资源简介

6.3.3 余角和补角 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是2024年新人教版七年级上册数学第六章《几何图形初步》中的6.3.3 余角和补角，本节课的主要内容是余角和补角的概念和性质.
2.内容解析
在之前对几何图形初步的学习中，学生已认识直角、平角及掌握比较角大小的方法.本节课在此基础上引入余角和补角的概念，余角是指若两个角的和等于 90°（直角），这两个角就互为余角；补角是指若两个角的和等于 180°（平角），这两个角就互为补角.余角和补角反映的是角与角之间的数量关系，这是学生首次深入探究两个图形的数量关系，为后续探究余角、补角的性质以及解决相关几何问题奠定基础.同时，这也有助于进一步提升学生数学语言的表达能力和知识运用能力.需要强调的是，互为补角和互为余角的概念仅关乎角的数量关系，与角的位置并无关联.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握余角和补角的概念及性质.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解余角和补角的概念，能在图中找到一个角的余（补）角，能求一个角的余（补）角.
（2）掌握余角和补角的性质，能运用余角与补角的性质解决问题.
2.目标解析
对于目标（1），通过对余角和补角概念的学习与图形观察分析，学生能理解余角和补角的概念，能准确在图中找出一个角的余（补）角，能依据概念正确求一个角的余（补）角.
对于目标（2），通过对余角和补角性质的探究推理过程，学生能掌握余角和补角的性质，能熟练运用余角与补角的性质解决相关问题，包括在复杂图形中识别和运用性质进行角度的推理计算等.
三、教学问题诊断分析
学情方面，学生已掌握角、直角、平角的定义，也会比较角的大小及计算角的和差.但本节课是对角与角关系的深入拓展，此前学生接触的图形多有共同顶点或公共边，而余角、补角作为数量关系，两角位置可分离，这易导致学生概念混淆.并且学生刚踏入几何学习门槛，对几何图形的一般研究方法尚未完全掌握，用数学语言表达思考过程存在困难，图形语言、文字语言和符号语言之间的转换更是薄弱环节.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解余角、补角概念中与位置无关这一要点；通过余角、补角的性质的推导和应用，初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化..
四、教学过程设计
（一）新知引入
【问题1】在一副三角尺中，每个三角尺都有一个角是直角，那么另外两个锐角的和有什么特点？
答：另外两个锐角的和为90°.
【问题2】观察剪刀从张开到合拢的过程，∠1与∠2的和有什么特点？
答：∠1与∠2的和为180°.
【设计意图】本环节选取学生熟悉的三角尺与剪刀为载体，既通过实物将抽象的角的和差关系具象化，帮助学生快速进入学习情境、降低认知门槛，又以 “两角和为 90°”“两角和为 180°” 的问题结论为后续余角、补角概念铺垫，同时引导学生自主观察、归纳规律，在感知知识本质的过程中锻炼观察与提炼数学规律的能力，契合数学从具体到抽象的认知逻辑.
（二）新知讲解
知识点1　余角和补角的概念
1.余角的概念：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角.
符号语言：
∵∠1+∠2=90 ，∴∠1与∠2互为余角.
反之也成立：
∵∠1与∠2互为余角，∴∠1+∠2=90 .
2.补角的概念：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角.
符号语言：
∵∠3+∠4=180 ，
∴∠3与∠4互为补角.
反之也成立：
∵∠3与∠4互为补角，
∴∠3+∠4=180 .
【小结】1.判断两个角是否互余(补)，唯一标准是它们的度数和是否为 90°(180°)，与它们的位置无关. 因此，互余(补)是两个角的数量关系，而不是位置关系.
2.余角、补角是成对出现的，单独的一个角、三个或三个以上的角之间不能说互余或互补.
例如，当∠1＋∠2＋∠3＝90°时，不能说∠1，∠2，∠3 互余.
【小试牛刀】图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
解：互为余角的角是 10°和 80°、30°和 60°，互为补角的角是10°和 170°、30°和 150°、60°和 120°、80°和 100°.
知识点2　余角和补角的性质
【思考1】∠1与∠2，∠3都互余，∠2与∠3的大小有什么关系？
猜想： ∠2＝∠3
解：理由如下：
∵∠1与∠2, ∠3都互为余角，
∴∠2＝90 －∠1，
∠3＝90 －∠1，
∴∠2＝∠3.
【小结】同角的余角相等.
【思考2】∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？
猜想： ∠2＝∠4
解：理由如下：
∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，
∴∠2＝90 －∠1，∠4＝90 －∠3，
∵∠1＝∠3
∴∠2＝∠4.
【小结】等角的余角相等.
【思考3】如图，如果∠1与∠2，∠3都互补，那么∠2与∠3的大小有什么关系？
解：∵∠1与∠2互为补角，
∴∠2＝ 180°－∠1，
又∠1与∠3互为补角，
∴∠3＝ 180°－∠1，
∴∠2=∠3.
【小结】同角的补角相等.
【思考4】已知：∠1与∠2互为补角，∠3与∠4互为补角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
解：∵∠1与∠2互为补角，
∴∠2＝ 180°－∠1，
又∠3与∠4互为补角，
∴∠4＝ 180°－∠3，
∵∠1=∠3
∴∠2=∠4.
【小结】等角的补角相等.
【小结】
【设计意图】本环节先明确余角、补角的概念及符号语言，结合小结强调 “数量关系” 核心与 “成对出现” 特点，再通过小试牛刀巩固概念；接着以 “思考” 问题链推导余角、补角的性质，层层递进.整体设计既帮助学生精准掌握知识定义与逻辑，又通过符号语言转化、问题探究，锻炼数学表达与推理能力，同时衔接新知引入内容，构建完整的知识认知体系.
（三）典型例题
例1　(1)若∠α＝26°，则∠α的余角是____64°____，补角是____154°____；
(2)若∠1的补角是115°32′，则∠1的度数为____64°28′____，∠1的余角为____25°32′____；
(3)若∠A的度数是37°24′，∠B的度数是52°36′，则∠A与∠B互为____余角____．
【针对练习】
(1)若∠A＝35°，则∠A的余角为____55°____，补角为____145°____，它的补角比余角大____90°____；
(2)若∠1的余角等于51°19′，则∠1等于____38°41′____，∠1的补角等于____141°19′_____；
(3)若∠α的度数是125°48′，∠β的度数是54°12′，则∠α与∠β互为____补角____．
例2　一个角的余角与这个角的补角之和为130°，求这个角的度数．
解：设这个角的度数为x°.
根据题意，得90－x＋180－x＝130.
解得x＝70.
答：这个角的度数为70°.
【小结】解此类题，先明确余角（和为 90°）、补角（和为 180°）定义，设原角为 x°，用（90 － x）°、（180 －x）° 表示余角、补角，再依 “和为已知度数” 列一元一次方程求解；注意区分余角、补角，避免列方程出错.
【针对练习】已知一个角的补角比这个角的余角的2倍大40°，求这个角的度数．
解：设这个角的度数为x.
依题意，得180°－x＝2（90°－x）＋40°.
解得x＝40°.
答：这个角的度数为40°.
例3 （双角平分线模型）如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC 和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？
分析：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角.
解：因为点A，O，B在同一条直线上，
所以∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠COD +∠COE＝∠AOC+∠BOC
＝(∠AOC+∠BOC )
＝90°.
所以， ∠COD 和∠COE互为余角，
同理， ∠AOD 和∠BOE，∠AOD和∠COE ，∠COD 和∠BOE也互为余角.
【针对练习】（双直角模型）如图，O是直线MN上一点，OC平分∠AOM，且∠BOC＝90°，则OB是否平分∠AON？请说明理由．
解：OB平分∠AON.理由如下：
因为OC平分∠AOM，所以∠AOC＝∠COM.
因为O是直线MN上一点，所以∠MON＝180°.
所以∠COM＋∠BON＝∠MON－∠BOC＝180°－90°＝90°.
因为∠AOC＋∠AOB＝∠BOC＝90°，∠AOC＝∠COM，
所以∠AOB＝∠BON.所以OB平分∠AON.
【针对练习】如图，∠AOC和∠BOD都是直角．
(1)图中与∠BOC互余的角有____∠AOB____和____∠COD____．
(2)∠AOD与∠BOC互补吗？为什么？
解： (2) ∠AOD与∠BOC互补．理由如下：
因为∠AOC和∠BOD都是直角，
所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC＝90°.
又∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD，
所以∠AOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠BOC＝180°.
所以∠AOD与∠BOC互补．
【设计意图】本环节通过不同类型题目分层设计：基础计算类例题与练习，帮助学生熟练运用余角、补角定义进行角度换算，巩固核心概念；方程求解类例题，引导学生将文字信息转化为数学方程，提升逻辑建模能力；几何模型类例题，结合角平分线、直线与直角条件，拓展知识应用场景，培养几何推理能力.整体设计以练促学，既强化知识掌握，又逐步提升学生的数学运算与推理能力，实现从概念到应用的过渡.
（四）当堂巩固
1．若∠A＝50°，则∠A的补角为（　C　）
A．40° B．140° C．130° D．50°
2．若一个角的余角是66°25′，则这个角的度数为（　A　）
A．23°35′ B．23°75′ C．113°35′ D．113°75′
3．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β一定互补的是（　C　）
4．如图，直线AB与直线DE相交于点O，∠AOC＝90°，则∠AOD的余角是_____∠COD____，∠AOD的补角是_________∠BOD，∠AOE________．
5．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD.
(1)请直接写出图中相等的角；(除直角和平角外)
(2)请任选一对说明理由．
解：(1)∠AOC＝∠EOF＝∠BOD，
∠COE＝∠BOF，∠AOD＝∠COB，
∠AOF＝∠DOE.
(2)选∠AOD＝∠COB.理由如下：
因为直线AB与CD相交于点O，所以∠AOC＋∠AOD＝180°，∠AOC＋∠COB＝180°. 所以∠AOD＝∠COB. (答案不唯一)
【设计意图】本环节分层考查余角补角定义应用、角度换算及几何图形中角的关系推导；既快速检验学生对课堂知识的掌握程度，及时反馈学习漏洞，又通过多样化题目强化知识应用，帮助学生熟练运用余角补角概念及性质解决实际问题，巩固课堂学习效果.
（五）课堂总结
本节课你有哪些收获？还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力.使知识形成体系，并渗透数学思想方法.
五、教学反思

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