资源简介

初中数学人教版（2012）九年级上册
21.3 实际问题与一元二次方程
课标分析
根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求，本节内容着重培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力，体现数学建模思想。课标要求通过流感传播、药品成本下降、封面设计等真实情境，帮助学生理解增长率问题()、面积问题()等典型模型，掌握从实际问题抽象出方程()的过程。教学中需强调检验解的合理性（如舍去），比较不同变化率(与对应值)的差异，并鼓励多角度设元简化计算（如探究3的比例设元），发展学生的应用意识和运算能力，体现数学的工具性价值。
教材分析
本节课通过探究传染病传播、药品成本下降率和封面设计三个实际问题，引导学生建立一元二次方程模型解决现实中的数量关系，体现方程思想的应用价值。教学过程以问题驱动，引导学生经历“设未知数—列方程—解方程—检验”的完整建模过程。本节内容承接此前学习的一元二次方程解法，是对方程工具性的深化应用，也为后续学习二次函数的实际应用打下基础。通过分析增长率、几何图形等问题，学生不仅能提升抽象建模能力，还能增强对数学与生活联系的理解，发展逻辑推理和运算求解能力，学会从数量关系角度全面分析变化趋势，为高中阶段进一步学习函数与方程的应用奠定坚实基础。
学情分析
九年级学生已掌握一元一次方程、二元一次方程组的解法及实际应用，具备列方程解决实际问题的基本能力，并学习了一元二次方程的解法如直接开平方法、配方法和公式法，能够进行基本的代数运算与化简，同时此阶段学生逻辑思维逐步成熟，具备一定的抽象概括和分析能力，能理解变量之间的数量关系，但对复杂情境中等量关系的提取仍存在困难，本节课要求学生能从传染问题、成本下降率、图形面积等实际情境中抽象出一元二次方程模型，理解“平均变化率”“面积比例”等实际意义，通过设未知数、列方程、解方程并检验解的合理性，提升建模意识与应用能力，帮助学生体会方程是刻画现实世界数量关系的有效工具，增强数学建模与问题解决能力。
教学目标
能根据实际问题中的数量关系建立一元二次方程模型，掌握利用方程解决传播、增长率等问题的方法，提升数学建模与运算能力，发展符号意识和逻辑推理核心素养。
理解平均变化率与平均变化额的区别，会求解成本下降率等实际问题，增强数据分析观念，提高对百分数变化的理解力和实际比较分析能力。
能结合几何图形特征设未知数并列方程，解决面积比例问题，强化空间观念与代数应用能力，培养几何直观和数学建模素养，提升综合分析与问题解决能力。
重点难点
重点：会列一元二次方程解决传播、增长率及图形面积等实际问题，掌握解题步骤。
难点：分析实际问题中的数量关系，找出等量关系并列出方程，根据实际意义取舍根。
课前任务
1.知识回顾：
上节课学习了一元二次方程的解法，回忆直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤。用配方法解，检验对解法的掌握。
2.预习教材：
阅读教材探究1 - 3，了解用一元二次方程解决传播、增长率、图形面积等实际问题。圈出分析思路、列方程步骤，把设未知数、列方程等关键内容记在预习笔记，标记疑问处。
3.问题思考：
在流感传染问题中，若开始有2人患流感，每轮传染中平均一人传染人，两轮后有多少人患流感？思考如何用一元二次方程表示数量关系，课上交流。
课堂导入
同学们，先来看这样一个有趣场景：在一个热闹的聚会上，最初有1个人会一种独特的舞蹈动作，第一轮他教给了若干人，第二轮这些人又分别教给相同数量的人，最后共有49个人会这个舞蹈动作，那每轮平均1个人教会了几个人呢？这其实和我们今天要学的知识密切相关，像这类实际问题，我们可以通过建立一元二次方程的数学模型来求解。一元二次方程和之前学的一元一次方程、二元一次方程组一样，能帮我们解决很多生活中的数量关系问题。接下来，就让我们一起深入探究如何用一元二次方程解决实际问题。
实际问题与一元二次方程
探究新知
（一）知识精讲
首先，我们来探究流感传染问题。设每轮传染中平均一个人传染了个人。开始时只有1个人患流感，第一轮传染后，患病人数变为人。这些新感染的人又成为第二轮传染的传染源，每人再传染人，因此第二轮后总患病人数为。根据题意，两轮传染后共有121人患病，可以列出方程。解这个方程得到
，（舍去），说明平均每人传染10人。
接下来我们研究药品成本下降问题。设甲种药品的年平均下降率为，则两年后的成本可以表示为。根据题意有，解得，即年平均下降率约为22.5%。同样方法可以计算乙种药品的年平均下降率。
最后来看书籍封面设计问题。如图21.3-1所示，封面长27cm，宽21cm，中央矩形与封面保持相同长宽比9:7。设上下边衬宽为cm，左右边衬宽为cm，则中央矩形尺寸为cm×cm。根据边衬面积占封面面积1/4的条件，列出方程，解得。
（二）师生互动
教师提问：在流感传染问题中，如果第一轮传染后患病人数是11人，那么第二轮后患病人数会是多少？这与我们解得的x=10有什么关系？
学生回答：第一轮后11人，说明x=10。第二轮后应该是11+11×10=121人，正好符合题目条件。
教师追问：在药品成本问题中，为什么不能直接用下降额来比较两种药品的成本变化情况？
学生思考后回答：因为两种药品的初始成本不同，下降率能更准确地反映变化幅度。就像100元降20元和1000元降200元，下降额不同但下降率相同。
（三）设计意图
通过三个实际问题的探究，帮助学生理解一元二次方程在解决增长率、面积分配等问题中的应用。培养学生建立数学模型的能力，体会数学建模的思想方法。通过师生互动引导学生深入思考问题的本质，理解不同比较方法的适用性，发展学生的数学思维能力和问题解决能力。让学生在实际问题中感受数学的应用价值，增强学习数学的兴趣和信心。
新知应用
例1：一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解答：我们来一步一步分析这个问题。
第一步：理解题意
最开始有1个人患了流感。
每轮传染中，每个患者都会传染给相同数量的人（设为 人）。
经过两轮传染后，总共患流感的人数是121人。
要求的是：每轮平均一个人传染了多少人？即求 。
第二步：用代数式表示各阶段的感染人数
第0轮（初始）：有1人患病。
第一轮传染：这1个人传染了 个人。
所以第一轮结束后，总共有 个人患病。
第二轮传染：此时已经有 个病人，每个人又传染 个人，
那么第二轮新传染的人数是 。
所以，两轮之后总共患病人数为：
第三步：列方程
根据题意，两轮后共有121人患病，所以：
展开并整理：
两边开平方：
解得：
第四步：检验解的合理性
不合实际，因为一个人不可能“传染”负数个人。
所以舍去 ，只取 。
答：每轮传染中，平均一个人传染了 个人。
总结
1.题目考查内容
①一元二次方程在实际问题中的建模与应用；
②通过分析传播过程建立数量关系；
③解方程后的实际意义判断（舍去不合理解）。
2.题目求解要点
①设未知数 表示每轮每人传染人数；
②分轮次写出累计感染人数的代数表达式；
③列出方程 并求解；
④结合实际背景舍去不符合题意的解。
例2：
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，现在是3000元；乙种药品两年前是6000元，现在是3600元。哪种药品成本的年平均下降率较大？
解答：
我们要比较的是“年平均下降率”，不是简单的金额减少，而是按百分比逐年下降的比例。
第一步：明确概念区别
下降额 ≠ 下降率
例如：从100降到80，下降额是20，下降率是
但如果是每年按相同比例下降，就要用增长率/下降率模型，也就是指数型变化，公式为：
其中 是年平均下降率， 是年数。
本题中 年。
第二步：求甲种药品的年平均下降率
设甲种药品年平均下降率为 ，则：
两边同时除以5000：
开平方：
由于 （成本不能为负），取正根：
所以甲种药品年平均下降率约为 22.5%。
第三步：求乙种药品的年平均下降率
同样设乙种药品年平均下降率为 ，则：
两边除以6000：
和甲一样！
所以乙种药品年平均下降率也约为 22.5%。
第四步：结论
虽然乙种药品年平均下降额是：
大于甲的1000元，但它们的年平均下降率相同！
答：两种药品的年平均下降率相同，约为22.5%，所以下降率并不一定随下降额增大而增大。
总结
1.题目考查内容
①平均变化率与平均变化额的区别；
②利用一元二次方程解决增长率/下降率问题；
③实际问题中方程解的意义解释。
2.题目求解要点
①使用公式：原量 × = 现量；
②正确列出方程并求解；
③理解“下降率”是相对值，不能仅凭下降金额判断快慢；
④得出结论：下降额大，不代表下降率大。
例3：
如图21.3-1，一本书封面长27 cm，宽21 cm。正中央是一个与封面长宽比例相同的矩形，四周彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一。上、下边衬等宽，左、右边衬等宽。求四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）。
解答：
我们先理解图形结构和条件。
已知信息：
封面尺寸：长27 cm，宽21 cm；
中央矩形与封面相似，即长宽比相同：；
四周边衬面积占总面积的 ，所以中央矩形面积占 ；
上、下边衬等宽，左、右边衬等宽。
目标：求上、下边衬和左、右边衬的宽度。
第一步：设未知数
设上、下边衬宽为 cm，左、右边衬宽为 cm。
为什么这样设？因为中央矩形要保持 的比例，所以我们让边衬宽度也按 来分配，便于保持对称性和比例一致。
那么中央矩形的：
长 = 原长 - 两个上/下边衬 =
宽 = 原宽 - 两个左/右边衬 =
第二步：列方程
中央矩形面积应等于封面面积的 ：
封面面积：
中央矩形面积：
列方程：
计算右边：
左边展开：
代入方程：
移项：
为简化，两边同除以63：
再乘以4消小数：
第三步：解方程
用求根公式：
化简根号：
所以：
计算近似值（）：
检查哪个解合理：
若 ，则上边衬宽 cm，接近总长27 cm，显然太大，中央区域会变成负数，不合理。
所以取
于是：
上、下边衬宽： cm
左、右边衬宽： cm
答：上、下边衬宽均为约 1.8 cm，左、右边衬宽均为约 1.4 cm。
总结
1.题目考查内容
①利用一元二次方程解决几何面积问题；
②相似图形比例关系的应用；
③合理设元以简化运算。
2.题目求解要点
①根据中央矩形与封面相似，设定边衬宽度成比例（如 和 ）；
②用整体减边衬得中央区域尺寸；
③根据面积占比列出方程；
④解方程后检验解的合理性（排除过大或导致负长度的解）。
板书设计
实际问题与一元二次方程
探究1：流感传染问题
设每轮传染中平均一人传染人
第一轮后患病人数：
第二轮后患病人数：
方程：
解：，（舍）
三轮后患病人数思考
探究2：药品成本下降率问题
甲药品 设年平均下降率为
方程：
解：，
年平均下降率约22.5%
乙药品下降率及比较思考
探究3：封面设计问题
封面长宽比，设上、下边衬宽cm，左、右边衬宽cm
中央矩形面积是封面
方程：
整理：
解：
教学反思
本节课围绕一元二次方程的实际应用展开，通过探究流感传染、药品成本下降率和封面设计三个实际问题，引导学生经历“建立模型—解模—解释应用”的完整过程，体现了数学建模思想。教学设计紧扣课程标准，注重问题情境的真实性和思维的递进性，成功激发了学生探究兴趣，提升了分析与解决问题的能力。学生能较好地理解如何设未知数、列方程并结合实际意义检验解的合理性。值得肯定的是，课堂注重对比反思，如在探究2中引导学生区分下降额与下降率，培养了数据分析观念。但部分学生在探究3中对几何关系的代数转化存在困难，说明空间与代数的综合应用仍需加强训练，后续可优化设元方法的引导，提升建模效率。

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