资源简介

初中数学人教版（2012）九年级上册
22.1.3 二次函数y=a(x－h) ＋k的图象和性质
课标分析
根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，本课内容对应"函数"领域中的"二次函数图象与性质"学习要求。课标强调学生应掌握二次函数、和的图象特征（开口方向、对称轴、顶点位置）及其平移规律，理解参数、、对函数图象的影响。通过列表、描点、作图等数学活动，发展几何直观能力，建立从特殊到一般的数学思维，体会数形结合思想。要求能分析函数随的变化规律，并运用这些知识解决简单实际问题，为后续学习二次函数与一元二次方程的关系奠定基础。
教材分析
本节课内容是二次函数 、 和 的图象与性质，通过观察抛物线的平移规律，归纳出参数 、、 对图象形状、位置的影响。教学过程通过画图、观察、比较和归纳，引导学生探索函数图象的变化规律。本节内容与前面对 图象性质的学习密切相关，是后续学习一般二次函数 及其综合应用的基础。本节课有助于提升学生的数形结合能力、归纳推理能力和函数建模意识，为后续学习二次函数的一般形式、图象变换及实际问题建模提供了理论支持和方法基础。
学情分析
九年级学生已经掌握了二次函数 的基本图象与性质，具备了函数图像平移的初步认知和动手画图的能力，同时具备一定的观察、归纳和逻辑推理能力，能够通过具体例子总结一般规律，但面对抽象的函数变换关系时仍需直观支撑和逐步引导，本节课通过探究 和 的图象变化，帮助学生理解参数 、、 对抛物线形状、位置和顶点的影响，进一步提升学生数形结合能力与函数思想意识，同时通过类比、归纳等方法，增强学生对函数图像变换的理解能力，为后续学习一般形式的二次函数 及其应用奠定基础。
教学目标
理解二次函数 的图象与性质，掌握其开口方向、对称轴和顶点坐标，通过图象平移关系提升直观想象和几何推理能力。
掌握抛物线 通过上下平移得到 的规律，发展数形结合思想，增强数学抽象和模型观念。
理解二次函数 的图象特征，能准确判断开口方向、对称轴和顶点，提升逻辑推理和图象分析能力。
通过左右平移的图象变化，理解函数表达式与图象变换之间的联系，培养归纳概括能力和数学表达能力。
理解一般形式 的图象性质，掌握顶点式与标准式的区别与联系，提升综合分析与数学建模素养。
重点难点
重点：掌握二次函数的图象性质，理解其与的关系及图象平移规律。
难点：理解根据、值确定图象平移方向与距离，掌握函数单调性变化。
课前任务
1.知识回顾：
上节课学习了二次函数的图象与性质，如何影响开口方向？对称轴和顶点坐标是什么？请快速作答，巩固所学。
2.预习教材：
阅读教材中二次函数、、图象和性质部分。标记不同函数开口方向、对称轴、顶点坐标的结论，记录疑惑。
3.问题思考：
抛物线与有何关系？与呢？思考函数平移规律，课上分享。
课堂导入
同学们，在之前的学习中我们已经认识了二次函数的图象与性质。现在，想象一个场景，有一个运动员在进行高台跳水，他的运动轨迹可以近似用二次函数来描绘。假设这个高台比原来升高了一定高度，那对应的函数图象会发生怎样的变化呢？如果高台降低了呢？这其实就类似于二次函数向上或向下平移的情况。今天我们就来探究形如的二次函数图象和性质，看看在的基础上加上后，图象到底会有哪些奇妙的改变，同时进一步拓展到这类二次函数。
二次函数 的图象和性质
探究新知（一）知识精讲
让我们先观察抛物线的图像。 这是一个开口向上的标准抛物线，顶点在坐标原点，对称轴是y轴。现在我们来研究和的图像。
通过对比可以发现，的图像是将的图像整体向上平移1个单位得到的，它的顶点变为；而的图像是将的图像整体向下平移1个单位得到的，顶点变为。 这两个抛物线的开口方向和对称轴都与相同，只是顶点位置发生了变化。
由此我们可以推广到一般情况：对于二次函数，它是由标准抛物线沿y轴方向平移个单位得到的。当时向上平移，当时向下平移。平移后的抛物线保持开口方向和对称轴不变，顶点坐标变为。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果已知抛物线，那么它是由哪个标准抛物线经过怎样的平移得到的？它的顶点坐标和对称轴分别是什么？
学生回答：它是由向上平移4个单位得到的，顶点坐标是，对称轴仍然是y轴。
教师追问：很好！那如果现在有抛物线，它与x轴的交点坐标会是多少呢？
学生思考后回答：令，解方程，得到，所以，交点坐标是和。
（三）设计意图
通过具体函数图像的直观对比，帮助学生理解二次函数的图像特征及其与标准抛物线的关系。培养学生观察分析、归纳总结的能力，从特殊到一般的数学思维方法。通过师生互动中的问题设计，加深学生对函数图像平移变换的理解，并建立函数表达式与图像特征之间的联系，为后续学习更复杂的二次函数图像变换打下基础。
新知应用
例1：在同一直角坐标系中，画出二次函数 和 的图象。
解答：我们按照教材提供的方法，分步骤完成图象的绘制。
第一步：列表取值
我们选取一些 的值，计算对应的 值：
-2
-1
0
1
2
第二步：描点连线
根据上表中的数据，在同一坐标系中分别描出两组点，并用平滑曲线连接这些点，得到两个抛物线。
第三步：观察图象特征
我们观察到：
两个函数的图象都是抛物线；
开口方向都向上（因为 ）；
对称轴都是 轴（即 ）；
顶点分别为：
的顶点是 ；
的顶点是 。
图象如下所示：
总结
1.题目考查内容
① 二次函数 和 的图象绘制方法；
② 抛物线的开口方向、对称轴、顶点等基本性质；
③ 平移变换对函数图象的影响。
2.题目求解要点
① 列表取值时要选择对称的 值，便于描点画图；
② 描点后要用平滑曲线连接，体现抛物线的连续性和对称性；
③ 理解 的图象是 的上下平移：
- 时，向上平移 个单位；
- 时，向下平移 个单位。
探究新知（一）知识精讲
我们先来研究二次函数的图象特征。观察下面两个具体的例子：
首先绘制函数和的图象。通过列表取值：
然后描点连线，得到它们的图象：
从图象中可以发现：
两个抛物线的开口方向都向下，这是因为系数；
抛物线的对称轴是直线，顶点在；
抛物线的对称轴是直线，顶点在。
通过对比的图象，我们发现：
将向左平移1个单位得到；
向右平移1个单位得到。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果将函数向右平移3个单位，会得到什么样的函数表达式？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？
学生回答：会得到，对称轴是，顶点坐标是。
教师追问：很好！那么如果要将的图象向左平移2个单位，又该如何表示呢？它的开口方向会改变吗？
学生思考后回答：可以得到，开口方向不会改变，仍然是向下，因为系数-3没有变化。
（三）设计意图
通过具体的函数图象绘制和分析，帮助学生直观理解二次函数的图象特征及其与基本抛物线的关系。培养学生从具体到抽象的思维能力，通过图象变换理解函数表达式的变化规律。引导学生主动观察、比较、归纳，发展数形结合的思想方法，为后续学习更复杂的二次函数图象变换打下基础。
新知应用
例2：在同一坐标系中，画出二次函数 和 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点。
解答：
我们先来分析这两个函数的结构形式：
这两个函数都属于形如 的二次函数形式。
第一步：分析函数结构与图像特征
对于函数 ：
可以看作是 向左平移1个单位后的结果。
开口方向由系数 决定，因为 ，所以开口向下。
对称轴为 。
顶点坐标为 。
对于函数 ：
可以看作是 向右平移1个单位后的结果。
同样地，，所以开口向下。
对称轴为 。
顶点坐标为 。
第二步：画图与验证
根据教材中提供的表格数据，分别列出两个函数的部分取值点：
对于 ：
当 ，
当 ，
当 ，
当 ，
当 ，
对于 ：
当 ，
当 ，
当 ，
当 ，
当 ，
描点连线后，得到两个抛物线图像，如图所示：
第三步：总结图像特征
函数 ：
开口方向：向下
对称轴：
顶点：
函数 ：
开口方向：向下
对称轴：
顶点：
总结：
1.题目考查内容
① 二次函数 的图像特征
② 抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标的判断
③ 图像平移规律（左右平移）
④ 数形结合思想的应用
2.题目求解要点
① 理解形如 的函数图像与 的关系
② 掌握平移规律： 是将 向左平移 个单位（若 ）
③ 能根据函数表达式判断开口方向、对称轴和顶点
④ 能通过列表描点画出函数图像并验证结论
探究新知（一）知识精讲
通过对比可以发现，这个函数图象与的形状完全相同，只是位置发生了变化。具体来说，的图象经过平移后可以得到的图象。
这个平移过程有以下几个特点：
当时，图象向右平移个单位；当时，图象向左平移个单位。
当时，图象向上平移个单位；当时，图象向下平移个单位。
通过观察图3，我们可以更清楚地看到这个平移过程。 这个函数具有以下重要性质：
顶点坐标是
对称轴是直线
当时，在对称轴左侧（），函数值随增大而减小；在对称轴右侧（），函数值随增大而增大。当时，变化趋势正好相反。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果已知一个二次函数的顶点在，且开口向上，你能写出这个函数的一般式吗？
学生回答：根据顶点式，可以写出，因为开口向上，所以。
教师追问：很好！那如果告诉你这个函数经过点，你能确定具体的值吗？
学生思考后回答：将代入函数式，得到，解得，所以函数式是。
教师继续提问：那这个函数的对称轴是什么？当取什么值时，函数值最小？最小值是多少？
学生回答：对称轴是，当时函数值最小，最小值是-3。
（三）设计意图
通过直观的图象对比和具体的平移过程演示，帮助学生理解二次函数图象的平移规律和性质特征。采用从特殊到一般的探究方式，培养学生的观察能力和归纳总结能力。通过师生互动中的层层递进的问题设计，引导学生深入理解顶点式的特点和应用，发展学生的数学思维能力和问题解决能力。整个探究过程注重数形结合，让学生在直观感受的基础上建立抽象概念，体现了数学学习的循序渐进原则。
新知应用
例3：画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点。怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？
解答：
我们先来分析函数 的结构。
这个函数是标准形式的二次函数：
其中，，，。
根据教材中关于 的图象和性质，我们可以得出以下结论：
开口方向：
因为 ，所以抛物线开口向下。
对称轴：
对称轴是 ，即 。
顶点坐标：
顶点是 。
接下来，我们分析如何从基本抛物线 得到目标抛物线。
原函数 的顶点是原点 。
目标函数 的顶点是 。
所以，要从 得到目标函数的图象，需要进行如下平移：
向左平移1个单位：因为 表示向左平移1个单位；
向下平移1个单位：因为整体减去1，表示向下平移1个单位。
函数图象如下所示（图中为教材提供的图）：
总结：
1.题目考查内容
二次函数 的图象特征；
抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标的判断；
图象平移的规律。
2.题目求解要点
熟悉顶点式 的结构；
能根据 判断开口方向；
能根据 和 确定对称轴和顶点；
掌握平移方向与 、 的关系（左/右、上/下）。
板书设计
二次函数、、的图象和性质
抛物线与关系：上下平移得
抛物线与关系：左右平移得
与关系：形状相同，位置不同，平移得
开口向上，开口向下
对称轴
顶点
增减性
：，随增大而减小；，随增大而增大
：，随增大而增大；，随增大而减小
教学反思
本节课围绕二次函数、及的图象与性质展开，通过观察、画图、类比等方式引导学生理解平移规律及图象特征。教学目标基本达成，学生能准确说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点，并理解平移对图象位置的影响。成功之处在于通过具体实例引导学生归纳一般规律，提升了数形结合能力。不足在于部分学生对左右平移方向易混淆，今后应加强图示对比与变式训练，强化理解。

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