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2025-2026学年人教版数学七年级上册 第一章 有理数
1.2.4 绝对值 （讲义）
学习目标
了解绝对值的几何意义和代数意义。
理解绝对值的概念，会用符号表示一个数的绝对值。
掌握求一个数的绝对值的方法。
能利用绝对值比较两个负数的大小。
知识点梳理
1. 绝对值的引入
在日常生活中，我们常常会遇到一些不需要考虑方向的量，比如距离。例如，小明向东走了3米，小红向西走了3米，他们行走的方向相反，但行走的距离都是3米。这里的“3米”就是一个不考虑方向的量。在数学中，我们用“绝对值”来表示这种非负的数量。
2. 绝对值的定义（几何意义）
定义： 一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值，记作 。
“| |” 是绝对值符号。
这里的 可以是正数、负数，也可以是0。
“距离”是一个非负的量，所以绝对值一定是非负的。
例如：
在数轴上，数5对应的点到原点的距离是5，所以 。
在数轴上，数-5对应的点到原点的距离是5，所以 。
在数轴上，数0对应的点就是原点，到原点的距离是0，所以 。
3. 绝对值的代数意义（求一个数的绝对值的方法）
根据绝对值的几何意义，我们可以得到求一个数的绝对值的方法：
(1) 一个正数的绝对值是它本身； 例如：，，。
(2) 一个负数的绝对值是它的相反数； 例如：（因为-3的相反数是3），，。
(3) 0的绝对值是0。 即 。
用数学式子表示为：
注意： 这里的“-a”表示 的相反数。当 是负数时， 就是正数。例如，若 ，则 。
4. 绝对值的性质
性质1（非负性）： 任何数的绝对值都是非负数，即 。
这意味着绝对值最小的数是0。
性质2： 互为相反数的两个数的绝对值相等。即 。
例如：。
性质3： 若 ，则 或 。
例如：若 ，则 或 。
5. 利用绝对值比较两个负数的大小
我们已经知道，在数轴上，右边的数总比左边的数大。对于两个负数来说，绝对值大的那个数反而小。
方法： 比较两个负数的大小，可以先比较它们的绝对值的大小，绝对值大的反而小。
例如： 比较 -3 和 -5 的大小。 解：因为 ，。 又因为 ， 所以 （注意不等号方向）。
知识点总结
绝对值的几何意义： 数轴上表示数 的点到原点的距离，记作 。
绝对值的代数意义（求法）：
正数的绝对值是它本身：若 ，则 。
0的绝对值是0：若 ，则 。
负数的绝对值是它的相反数：若 ，则 。
绝对值的重要性质：
非负性：。
互为相反数的两数绝对值相等：。
利用绝对值比较两个负数大小： 两个负数，绝对值大的反而小。
巩固练习
一、选择题
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．在这几个有理数中，负数的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列说法正确的是（　　）
①最大的负整数是；②正数和零的绝对值都等于它本身；③互为相反数的两个数的绝对值一定相等；④整数分为正整数和负整数；⑤在数轴上7和9之间的有理数是8．
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②③④⑤
4．已知|m|=3，|n|=5，且m>n，则2m+n的值为（ ）
A．1 B．-11 C．11 D．1或-11
5．下列说法中正确的是（　　）
A．0既不是整数也不是分数 B．绝对值等于本身的数是0和1
C．一个数的绝对值一定是正数 D．整数和分数统称有理数
6．已知，则方程的解为（　　）
A． B． C． D．
7．若a与5互为相反数，则等于（　　）
A．0 B． C．5 D．10
8．﹣6的绝对值是（　　）
A．6 B． C．-6 D．
9．化简 =（　　）
A． —3.14 B．3.14+ C．3.14— D．0
10．一个数x 在数轴上的位置如图所示，则（　　）
A．｜x ｜＜－1 B．｜x｜＜0 C．｜x ｜＞1 D．｜x｜＝0
二、填空题
11．绝对值小于3的整数是　 　．
12．若|x|＝x，则x的取值范围是　 　．
13． =（　 　）
14．若、互为相反数，则　 　 ．
15．如果，那么　 　．（用“”“”或“”连接）
16．如图，已知四个有理数m、n、p、q在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为M、N、P、Q，且，则在m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是　 　．
三、解答题
17．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题：
（1）当时，求的值．
（2）当时，求的值．
（3）若有理数均不等于零，试求的值．
18．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索
（1）求____________；
（2）同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则______________
（3）类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是_________________．
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
19．有理数a，b在数轴上对应点的位置如下图所示，化简下列算式：|a|+|b|+|a+b|+|b-a|.
参考答案
1．A
2．B
3．A
4．D
5．D
6．C
7．A
8．A
9．A
10．C
11．0，±1，±2
12．x≥0
13．8
14．5
15．
16．q
17．（1）1
（2）
（3）2或0或
18．（1）7
（2）
（3）
（4）3
19．解：根据数轴上点的位置得：b＜0，a＞0且|a|＜|b|，
可得a+b＜0，b﹣a＜0，
∴|a|+|b|+|a+b|+|b-a|=a-b-(a+b)-(b﹣a)= a-b-a-b-b+a
=a-3b.

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