学生复习方法，以便通过类比来推导抛物线的标准方程。
问题5： 对于抛物线，该如何建立坐标系，能使得所求方程更简单？
学生活动三：学生分小组讨论，各小组代表展示讨论结果。
设计意图：引导学生利用类比的方式选择合适的坐标系。
师： 在推导方程之前，我们需要做一项准备工作：记，即焦准距为，，于是点的坐标为，准线的方程为
教师板演示范：教师板演开口向右的抛物线标准方程的推导过程。
设计意图：书写标准的推导过程，给学生做出示范，引导学生规范表达。
问题6： 抛物线在坐标系下只能开口向右放置吗？你还能怎么调整抛物线的开口方向？
师生活动：教师出示问题7，引导学生表达自己的想法。
设计意图：引导学生换角度思考问题，拓展思维的灵活性。
学生活动四： 同学们独立推导其余三类抛物线的标准方程，红色折纸的同学推导开口向左的抛物线标准方程，蓝色折纸的同学推导开口向上的抛物线标准方程，白色折纸的同学推导开口向下的抛物线标准方程。
师：总结点评。
设计意图：通过训练，增强学生的逻辑推理和数学运算能力，培养学生实事求是的科学态度和认真细致的科学精神。引导学生在解决数学问题的时候，既要重视结果，也要重视逻辑表达和卷面书写。
问题7： 请同学们认真观察标准方程的四种形式，归纳总结方程特征。
学生活动五： 小组讨论，各小组分享讨论结果。教师及时引导学生从方程左右特征、方程的变量、系数与曲线形态之间的关联规律，其中曲线形态包括抛物线的开口方向，对称轴，焦点位置，焦点坐标特点等。
师：归纳总结学生们的讨论成果。
设计意图：通过观察总结标准方程四种形式的特征，促进学生对数形结合思想的进一步认识。
（五）课堂检测
例1 （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程.
解：（1）因为，抛物线的焦点在轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是.
（2）因为，抛物线的焦点在轴负半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是.
例2 已知抛物线的焦点是，求它的标准方程.
解：因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且，，所以抛物线的标准方程是.
（六）课堂小结
师：请同学们回顾本节课所学知识，用自己的语言讲一讲本节课上的收获。
设计意图：通过学生自己的归纳和表达，强化学生对本节课程中知识理解，也为教师评估本节课的教学效果提供最宝贵的依据。
八、布置作业
1、如图，动圆过定点，且与定直线相切，请指出圆心的轨迹是什么曲线，并说明理由.
2、在画板上画一条直线，把一个直角三角板的一边紧贴直线，把一条细绳的一端固定在三角板的顶点处，取细绳长等于点到直角顶点的距离，并且把细绳的另一端固定在点处．用笔尖靠着直角三角板的边，并扣紧细绳，然后上下移动三角板，笔尖画出的曲线是什么形状？为什么？
请同学们认真观察、搜集生活中应用抛物线的例子。
设计意图：通过抛物线不同的几何生成情境，帮助学生巩固抛物线的概念，为抛物线的几何性质学习打好基础。通过引导学生观察生活和科技中的抛物线应用实例，增强学生的应用探究意识，树立“数学知识来源于生活，也服务于生活”的观念，也为下节课的学习做好铺垫。
九、板书设计
教学反思

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