资源简介

6.3.2角的比较与运算 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是2024年新人教版七年级上册数学第六章《几何图形初步》中的6.3.2角的比较与运算，本节课主要涵盖角的大小比较方法（度量法和叠合法）、角的和与差运算以及角平分线的概念及相关应用.
2.内容解析
角是几何图形中的基本图形，其相关知识是后续研究诸多几何问题的重要基石.角的大小比较是对角的基本属性的进一步探究，度量法从数的角度，通过量角器测量角的度数来比较大小；叠合法从形的角度，通过将角进行叠合，观察边的位置关系来确定角的大小关系.角的和与差运算类比线段的和差运算，是对角之间数量关系的深入研究，从形上直观认识角的和差，以及其在度数计算上的体现.角平分线作为特殊的角的倍分关系，不仅涉及数量关系，更有独特的图形特征，它将一个角分成两个相等的角，在几何图形的分析和计算中具有重要作用.角的比较和运算包含了数与形两个角度的研究，是几何学习中从直观感知到理性分析的重要过渡内容.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：会进行角的大小比较，掌握角度的四则运算方法，掌握角平分线的概念及利用其性质进行角度计算.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）会用度量法和叠合法比较两个角的大小.
（2）理解角的和与差，掌握角度的四则运算方法.
（3）理解角平分线的概念及数量关系，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行描述，能利用角平分线的性质进行角度的计算.
2.目标解析
对于目标（1），通过对不同角的观察、操作与思考，学生能准确运用度量法和叠合法比较两个角的大小，清晰理解两种方法的操作要点和适用场景.
对于目标（2），通过类比线段的和差运算以及对具体角的和差实例分析，学生能深刻理解角的和与差的概念，熟练掌握角度的四则运算方法，包括度、分、秒之间的换算与运算规则.
对于目标（3），通过对角平分线图形的观察、分析以及对其定义的深入理解，学生能准确理解角平分线的概念及数量关系，并用文字语言、图形语言、符号语言进行准确且规范的描述，能灵活利用角平分线的性质进行角度的计算.
三、教学问题诊断分析
学生在小学阶段已对角度有初步认识，能够用量角器度量角，也知晓周角、平角、钝角、直角、锐角间的大小关系，并且在本章学习了线段的比较与运算，具备一定的知识基础和类比学习的能力.但小学对角的认识多停留在数值层面，对图形结构的理解不足.在本节课中，叠合法从形的角度比较角的大小，与学生以往单纯依赖度量的习惯不同，学生较难想到且理解起来有一定难度.角的图形结构相较于线段更为复杂，其符号语言也更加复杂，这使得学生在理解角的和差关系以及角平分线的图形与符号语言表述时可能会出现混淆.同时，在角度的四则运算中，度、分、秒的六十进制换算可能会给学生带来计算上的困难.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：角度运算中度、分、秒的六十进制换算；利用角平分线的性质进行角度的计算.
四、教学过程设计
（一）复习引入
已知线段AB，CD，如何比较它们的大小？
①目测法 ②度量法 ③叠合法
【思考】类比比较线段的方法，如何比较两个角的大小？
【设计意图】本环节通过回顾线段大小比较方法，以类比问题引导学生迁移思维，既巩固旧知，又激发探究角的大小比较的兴趣，渗透类比思想，为新知学习铺垫.
（二）新知讲解
知识点1　角的大小比较
①目测法：
【注意】当两个角的度数相差较大时，可用目测法，直接观察角的两边张开的幅度比较角的大小.此方法较为直观，但不够精准.
②度量法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.
③叠合法：把它们的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小.
知识点2　角的和与差
【思考】如图所示，图中共有几个角？类比两条线段的和与差，你能结合图说明什么是两个角的和与差吗？
图中共3个角，分别是∠AOB，∠BOC 和∠AOC.
∠AOC是∠AOB与 ∠BOC的和，即：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，
∠AOB是 ∠AOC与∠BOC的差，即：∠AOB＝∠AOC－∠BOC，
∠BOC是 ∠AOC与∠AOB的差，即：∠BOC＝∠AOC－∠AOB.
【探究】借助一副三角尺的角，结合角的和差运算，可以画出那些度数的角？
【小结】借助一副三角尺的角，结合角的和差运算，可以画出的角的度数有 15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°、180°，这些角均是 15° 的整数倍.
知识点3　角度的四则运算
加法：①度与度、分与分、秒与秒分别相加；②秒逢60向分进1，分逢60向度进1.
减法：①度与度、分与分、秒与秒分别相减；②从低位算起，秒相减不够向分借，分相减不够向度借，借1作60.
乘法：①度、分、秒分别与倍数相乘；②秒逢60向分进1，分逢60向度进1.
除法：①度、分、秒分别与除数相除；②从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化.
知识点4　角的平分线
【思考】我们知道，线段的中点把线段分成两条相等的线段. 类似地，在下图中，如果∠AOB=∠BOC，那么射线OB把∠AOC分成两个相等的角. 这条射线是什么线？
位于∠AOC的内部（端点O除外）并且将∠AOC分成两个相等的角
【概念】一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.
OB是∠AOC的平分线
∠AOC＝2∠AOB＝2__∠BOC__
∠AOB＝∠BOC＝ __∠AOC__
符号语言：
∵OB是∠AOC的平分线，
∴ ∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC(或∠AOB＝∠BOC＝ ∠AOC).
反之也成立：
∵ ∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC (或∠AOB＝∠BOC＝ ∠AOC) ，
∴OB是∠AOC的平分线.
类似地，还有角的三等分线等.
∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD，OB，OC是∠AOD的三等分线.
【探究】如何在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线？
【设计意图】本环节分点讲解角的大小比较、和差、运算及平分线等知识，借线段知识类比降低难度，融入探究活动，助学生构建框架，提升综合能力.
（三）典型例题
一、角的大小比较
例1　如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列选项错误的是(　D　)
A．∠AOB＜∠AOD B.∠BOC＜∠AOB C.∠COD＜∠AOD D.∠AOB＜∠AOC
【针对练习】判断下图中∠ABC 与∠DEF 的大小关系．你有什么发现？
解：∠ABC＝∠DEF.
发现：角的边是射线，可以无限延伸，因此角的大小与角的两边的长度无关，只与角的两边张开的大小有关．
二、角的和与差
例2　根据图形完成下列填空：
(1)∠AOC＝∠AOB＋__∠BOC__；
(2)∠AOD＝__∠AOC__＋∠COD＝∠AOB＋__∠BOD__；
(3)∠AOB＝__∠AOC__－∠BOC；
(4)∠COD＝∠AOD－∠AOC＝__∠BOD__－∠BOC.
【针对练习】1.按图填空.
（1）∠AOB+∠BOC= __∠AOC_；
（2）∠AOC+∠COD= _∠AOD_；
（3）∠BOD－∠COD= _∠BOC_；
（4）∠AOD－_∠BOD_=∠AOB.
【针对练习】2.如图，已知点O是直线AB上一点，∠AOC＝53°，∠COD＝84°.
(1)求∠AOD的度数；(2)求∠BOD的度数．
解：(1)∵∠AOC＝53°，∠COD＝84°，
∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝53°＋84°＝137°.
(2)∵∠AOD＋∠BOD＝180°，∠AOD＝137°，
∴∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－137°＝43°.
三、角度的四则运算
例3 如图，O是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC 的度数.
解：由题意可知，∠AOB是平角，
∠AOB=∠AOC+∠BOC，
所以∠BOC=∠AOB－∠AOC
=180°－53°17′
=179°60′－53°17′
=126°43′.
【小结】本题中应借1°，先将180°化为179°60'，再进行减法运算.
例4 把一个周角7等分，每份是多少度的角(精确到分)
解：360°÷7
=51°+3°÷7
=51°+180′÷7
≈51°26′.
答：每份是约 51°26′的角.
【小结】度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度化成分.
【针对练习】1.计算：
（1）48°39′+67°31′
解： 48°39′＋67°31′
=115°70′
=116°10′
（2）41°12′－11°27′
解： 41°12′－11°27′
=40°72′－11°27′
=29°45′
（3）21°17′×5
解： 21°17′×5
=21°×5＋17′×5
=105°＋85′
=106°25′
（4）180°÷11（精确到分）
解： 180°÷11
≈16°22′
四、角的平分线
例5　如图，∠AOB＝168°，OC平分∠AOB. 求∠AOC，∠BOC的度数．
解：∵OC平分∠AOB，∠AOB＝168°，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝×168°＝84°.
【针对练习】如图，∠AOC＝29°43′，OC平分∠AOB. 求∠BOC，∠AOB的度数．
解：∵OC平分∠AOB，∠AOC＝29°43′，
∴∠BOC＝∠AOC＝29°43′，
∠AOB＝2∠AOC＝2×29°43′＝59°26′.
例6　如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB. 若∠COD＝25°，求∠BOD的度数．
解：∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝∠AOB＝60°.
∵∠COD＝25°，
∴∠BOD＝∠BOC－∠COD＝60°－25°＝35°.
【针对练习】如图，∠AOC＝50°，∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，求∠COD的度数．
解：∵∠BOC＝2∠AOC，∠AOC＝50°，
∴∠AOB＝∠BOC＋∠AOC＝3∠AOC＝150°.
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠AOB＝×150°＝75°.
∴∠COD＝∠AOD－∠AOC＝75°－50°＝25°.
【设计意图】本设计通过角的大小比较、和差运算、度分秒换算及角平分线应用等例题与练习，由浅入深引导学生理解角的本质特征，掌握相关计算规则与几何推理方法，兼顾基础夯实与思维提升，助力学生构建角的知识体系.
（四）当堂巩固
1．在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则下列判断一定正确的是(　D　)
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC
C．∠BOC＞∠AOB D．∠AOB＞∠AOC
2．计算：(1)46°25′＋53°35′＝_____100_____°；
(2)125°÷4＝_____31_____°_____15_____′.
3．借助一副三角尺不能画出来的角是(　C　)
A．75° B．105° C．145° D．165°
4．如图，OC是∠AOB内的一条射线．
(1)若∠1＝20°，∠2＝40°，求∠AOB的度数；
(2)若∠1＝25°48′，∠AOB＝60°15′，求∠2的度数．
解：（1）∠AOB＝∠1＋∠2＝20°＋40°＝60°.
（2）∠2＝∠AOB－∠1＝60°15′－25°48′＝34°27′.
5．如图，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC. 若∠COD＝25°，求∠AOB的度数．
解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠AOC.
又OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠COD.
∴∠AOB＝4∠COD＝4×25°＝100°.
【设计意图】本当堂巩固题设计，聚焦角的大小比较、度分秒运算、三角尺组合角及角平分线应用等核心知识点，通过选择、填空与解答题的形式，全面检验学生对课堂所学的掌握程度，强化基础技能，巩固角的性质及运算逻辑，助力学生及时查漏补缺，深化对知识的理解与应用.
（五）课堂总结
本节课你有哪些收获？还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力.使知识形成体系，并渗透数学思想方法.
五、教学反思

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