资源简介

6.2.2 线段的比较与运算 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是2024年新人教版七年级上册数学第六章《几何图形初步》中的6.2.2 线段的比较与运算，本节课主要内容包括用尺规作图的方法画一条线段等于已知线段；运用度量法和叠合法比较两条线段的大小；理解并运用 “两点之间，线段最短” 这一线段的基本事实；掌握线段中点的概念与性质，以及利用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.
2.内容解析
线段是几何图形中最基本的元素之一，对线段的研究是后续学习复杂几何图形的基础.通过学习用尺规作图画一条线段等于已知线段，能让学生初步掌握一种重要的几何作图方法，培养学生的动手操作能力.线段大小的比较是认识线段关系的基础，度量法从 “数” 的角度，叠合法从 “形” 的角度，让学生体会数形结合思想在几何学习中的应用.“两点之间，线段最短” 这一基本事实，在日常生活和数学学习中都有广泛的应用，有助于培养学生用数学知识解决实际问题的能力.线段中点的概念与性质以及线段的和、差、倍、分关系，是进一步研究线段数量关系的重要内容，为后续学习三角形、四边形等几何图形的性质奠定基础.从知识的前后联系来看，本节课是在学生学习了直线、射线、线段的基本概念之后，对线段这一几何元素的深入探究，同时也为后续学习角的比较与运算等知识提供了方法和思路上的借鉴.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握用尺规作一条线段等于已知线段；线段的比较方法；线段中点的概念及线段和差倍分运算.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）会用尺规作图的方法画一条线段等于已知线段，会用度量法和叠合法比较两条线段的大小.
（2）了解两点间距离的意义，理解线段的基本事实“两点之间，线段最短”，并学会运用.
（3）理解线段中点的概念与性质，能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.
2.目标解析
对于目标（1），通过实际操作和教师示范，学生能学会用尺规作图的方法准确画出一条线段等于已知线段，并能阐述尺规作图的步骤和原理；会用度量法精确测量线段的长度，并依据长度比较两条线段的大小，同时能熟练运用叠合法将两条线段进行比较，准确判断它们的长短关系.
对于目标（2），通过观察生活中的实例和对几何图形的分析，学生能深刻理解两点间距离的准确意义，明确距离是一个数量概念；牢固掌握线段的基本事实 “两点之间，线段最短”，并能在实际情境和数学问题中迅速、准确地运用这一事实进行分析和解答，例如能正确解释为什么在两点之间修建最短路径等实际问题.
对于目标（3），通过对线段中点概念的直观演示和深入剖析，学生能清晰理解线段中点的概念，即把线段分成相等两条线段的点；掌握线段中点的性质，能用数学符号语言准确表达线段中点与线段各部分之间的关系，如若点 M 是线段 AB 的中点，则 AM = MB = AB 或 AB = 2AM = 2MB；能够运用线段的和、差、倍、分关系，结合已知条件，通过合理的推理和计算，准确求出线段的长度，解决相关的数学问题.
三、教学问题诊断分析
七年级上册是学生从小学直观数学向初中抽象几何过渡的关键学期，此阶段学生对几何工具的使用、几何概念的理解及几何知识的应用均处于初步探索阶段，易出现各类学习问题：首次接触尺规作图，对无刻度工具的操作和作图原理感到陌生，难以掌握准确操作方法；理解叠合法比较线段大小时，难把握 “端点重合、同侧放置” 的关键，对度量法的数值读取与大小关联也可能存在偏差；虽能理解 “两点之间，线段最短”，但难以将其与实际问题或数学场景建立有效关联，应用意识薄弱；对线段中点的文字、图形、符号语言转换不熟练，运用线段和差倍分关系计算时，易因逻辑分析不足出现错误.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：叠合法比较线段大小的操作与理解；“两点之间，线段最短” 的实际应用；复杂线段关系的和差倍分计算.
四、教学过程设计
（一）新知引入
不同于直线和射线，线段有长度，因而可以比较线段的长短，并能进行一些运算. 为进行线段的比较与运算，需要画一条线段等于已知线段.
【设计意图】是通过对比线段与直线、射线的本质差异（有长度），自然点明线段可比较、可运算的特性，同时直接引出 “画一条线段等于已知线段” 的必要性，为后续核心内容的展开搭建逻辑起点，快速聚焦本节课学习目标.
（二）新知讲解
知识点1　线段的作法与大小比较
【探究】如何作一条线段等于已知线段AB？
方法一：先用刻度尺量出线段AB的长度，再画一条等于这个长度的线段.（度量法）
【探究】如何作一条线段等于已知线段AB？
方法二：先用直尺画直线l，再用圆规在直线l上截取CD＝AB.（尺规作图法）
在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
【想一想】在“画一条线段等于已知线段”时，我们在运用了度量法和尺规作图法，在这两种方法中，刻度尺、直尺和圆规分别发挥了什么作用？
刻度尺：测量已知线段长度.
直尺：提供作图的直线基准.
圆规：量取并截取等长线段.
【探究】如何比较两名同学的身高？
方法一：观察、目测，但是有时会不准确.
方法二：分别量出两名同学的身高，将所得的数值进行比较.
方法三：让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观察两人头顶，比出高矮.
【思考】通过这个例子，你能归纳出比较两条线段的长短的方法吗？
比较两条线段的长短的方法：
1.度量法：用刻度尺分别量出这两条线段的长度，再进行比较.
2.叠合法：把其中的一条线段移到另一条线段上作比较.
将一条线段移到另一条线段上时，通常使它们的一个端点重合.
点A与点C重合，点B落在点C，D之间，这时我们说AB＜CD.
【思考】什么情况下，AB＝CD？ AB＞CD？
知识点2　线段的基本事实
【探究】如图，从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能，请你练习以前所学的知识，在图上画出最短道路.
【归纳】1.线段的基本事实：
两点的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短.
2.两点间的距离：
连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离.
【注意】“线段”是一个几何图形，而“线段的长度”是一个数值，二者有区别，不要混淆．
【讨论】你能举出“两点之间，线段最短”这个基本事实在生活中的一些应用吗？
1.架设电线时，拉直电线连接两个电线杆，节省线材用量；
2.游泳比赛时从泳池一端直线游向另一端，比迂回游更节省时间；
3.地图上规划路线，两点间的直线距离是理论上最短的行程参考；
4.无人机航拍时，从起飞点直线飞往目标拍摄点，缩短飞行时间，减少电量消耗......
知识点3　线段的和差
1.已知线段a，b，尝试用尺规作图作线段的和a+b.
（1）用直尺画出直线.
（2）用圆规在直线上作线段 AB = a，再在AB的延长线上作线段 BC=b，线段 AC 就是 a 与 b 的和，记作 AC=a+b.
2.已知线段a，b（a>b），尝试用尺规作图作线段的差a-b.
（1）用直尺画出直线.
（2）用圆规在直线上作线段 AB = a，再在线段 AB 上作线段 BD=b，则线段 AD 就是 a 与 b 的差，记作 AD = a-b.
知识点4　线段的中点
【观看视频】在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？
如图，点M 把线段AB分成相等的两条线段AM 与MB，点M 叫作线段AB 的中点. 这时AM ＝MB＝AB或AB＝2AM ＝2BM.
类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.
AM = MN = NB =AB AO = OP = PQ = QB =AB
【设计意图】新知讲解通过 “探究 + 思考” 递进设计，先借度量法与尺规作图明确线段作法并剖析工具作用，以 “比较身高” 迁移线段比较方法，强化数形结合思维；再以 “选最短道路” 情境引导归纳线段基本事实，结合生活实例培养应用意识，规范 “两点间距离” 概念；最后通过尺规作图演示线段和差、折叠视频与图形示例解析中点，从直观操作到符号表达层层递进，为线段计算奠基，同时培养学生动手与推理能力.
（三）典型例题
一、线段的作法与大小比较
例1　如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是(　A　)
A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．没有刻度尺，无法确定
【针对练习】用圆规比较图中所有线段的大小关系．
解：CD＜AD＜AB＜BC
二、线段的基本事实
例2 高速公路的建设带动我国经济快速发展．在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程．这样做蕴含的数学道理是___两点之间，线段最短___．
【针对练习】曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，便于游人从不同角度欣赏湖面风光．如图是某公园修建的九曲桥，A、B两地间修建曲桥与修建直桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是_____两点之间，线段最短_____.
三、线段的和差
例3 如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a－b.
解：①在直线上作线段AB=a；
②在线段AB的延长线上作线段BC=a，
则线段AC=2a；
③在线段AC上作线段CD=b，则线段AD=2a－b.
【针对练习】如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于a+2b.
解：如图所示.
例4 如图，点B，C在线段AD上．
(1)若AB＝2，BC＝3，求线段AC的长；
(2)若AD＝8，AB＝2，CD＝3，求线段BC的长．
解：(1)∵AB＝2，BC＝3，
∴AC＝AB＋BC＝2＋3＝5.
(2)∵AD＝8，AB＝2，CD＝3，
∴BC＝AD－AB－CD＝8－2－3＝3.
【针对练习】（分类讨论思想）点A，B，C在同一条直线上，AB=5，BC=2，求线段AC的长为？
解：①点C在线段AB上时，
∵AB=5，BC=2，
∴AC=AB－BC=3，
②点C在线段AB的延长线上时，
∵AB=5，BC=2，
∴AC=AB＋BC=7.
故线段AC的长为3或7．
【小结】勿默认点 C 位置，需考虑 AB 间、AB 延长线两种情况；按不同位置用线段和差计算，避免漏解.
四、线段的中点
例5　如图，点D是线段AC的中点，若AC＝20，AB＝8，求线段BD的长．
解：∵点D是线段AC的中点，AC＝20，
∴AD＝AC＝×20＝10.
∵AB＝8，∴BD＝AD－AB＝10－8＝2.
【小结】本题的核心是用中点分线段等长的性质，结合 AC 与 AB 的位置关系求 BD.
【针对练习】如图，点C是线段BD的中点，若AD＝8 cm，AB＝2 cm，求线段AC的长．
解：∵AD＝8 cm，AB＝2 cm，
∴BD＝AD－AB＝8－2＝6(cm).
∵点C是线段BD的中点，
∴BC＝BD＝×6＝3(cm).
∴AC＝AB＋BC＝2＋3＝5(cm).
例6　如图，已知线段AB＝6，点C是线段AB的中点，延长线段AB到点D，使BD＝3BC，求线段AD的长．
解：∵点C是线段AB的中点，AB＝6，
∴BC＝AB＝×6＝3.
∵BD＝3BC，∴BD＝3×3＝9.
∴AD＝AB＋BD＝6＋9＝15.
【小结】本题的核心是先借中点得 BC 长度，再结合延长后的线段和差求 AD，涉及线段延长操作.
【针对练习】如图，已知线段AB＝6 cm，延长线段AB到点C，使得BC＝AB，若点D为线段AC的中点，求线段BD的长．
解：∵BC＝AB，AB＝6 cm，
∴BC＝AB＝×6＝4(cm).
∴AC＝AB＋BC＝6＋4＝10(cm).
∵点D为线段AC的中点，∴CD＝AC＝5 cm.
∴BD＝CD－BC＝5－4＝1(cm).
例7　如图，C为线段AB上一点，点E为线段AC的中点，点D为线段BC的中点，若AC＝6，BC＝4，求线段DE的长．
解：∵点E为线段AC的中点，AC＝6，
∴CE＝AC＝3.
∵点D为线段BC的中点，BC＝4，
∴CD＝BC＝2.
∴DE＝CE＋CD＝3＋2＝5.
【小结】双中点线段计算类型题通用解题思路 ：
1.定位置：先明确各点在线段上的位置关系（如某点在线段上、是否有延长线），确定线段间的和差关系（如部分与整体的关联）；
2.用性质：根据 “中点分线段为两段等长” 的性质，将中点关联的线段拆分为相等的两部分（如中点 E 分 AC 为 AE=EC，中点 D 分 BC 为 BD=CD）；
3.找关联：结合线段和差，建立所求线段与已知线段的联系（如 DE=EC+CD，而 EC=AC、CD=BC，进而关联到已知的 AC、BC 长度）；
4.代计算：将已知线段长度代入关系式，求出所求线段长度.
【针对练习】如图，点C为线段AB的中点，点D为线段AC的中点，若AB＝12，求线段BD的长．
解：∵点C为线段AB的中点，AB＝12，
∴AC＝AB＝6.
又点D为线段AC的中点，
∴AD＝AC＝3.
∴BD＝AB－AD＝12－3＝9.
【设计意图】本环节按知识点分类编排，对应线段作法与比较、基本事实、和差、中点四大内容，通过例题示范与针对练习结合，帮助学生巩固核心知识；融入分类讨论等思想，搭配解题小结，明确关键思路与易错点，既强化线段计算能力，又培养规范解题习惯与逻辑思维，实现知识应用与方法迁移的双重目标.
（四）当堂巩固
1．测量长度我们常用刻度尺，有时我们没带合适的测量工具，那么用我们身体的“尺子”来测量不失为一个好办法，其中1肘表示前臂(包括手掌、手指)的长度(如图所示).下列长度中最接近1肘的是(　C　)
A．数学课本较长边 B．教室黑板较短边 C．课桌桌面较短边 D．篮球直径
2．如图，若AB＝6 cm，AC＝8 cm，则线段BC的长为___2___cm.
3．下列生活现象可以用“两点之间，线段最短”来解释的是___①___.(填序号)
①把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③植树时，只要栽下两棵树，就可以把一行树栽在同一条直线上．
4．如图，在线段AB上找一点D，使BD＝BC.
解：如图所示，点D为所求．
5．如图，已知点A，B，C，D，E在同一直线上，且AC＝BD，点E是线段BC的中点．
（1）点E是线段AD的中点吗？请说明理由．
（2）当AD＝30，AB＝9时，线段BE的长为___6___.
解：（1）点E是线段AD的中点．
理由：∵点E是线段BC的中点，∴BE＝CE.
∵AC＝BD，
∴AC－CE＝BD－BE，即AE＝DE.
∴点E是线段AD的中点．
【设计意图】本环节题目覆盖线段测量、长度计算、基本事实应用、作图及综合推理，题型丰富；既通过生活化题目（如 “身体尺子”“生活现象解释”）强化知识与实际的联系，又以计算、作图、证明题检验核心技能，帮助学生即时查漏补缺，同时巩固解题思路，夯实课堂所学，为后续学习奠定基础.
（五）课堂总结
本节课你有哪些收获？还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力.使知识形成体系，并渗透数学思想方法.
五、教学反思

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