资源简介

6.3.1 角的概念 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是2024年新人教版七年级上册数学第六章《几何图形初步》中的6.3.1 角的概念，本节课的教学内容包括角的概念（含静态定义与动态定义）、角的四种表示方法、角的度量单位（度、分、秒）及其换算规则，同时涵盖钟面角的规律与计算方法，以及以正北、正南为基准描述物体相对位置的方位角相关知识.
2.内容解析
角是几何图形中的基本图形之一，是后续学习相交线、平行线、三角形、四边形等几何知识的重要基础.角的概念从静态和动态两个角度进行定义，有助于学生从不同视角理解角的本质.静态定义强调角的构成要素，即公共端点和两条射线；动态定义则体现了角的形成过程，从运动变化的角度深化对角的认识，蕴含了运动变化的观点和数形结合的思想.
角的多种表示方法为准确描述角提供了便利，不同的表示方法适用于不同的情境，学生需要熟练掌握并能根据具体情况选择恰当的表示方式.
角的度量单位度、分、秒是角的度量与运算的基础，其 60 进制的换算规则与时间的时、分、秒换算类似，学生可以通过类比进行理解和学习.
钟面角和方位角是角在实际生活中的具体应用.钟面角问题可以让学生感受到数学与日常生活的紧密联系，通过探究时针与分针的运动规律，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.方位角在航海、航空、测量等领域有着广泛应用，学习方位角有助于培养学生的空间观念和应用意识.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解角的两种定义与四种表示法，掌握度分秒换算及角度计算，会算简单钟面角、定物体方位角.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解角的形成，理解角的概念，掌握角的两种定义形式和四种表示方法.
（2）认识角的度量单位，会进行简单的换算和角度计算.
（3）了解钟面角，能求简单的钟面角.
（4）了解方位角，能确定具体物体的方位.
2.目标解析
对于目标（1），通过观察生活中的实例、动手画图以及对射线旋转过程的分析，学生能理解角的形成，深刻理解角的概念，熟练掌握角的两种定义形式和四种表示方法，并能在不同情境中准确运用这些表示方法来描述角.
对于目标（2），通过阅读教材、教师讲解以及实际的换算练习，学生能认识角的度量单位度、分、秒，理解它们之间的换算关系，会进行简单的度、分、秒之间的换算以及角度的计算，包括角的和、差等基本运算.
对于目标（3），通过对钟面结构的观察、分析时针与分针的运动规律以及相关例题的学习和练习，学生能了解钟面角的特点，掌握求简单钟面角的方法，能够计算给定时刻时针与分针所成的角度.
对于目标（4），通过对实际场景中方位描述的分析、结合地图等工具进行学习，学生能了解方位角的概念，理解方位角的表示方法和应用场景，能根据给定的方位角信息确定具体物体的方位.
三、教学问题诊断分析
学生在小学对角的认知停留在直观层面，难理解射线旋转的动态定义，无法关联动静态角的图形；对角的不同表示方法，因适用条件和规范不清，易写错顶点字母、误用量角符号或漏标弧线；角度换算中，不熟练度分秒的 60 进制规则，难关联已有十进制运算知识，换算时易忘乘除 60；计算钟面角时，不明确时针和分针的运动速度，无法正确分析位置关系，缺乏非整点时刻的解题思路；应用方位角时，因理解不透彻，难区分方向表述，且缺乏空间想象力和综合分析能力，无法准确确定物体方位.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解角的动态形成；规范用角的表示法；准确进行度分秒换算；算钟面角兼顾时针，定方位角辨方向.
四、教学过程设计
（一）新知引入
【思考】（1）观察下列日常生活中的常见物体，这些物体给我们的形象是什么？
（2）它们有什么共同特征？
【设计意图】通过让学生观察日常生活中含角的常见物体，一是能从熟悉场景切入，激发学习兴趣，拉近数学与生活的距离；二是借助 “物体形象” 与 “共同特征” 的提问，引导学生主动提炼角的直观属性，为后续理解角的静态、动态定义奠定感性基础，自然过渡到新知学习.
（二）新知讲解
知识点1　角的概念及表示方法
Ⅰ 角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角.
【注意】角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度有关.
【小试牛刀】判断下列哪些图形是角，是的在括号内打“√”，否则打“×”.
（ √ ） （ × ） （ √ ） （ √ ）
Ⅱ 角的表示方法：角用符号“∠”来表示.
1.用3个或1个大写字母表示：∠AOB 或∠BOA或∠O
2.用一个小写希腊字母加弧线表示： ∠a
3.用一个数字加弧线表示：∠1
【思考】如图，能把∠a记作∠O 吗？为什么？∠a还可以怎样表示呢？
答：不能，因为图中以点O为顶点的角有3个，∠O分不清究竟表示哪个角. ∠a可以表示为∠AOB.
【小结】唯有在顶点处只有一个角的情况，才可只用顶点的一个字母来表示这个角.
Ⅲ 角的动态定义：
【思考】观察动图，这些“角”是怎样形成的？
角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
【思考】如果射线OB继续旋转，还会形成什么角呢？
1.如图，射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？
2.继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角？
【小结】平角的两边形成一条直线，但不能说平角就是直线；周角的两边重合形成一条射线，但不能说周角就是射线.
知识点2　角的度量及换算
我们常用量角器量角,度、分、秒是常用的角的度量单位.
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；
把1度的角60等分，每一份叫作1分 的角，记作1′；
把1分的角60等分， 每一份叫作1秒的角， 记作1′′.
1周角＝360° ；1平角＝180°；1°＝ 60 ′ ；1 ′ ＝ 60 ′′ .
∠α的度数是48度56分37秒，记作：∠α=48°56′37″.
想一想：借助三角尺，我们能直接画出哪些度数的特殊角？
借助量角器,可以画出任何给定度数(如36°，108°)的角.
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.
此外，还有其他度量角的单位制. 例如，以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制，等等.
最早明确使用角度制的文字记载于希腊学者托勒密（Ptolemaeus， 约90—168）的 《天文学大成》. 托勒密在书中将圆周分为360等份，将１份记为1°，并采用古巴比伦的六十进制，定义出度、分、秒，这样便形成了角度制.
知识点3　钟面角
钟表在生活当中相当常见，瑞士的钟表更以其精密而闻名世界.在钟表当中，时针与分针具有一定的关系，在不同的时刻它们有着一定的夹角，我们把这个夹角叫作钟面角（0度~180度），那么如何计算某一时刻的钟面角呢？
知识点4　方位角
方位角：用方向和角度表示方向的角.
例如：射线OA的方向是北偏东45°；射线OB的方向是南偏西60°
注意：当角度为45°时，可以表达为 东南、东北、西南、西北方向
【设计意图】借静态定义 + 判断练习、动态定义 + 动图思考夯实角的认知并区分易混概念，明确角的度量单位与换算关系，结合思考与拓展培养技能、拓宽视野，再从生活切入引导钟面角与方位角的知识应用，整体层层递进，深化概念理解、培养基础技能，同时提升实际应用能力与空间观念.
（三）典型例题
一、角的概念与表示
例1　下列能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是(　D　)
【针对练习】1.如图，可以将角表示为____∠AOB____或____∠O____或____∠1____；
2.如图，共有___3____个角，分别表示为____∠ABD，∠DBC，∠ABC____．
二、角的度量与换算
例2　(1)0.5°＝____30____′，0.15′＝___9___″；
(2)35.21°＝____35____°____12____′____36____″；
(3)12°15′36″＝____12.26____°；
(4)48°4′____＜____48.4°(填“＞”“＜”或“＝”).
【小结】角的换算:
(1)高级单位化低级单位：1°=60′，1′=60″，1°=3600″.
(2)低级单位化高级单位：1′=()°，1″=()′，1″=()°．
【针对练习】1.(1)0.4°＝____24____′＝____1440____″，7 200″＝____120____′＝____2____°；
(2)42.34°＝____42____°____20____′____24____″；
(3)24°22′48″＝____24.38____°；
(4)32°24′____＞____32.24°(填“＞”“＜”或“＝”).
2.下列角度换算正确的是（　B　）
A．72.5°＝72°50′ B．24.25°＝24°15′
C．18°18′ 18″＝18.33° D．23°12′ 36″＝23.48°
三、钟面角
例3（1）钟表在2点30分时，时针和分针所成的角是多少度
解：钟表在2点30分时，时针在“2”与“3”的最中间，而分针指向“6”，
这时时针与分针的夹角应为30°÷2+30°×3=105°.
（2）钟表在12点15分时，时针和分针的夹角是多少度？
解：时针从 12 点初始位置（0°）转了 15×0.5°=7.5°，
15 分时，分针转了 15×6°=90°，指向数字“3”，此时两针
夹角为分针位置角度减去时针偏移角度，
即 90°－7.5°=82.5°.
【针对练习】1. 8点整，时针与分针的夹角为_120_°，1点30分时，时针与分针的夹角为__135__°.
2.(1)从8点到8点40分，时针转过的角度为____20____°；
(2)钟表在7：00时，时针与分针的夹角为___150_____°；
(3)钟表在4：30时，时针与分针的夹角为____45____°.
3.钟表上1时25分，时针与分针所夹的角是多少度？
解：30°×4－0.5°×25
=120°－12.5°
=107.5°
答：时针与分针所夹的角是107.5°.
四、方位角
例4 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D. 仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C、和海岛D方向的射线.
解：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间.
射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在位置.
类似地，你能在图中画出表示货轮C和海岛D方向的射线吗？
【小结】表示方向的角的画法：①确定中心，以参照物为中心；②确定始边，以正北或正南方向为始边；③确定偏向，偏东或偏西；④确定角度，画出终边；终边所指的方向就表示物体所在的方向.
【针对练习】1.如图，射线OA表示的方向是______北偏西40°______；射线OB表示的方向是______南偏西20°______；射线OC表示的方向是______南偏东35°______．
2.一艘货轮航行到O处时，发现灯塔C在它的西南方向．同时，在它的北偏西60°方向发现了客轮A，在它的南偏东30°方向发现了海岛B.在图中画出射线OA，OB，OC.
解：如图，射线OA，OB，OC即为所求．
【设计意图】通过分类型例题（角的概念与表示、度量与换算、钟面角、方位角）结合针对性练习，精准对应新知要点，例题示范解题思路与方法，练习强化知识应用；同时借助小结梳理规律，帮助学生巩固概念、熟练技能，突破重难点，提升解决不同类型问题的能力.
（四）当堂巩固
1．下列说法：①由两条射线组成的图形是角；②角的边越长，角越大；③∠AOB与∠BAO表示的是同一个角；④平角是直线；⑤角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．其中正确的有(　D　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．若∠A＝20°18′，∠B＝20°15″，∠C＝20.25°，则有(　C　)
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C
C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B
3．一块手表在9点20分时的时针与分针的位置关系如图所示，此时时针与分针所成的夹角的度数为(　B　)
A．180° B．160° C．150° D．120°
4．如图，在三角形ABC中，点E在边AC上，连接BE.
(1)写出能用一个字母表示的角：____∠A，∠C___；
(2)写出以B为顶点的角：______∠ABE，∠ABC，∠EBC____；
(3)图中共有____7____个小于平角的角，请全部列出．
解：图中7个小于平角的角分别为∠A，∠C，∠ABE，∠ABC，∠EBC，∠AEB，∠BEC.
5．下图是一个公园的示意图，下列说法：①孔雀馆在大门的北偏东50°方向；②猴山在大门的正北方向；③狮子园在大门的南偏东30°方向；④盆景园在大门的正东方向．其中正确的是____①②④____．(填序号)
【设计意图】本环节题目覆盖角的概念辨析、角度换算与比较、钟面角计算、角的表示及方位角判断，全面对应课堂核心知识；通过选择、填空与解答题，快速检验学生对新知的掌握程度，排查易混易错点，强化概念理解与解题技能，帮助学生及时巩固课堂所学，夯实知识基础.
（五）课堂总结
本节课你有哪些收获？还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力.使知识形成体系，并渗透数学思想方法.
五、教学反思

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