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第二十一章　一元二次方程
21.1　一元二次方程
1.理解一元二次方程及其相关概念.（重点）
2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.（重点）
3.理解并灵活运用一元二次方程的概念并解决有关问题.（难点）
一、新课导入
问题1　什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程、二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
问题2　什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程，叫做一元一次方程.
问题3　根据一元一次方程的定义，想一想什么叫一元二次方程？
二、新知探究
（一）一元二次方程的概念
问题1　如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm.根据方盒的底面积为3600cm2，得（100－2x）（50－2x）＝3600.整理、化简，得x2－75x＋350＝0.①
【思考】该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2　要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
解：全部比赛的场数为4×7＝28.设应邀请x个队参赛.根据题意，列方程x（x－1）＝28.
整理、化简，得x2－x－56＝0.②
【思考】该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
【思考】方程①，②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同点呢？
x2－75x＋350＝0①　x2－x－56＝0②
【归纳总结】共同点：
①是整式方程；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2.
一元二次方程的概念：
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
其中ax2是二次项，a是二次项系数；
bx是一次项，b是一次项系数；
c是常数项.
【思考】为什么一般形式ax2＋bx＋c＝0中要限制a≠0，b，c可以为零吗？
当a＝0时， bx＋c＝0
当a≠0，b＝0时， ax2＋c＝0
当a≠0，c＝0时， ax2＋bx＝0
当a≠0， b＝c＝0时，ax2＝0
【归纳总结】只要满足a≠0，b，c可以为任意实数.
（二）一元二次方程的根
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元一次方程的解也叫做一元二次方程的根.
【思考】下面哪些数是方程x2－x－12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
解：4和－3.
【思考】你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
三、新知应用
例1　下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（　C　）
A. x2＋＝0 B.3x2－5xy＋y2＝0
C.（x－1）（x－2）＝0 D. ax2＋bx＋c＝0
例2　将方程3x（x－1）＝5（x＋2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2－8x－10＝0.其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
注意：系数和项均包含前面的符号.
例3　当a为何值时，下列方程为一元二次方程？
（1）ax2－x＝6x2；
（2）2（a－1）－6x－7＝10.
解：（1）将方程化成一元二次方程的一般形式，得（a－6）x2－x＝0.所以当a－6≠0，即a≠6时，原方程为一元二次方程.
（2）由｜a｜＋1＝2，且a－1≠0知，当a＝－1时，原方程为一元二次方程.
二次项系数不为零不容忽视.
【拓展提高】
已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根为1，求a＋b＋c的值.
解：由题意，得a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
【思考】
1.若a＋b＋c＝0，你能通过观察，求出方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根吗？
解：能.由题意，得a＋b＋c＝0，即a·12＋b·1＋c＝0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根是1.
2.若4a＋2b＋c＝0，你能通过观察，求出方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根吗？
解：能. x＝2.
四、课堂小结
一元二次方程
五、课堂训练
1.判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）x2＋x＝36； （2）x3＋x2＝36；
（3）x＋3y＝36； （4）－＝0；
（5）x＋1＝0； （6）＝6；
（7）4x2－1＝（2x＋3）2；
（8）（）2－2－6＝0.
解：（1）（6）是一元二次方程，（2）（3）（4）（5）（7）（8）不是一元二次方程.
2.变式训练：已知方程（2a－4）x2－2bx＋a＝0.
（1）在什么条件下，此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下，此方程为一元一次方程？
解：（1）当2a－4≠0，即a≠2时，此方程为一元二次方程.
（2）当a＝2且b≠0时，此方程为一元一次方程.
3.如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：根据题意，得75（1＋x）2＝108.
六、布置作业
　　教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.
21.2　解一元二次方程
21.2.1　配方法
第1课时　用直接开平方法解一元二次方程
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想，并会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.（难点）
2.运用开平方法解形如x2＝p或（x＋n）2＝p（p≥0）的方程.（重点）
一、新课导入
1.如果x2＝a，则x叫做a的　平方根　.
2.如果x2＝a（a≥0），则x＝　±　.
3.如果x2＝16，则x＝　±4　.
4.任何数都有平方根吗？
负数没有平方根.
二、新知探究
【思考】解下列方程，并说明你所用的方法，与同学交流.
（1）x2＝121；
解：根据平方根的意义，得
x1＝11，x2＝－11.
（2）x2＝0；
解：根据平方根的意义，得
x1＝x2＝0.
（3）x2＋4＝0.
解：移项，得x2＝－4.
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
【归纳总结】一般地，对于方程x2＝p，　（Ⅰ）
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根　x1＝－　，　x2＝　；
（2）当p＝0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根　x1＝x2＝0　；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程（Ⅰ）无实数根.
利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
三、新知应用
例1　利用直接开平方法解下列方程：
（1）x2＝6；　（2）x2－900＝0.
解：（1）直接开平方，得x＝±.∴x1＝，x2＝－.
（2）移项，得x2＝900.直接开平方，得x＝±30.
∴x1＝30，x2＝－30.
对照上面方法，你认为怎样解方程（x＋3）2＝5？
在解方程（x＋3）2＝5时，由方程x2＝25得x＝±5.由此想到：
由方程（x＋3）2＝5，①
得x＋3＝±，即x＋3＝，或x＋3＝－.②
于是，方程（x＋3）2＝5的两个根为x1＝－3＋，x2＝－3－.
【归纳总结】上面的解法中，由方程①得到②，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了.
例2　解下列方程：
（1）（x＋1）2＝2；　（2）（x－1）2－4＝0；
（3）12（3－2x）2－3＝0.
解：（1）∵x＋1是2的平方根，∴x＋1＝±，
即x1＝－1＋，x2＝－1－.
（2）移项，得（x－1）2＝4.
∵x－1是4的平方根，
∴x－1＝±2，即x1＝3，x2＝－1.
（3）移项，得12（3－2x）2＝3，
两边都除以12，得（3－2x）2＝.
∵3－2x是的平方根，∴3－2x＝±，
即3－2x＝，3－2x＝－.
∴x1＝，x2＝.
【思考】探讨交流
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有x2＝p或（x＋n）2＝p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.
四、课堂小结
五、课堂训练
1.下列解方程的过程中，正确的是（　D　）
A. x2＝－2，解方程，得x＝±
B.（x－2）2＝4，解方程，得x－2＝2，x＝4
C.4（x－1）2＝9，解方程，得4（x－1）＝±3，x1＝，x2＝
D.（2x＋3）2＝25，解方程，得2x＋3＝±5，x1＝1，x2＝－4
2.解下列方程：
（1）x2－81＝0；　（2）2x2＝50；
（3）（x＋1）2＝4.
解：（1）x1＝9，x2＝－9；（2）x1＝5，x2＝－5；
（3）x1＝1，x2＝－3.
3.下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗？如果有错，指出具体位置并帮他改正.
解：－5＝0，＝5，①
y＋1＝，②　y＝－1，③
y＝3－3.④
解：不对.从②开始错，应改为y＋1＝±.
y1＝3－3，y2＝－3－3.
六、布置作业
　　教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程.同时体会到解一元二次方程的过程就是一个“降次”的过程.
第2课时　用配方法解一元二次方程
1.了解配方的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.（重点）
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）
一、新课导入
1.用直接开平方法解下列方程：
（1）9x2＝1； （2）（x－2）2＝2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗？
（1）x2＋6x＋9＝5； （2）x2＋6x＋4＝0.
【提示】把两题转化成（x＋n）2＝p（p≥0）的形式，再利用开平方法.
【探究交流】填一填下列完全平方公式.
（1）a2＋2ab＋b2＝（　a＋b　）2；
（2）a2－2ab＋b2＝（　a－b　）2.
填上适当的数或式，使下列各等式成立.
（1）x2＋4x＋　22　＝（x＋　2　）2；
（2）x2－6x＋　32　＝（x－　3　）2；
（3）x2＋8x＋　42　＝（x＋　4　）2；
（4）x2－x＋　　＝.
【思考】你发现了什么规律？
【归纳总结】配方的方法：
二次项系数为1的完全平方式；
常数项等于一次项系数一半的平方.
【思考】x2＋px＋＝
二、新知探究
用配方法解方程
【思考】怎样解方程x2＋6x＋4＝0①？
问题1　方程①怎样变成（x＋n）2＝p的形式呢？
问题2　为什么在方程x2＋6x＝－4的两边加上9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方式x2＋2bx＋b2的形式.
【归纳总结】方程配方的方法归纳：
在方程两边都加上　一次项系数一半　的　平方　.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
【归纳总结】
1.配方法的定义：
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
2.用配方法解一元二次方程的基本思路：
把方程化为（x＋n）2＝p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解.
三、新知应用
例1　解下列方程：
（1）x2－8x＋1＝0；
解：移项，得x2－8x＝－1.
配方，得x2－8x＋42＝－1＋42，（x－4）2＝15.
由此可得x－4＝±，
x1＝4＋，x2＝4－.
（2）2x2＋1＝3x；
解：移项，得2x2－3x＝－1.
二次项系数化为1，得x2－x＝－.
配方，得x2－x＋＝－＋，
＝.
由此可得x－＝±，
x1＝1，x2＝.
【思考】移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢？
（3）3x2－6x＋4＝0.
解：移项，得3x2－6x＝－4.
二次项系数化为1，得x2－2x＝－.
配方，得x2－2x＋12＝－＋12，（x－1）2＝－.
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，（x－1）2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.
【思考】用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？
移项时需注意改变符号.
【思考】用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
【归纳总结】一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（x＋n）2＝p　　　　（Ⅱ）
的形式，那么就有：
①当p＞0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根　x1＝－n－　，　x2＝－n＋　；
②当p＝0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根　x1＝x2＝－n　；
③当p＜0时，因为对任意实数x，都有（x＋n）2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根.
例2　试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.
解：k2－4k＋5＝k2－4k＋4＋1＝（k－2）2＋1.
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.
例3　若a，b，c为△ABC的三边长，且a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得（a－3）2＋（b－4）2＋＝0.
由代数式的性质可知（a－3）2＝0，（b－4）2＝0，＝0.
∴a＝3，b＝4，c＝5.∴a2＋b2＝32＋42＝52＝c2.
∴△ABC为直角三角形.
例4　读诗词解题：
大江东去浪淘尽，
千古风流数人物。
而立之年督东吴，
早逝英年两位数。
十位恰小个位三，
个位平方与寿符。
哪位学子算得快，
多少年华属周瑜？
通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.
解：设个位上的数字为x，十位上的数字为（x－3）.
根据题意，得x2＝10（x－3）＋x.
解方程，得x1＝6，x2＝5.
∴这个两位数为36或25.
∵周瑜30岁还攻打过东吴，
∴周瑜去世时的年龄为36岁.
四、课堂小结
用配方法解一元二次方程
特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2＋px＋q＝0的形式.
五、课堂训练
1.解下列方程：
（1）x2＋4x－9＝2x－11；
（2）x（x＋4）＝8x＋12；
（3）4x2－6x－3＝0；
（4）3x2＋6x－9＝0.
解：（1）x2＋2x＝－2，（x＋1）2＝－1，此方程无解.
（2）x2－4x＝12，（x－2）2＝16，x1＝6，x2＝－2.
（3）x2－x＝，＝，x1＝，x2＝.
（4）x2＋2x＝3，（x＋1）2＝16，x1＝－3，x2＝1.
2.应用配方法求最值.
（1）2x2－4x＋5的最小值；
（2）－3x2＋12x－16的最大值.
解：（1）原式＝2（x－1）2＋3.当x＝1时，取最小值，最小值为3.
（2）原式＝－3（x－2）2－4.当x＝2时，取最大值，最大值为－4.
3.已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得[（a－b）2＋（a－c）2＋（b－c）2]＝0.
由代数式的性质可知（a－b）2＝0，（a－c）2＝0，（b－c）2＝0.∴a＝b＝c.
∴△ABC为等边三角形.
六、布置作业
　　教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程.因此需熟练掌握完全平方式的形式.
21.2.2　公式法
1.经历求根公式的推导过程.（难点）
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.（重点）
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.（难点）
一、新课导入
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程2x2＋4x＋1＝0？
【提出问题】任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.能否也用配方法得出它的解呢？
二、新知探究
（一）用公式法解一元二次方程
用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.
解：移项，得ax2＋bx＝－c.
二次项系数化为1，得x2＋x＝－.
配方，得x2＋x＋＝－＋，即＝.①
【思考】接下来能用直接开平方法解吗？
∵a≠0，∴4a2＞0.
（1）当b2－4ac＞0时，
由①得x＋＝±.
方程有两个不等的实数根x1＝，x2＝.
（2）当b2－4ac＝0时，由①可知，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－.
（3）当b2－4ac＜0时，由①可知，＜0，
而x取任何实数都不能使上式成立，因此方程无实数根.
（二）一元二次方程根的判别式
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac.
【归纳总结】
判别式的情况 根的情况
Δ＞0 有两个不等的实数根
Δ＝0 有两个相等的实数根
Δ＜0 无实数根
【思考】按要求完成下列表格：
3x2－4x＋＝0 －x2＋x－1＝0 x2－1＝0
Δ的值 　0　 　－　 　4　
根的 情况 　有两个相等的实数根　 　无实数根　 　有两个不等的实数根　
三、新知应用
例1　用公式法解方程：5x2－4x－12＝0.
解：a＝5，b＝－4，c＝－12.
Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4×5×（－12）＝256＞0.
方程有两个不等的实数根x＝＝＝，即x1＝2，x2＝－.
例2　解方程：x2＋3＝2x.
解：化为一般式x2－2x＋3＝0，
a＝1，b＝－2，c＝3.
Δ＝b2－4ac＝（－2）2－4×1×3＝0.
方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－＝－＝.
例3　解方程：4x2－3x＋2＝0.
解：a＝4，b＝－3，c＝2.
Δ＝b2－4ac＝（－3）2－4×4×2＝－23＜0.
方程无实数根.
例4　解方程：x2＋x－1＝0（精确到0.001）.
解：a＝1，b＝1，c＝－1.
Δ＝b2－4ac＝12－4×1×（－1）＝5＞0.方程有两个不等的实数根x＝＝.
用计算器求得：≈2.2361.∴x1≈0.618，x2≈－1.618.
用公式法解一元二次方程的步骤：
1.变形：化已知方程为一般形式；
2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；
3.计算：b2－4ac的值；
4.判断：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若b2－4ac＜0，则方程没有实数根.
四、课堂小结
公式法
五、课堂训练
1.已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是（　B　）
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
2.若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不等的实数根，则k的取值范围为（　B　）
A. k＞－1 B. k＞－1且k≠0
C. k＜1 D. k＜1且k≠0
3.不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）3x2＋4x－3＝0；
解：a＝3，b＝4，c＝－3.
Δ＝b2－4ac＝42－4×3×（－3）＝52＞0.
∴方程有两个不等的实数根.
（2）4x2＝12x－9；
解：方程化为4x2－12x＋9＝0. a＝4，b＝－12，c＝9.
Δ＝b2－4ac＝（－12）2－4×4×9＝0.
∴方程有两个相等的实数根.
（3）7y＝5（y2＋1）.
解：方程化为5y2－7y＋5＝0.
a＝5，b＝－7，c＝5.
Δ＝b2－4ac＝（－7）2－4×5×5＝－51＜0.
∴方程无实数根.
【拓展提高】
4.在等腰三角形ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的方程x2＋（b＋2）x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长.
解：∵关于x的方程x2＋（b＋2）x＋6－b＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（b＋2）2－4（6－b）＝b2＋8b－20＝0.解得b1＝－10，b2＝2.将b＝－10代入原方程，得x2－8x＋16＝0，x1＝x2＝4；将b＝2代入原方程，得x2＋4x＋4＝0，x1＝x2＝－2（不合题意，舍去）.∴△ABC的三边长为4，4，5，其周长为4＋4＋5＝13.
六、布置作业
　　教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式.同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程的前提是Δ≥0.
21.2.3　因式分解法
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
一、新课导入
我们知道ab＝0，那么a＝0或b＝0，类似的解方程（x＋1）（x－1）＝0时，可转化为两个一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0来解，你能求（x＋3）（x－5）＝0的解吗？
问题　根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度（单位：m）为10x－4.9x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？
设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即10x－4.9x2＝0.①
【思考】
配方法解方程：10x－4.9x2＝0.
解：x2－x＝0.
x2－x＋＝0＋.
＝.
x－＝±，
即x1＝≈2.04，x2＝0.
公式法解方程：10x－4.9x2＝0.
解：原方程可化为4.9x2－10x＝0.
a＝4.9，b＝－10，c＝0.
Δ＝b2－4ac＝（－10）2－4×4.9×0＝100.
x＝＝，
即x1＝≈2.04，x2＝0.
【思考】除配方法和公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？
10x－4.9x2＝0.①
　　　↓因式分解
x（10－4.9x）＝0.②
　　　↓两个因式乘积为0，化为两个一次方程
x＝0或10－4.9x＝0.
　　　↓解两个一次方程，得出方程的根
x1＝0，x2＝≈2.04.
【思考】这种解法是不是很简单？
二、新知探究
因式分解法的概念：这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
【归纳总结】因式分解法的基本步骤：
一移——方程的右边＝0；
二分——方程的左边因式分解；
三化——方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程的两个解.
简记歌诀：右化零　左分解　两因式　各求解
【思考】下列各方程的根分别是多少？
（1）x（x＋1）＝0；　　　　　x1＝0，x2＝－1
（2）（y＋2）（y－3）＝0； y1＝－2，y2＝3
（3）（3x－6）（2x－4）＝0； x1＝x2＝2
（4）x2＝x. x1＝0，x2＝1
三、新知应用
例1　解下列方程：
（1）x（x－2）＋x－2＝0；
（2）5x2－2x－＝x2－2x＋.
解：（1）因式分解，得（x－2）（x＋1）＝0.
于是得x－2＝0，或x＋1＝0，x1＝2，x2＝－1.
（2）移项、合并同类项，得4x2－1＝0.
因式分解，得（2x＋1）（2x－1）＝0.
于是得2x＋1＝0，或2x－1＝0，x1＝－，x2＝.
例2　用适当的方法解方程：
（1）3x（x＋5）＝5（x＋5）；
解：移项、因式分解，得（3x－5）（x＋5）＝0.
于是得3x－5＝0，或x＋5＝0，x1＝，x2＝－5.
（2）（5x＋1）2＝1；
解：直接开平方，得5x＋1＝±1.
解得x1＝0，x2＝－.
（3）x2－12x＝4；
解：配方，得x2－12x＋62＝4＋62，
即（x－6）2＝40.
开平方，得x－6＝±2.
解得x1＝6＋2，x2＝6－2.
（4）3x2＝4x＋1.
解：化为一般形式3x2－4x－1＝0.
a＝3，b＝－4，c＝－1.
Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4×3×（－1）＝28＞0.
x＝＝＝，
即x1＝，x2＝.
【思考】各种一元二次方程的解法及适用类型.
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法 （x＋m）2＝n（n≥0）
配方法 x2＋px＋q＝0（p2－4q≥0）
公式法 ax2＋bx＋c＝0（a≠0，b2－4ac≥0）
因式分解法 （x＋m）（x＋n）＝0
【归纳总结】选择一元二次方程的解法的基本思路：
1.一般地，当一元二次方程的一次项系数为0时（ax2＋c＝0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ax2＋bx＝0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0（ax2＋bx＋c＝0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
四、课堂小结
因式分解法
五、课堂训练
1.下列一元二次方程：
①x2－3x＋1＝0；②3x2－1＝0；
③－3t2＋t＝0；④x2－4x＝2；
⑤2x2－x＝0；⑥5（m＋2）2＝8；
⑦3y2－y－1＝0；⑧2x2＋4x－1＝0；
⑨（x－2）2＝2（x－2）.
适合运用直接开平方法解的是　②⑥　；
适合运用因式分解法解的是　③⑤⑨　；
适合运用公式法解的是　①⑦⑧　；
适合运用配方法解的是　④　.
2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程：（x－5）（x＋2）＝18.
解：原方程化为（x－5）（x＋2）＝3×6.①
由x－5＝3，得x＝8.②
由x＋2＝6，得x＝4.③
所以原方程的解为x1＝8，x2＝4.
解：不正确.错误在②③.改正如下：
原方程化为x2－3x－28＝0.
（x－7）（x＋4）＝0. x1＝7，x2＝－4.
3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.
解：设小圆形场地的半径为rm.
根据题意，得（r＋5）2×π＝2πr2.
因式分解，得（r＋5－r）（r＋5＋r）＝0.
于是得r＋5－r＝0，或r＋5＋r＝0.
解得r1＝5＋5，r2＝－5＋5（不合题意，舍去）.
答：小圆形场地的半径为（5＋5）m.
六、布置作业
　　利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用因式分解法解方程的能力.在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法.
*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
1.探索并掌握一元二次方程的根与系数的关系.（重点）
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）
一、新课导入
1.一元二次方程的求根公式是什么？
x＝，b2－4ac≥0.
2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
当b2－4ac＞0时，方程有两个不等的实数根；
当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当b2－4ac＜0时，方程无实数根.
【思考】方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其他关系吗？
解下列方程并完成填空：
（1）x2＋3x－4＝0；（2）x2－5x＋6＝0；
（3）2x2＋3x－2＝0.
一元二次方程 两根 两根关系
x1 x2
x2＋3x－4＝0 －4 1 x1＋x2＝－3，x1x2＝－4
x2－5x＋6＝0 2 3 x1＋x2＝5，x1x2＝6
2x2＋3x－2＝0 －2 x1＋x2＝－，x1x2＝－1
【思考】通过上表猜想，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别是x1，x2，那么你可以发现什么结论？
x1＋x2＝－，x1x2＝.
二、新知探究
【思考】从因式分解法可知，方程（x－x1）（x－x2）＝0（x1，x2为已知数）的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
把方程（x－x1）（x－x2）＝0的左边展开，化成一般形式，得方程x2－（x1＋x2）x＋x1x2＝0.
由x2＋px＋q＝0得x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
【归纳总结】如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
【交流讨论】一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，二次项系数a未必是1，前面我们猜想的它的两根的和、积与系数的关系成立吗？如何证明呢？
根据求根公式可得，
x1＋x2＝＋＝＝－，
x1x2＝·＝＝.
【归纳总结】一元二次方程的根与系数的关系：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.
一元二次方程的根与系数的关系是法国数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理.
【归纳总结】
在使用根与系数的关系时，注意：
（1）不是一般式的要先化成一般式；
（2）在使用时，x1＋x2＝－，注意“－”不要漏写；
（3）满足上述关系的前提条件是b2－4ac≥0.
另外几种常见的变形求值：
1.＋＝；
2. ＋＝＝；
3.（x1＋1）（x2＋1）＝x1x2＋（x1＋x2）＋1；
4.｜x1－x2｜＝＝.
三、新知应用
例1　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
（1）x2＋7x＋6＝0；（2）2x2－3x－2＝0.
解：（1）x1＋x2＝－7，x1x2＝6.
（2）x1＋x2＝1.5，x1x2＝－1.
例2　已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1，x2，其中x1＝2.
∴x1x2＝2x2＝－，即x2＝－.
由于x1＋x2＝2－＝－，得k＝－7.
∴方程的另一个根是－，k＝－7.
例3　不解方程，求方程2x2＋3x－1＝0的两根x1，x2的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∵（x1＋x2）2＝＋2（x1x2）＋，∴＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝－2×＝，
＋＝＝÷＝3.
四、课堂小结
一元 二次 方程 的根 与系 数的 关系
五、课堂训练
1.设x1，x2为方程x2－4x＋1＝0的两个根，则：
（1）x1＋x2＝　4　；
（2）x1x2＝　1　；
（3）＋＝　14　；
（4）（x1－x2）2＝　12　.
2.如果－1是方程2x2－x＋m＝0的一个根，则另一个根是　　，m＝　－3　.
3.已知一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为－2和1，则p＝　1　，q＝　－2　.
六、布置作业
　　教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.
21.3　实际问题与一元二次方程
第1课时　传播问题与一元二次方程
1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.（重点）
2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.（难点）
3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解决问题.
一、新课导入
前面我们学习了一元二次方程的解法，以及一元二次方程根与系数的关系.同一元一次方程和二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为某些实际问题中数量关系的数学模型.本节课开始讨论如何利用一元二次方程解决实际问题.
二、新知探究
【探究】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有　（x＋1）　个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有　1＋x＋x（1＋x）　个人患了流感.
由上面的分析列方程得1＋x＋x（1＋x）＝121.
解方程，得x1＝　10　，x2＝　－12　（不合题意，舍去）.
平均一个人传染了　10　个人.
注意：一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验.
【思考】如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？你能快速写出吗？
121＋121×10＝1331（人）.
【思考】如果按这样的传染速度，n轮传染后有多少人患了流感？
传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数
第一轮 1 1 x＝x 1＋x
第二轮 1＋x （1＋x）·x 1＋x＋（1＋x）·x＝（1＋x）2
第三轮 （1＋x）2 （1＋x）2·x （1＋x）2＋（1＋x）2·x＝（1＋x）3
第n轮 （1＋x）n－1 （1＋x）n－1·x （1＋x）n－1＋（1＋x）n－1·x＝（1＋x）n
结论：经过n轮传染后共有（1＋x）n个人患了流感.
【类比应用】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与长出支干同样数目的小分支，一株该植物主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
解：设每个支干长出x个小分支.
由题意，得1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0.
解得x1＝9，x2＝－10（不合题意，舍去）.
答：每个支干长出9个小分支.
【归纳总结】解一元二次方程应用题的一般步骤有哪些？
第一步：弄清题目中的已知数、未知数，用字母表示其中的未知数；
第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；
第三步：根据这些相等关系列出需要的关系式，从而列出方程；
第四步：解这个方程，求出未知数的值；
第五步：在检查求得的数值是否符合应用题的实际意义后，写出答案.
三、新知应用
例　某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4轮感染后被感染的电脑会不会超过7000台？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.
由题意，得1＋x＋x（1＋x）＝100，即（1＋x）2＝100.
解得x1＝9，x2＝－11（不合题意，舍去）.
4轮感染后，被感染的电脑数为（1＋x）4＝104＞7000.
答：每轮感染中平均一台电脑会感染9台电脑，4轮感染后被感染的电脑会超过7000台.
四、课堂小结
传播问题与一元二次方程
五、课堂训练
1.某校高一各班进行篮球月比赛活动（单循环制），每两班之间共比赛了15场，则高一有　　　　个班.（　C　）
A.4 B.5 C.6 D.7
2.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用朋友圈转发的方式宣传，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的朋友圈里，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推.已知经过两轮转发后，共有110个人转发了此倡议书，则n＝　10　.
六、布置作业
　　教学过程中，强调利用一元二次方程解应用题的步骤和关键.特别是解有关的传播问题时，一定要明确每一轮传染源的基数.
第2课时　增长率问题与一元二次方程
1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.（重点）
2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.（难点）
一、新课导入
问题　通过上节课的学习，请说一说列方程解应用题的一般步骤是怎样的，关键是什么.
二、新知探究
【探究】两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？
【分析】容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为　（5000－3000）÷2＝1000（元）　，乙种药品成本的年平均下降额为　（6000－3600）÷2＝1200（元）　.
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）.
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1－x）元，两年后甲种药品成本为5000（1－x）2元，于是有5000（1－x）2＝3000.
解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）.
答：甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
【思考】乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较两种药品成本的年平均下降率.
22.5％.两种药品成本的年平均下降率相同.
【思考】经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
成本下降额大的药品，它的成本下降率不一定大，应比较下降前及下降后的价格.
【归纳总结】你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？
类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的量是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为　a（1±x）n＝b　.（其中增长取“＋”，降低取“－”）
三、新知应用
1.某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是x，列方程为（　B　）
A.500（1＋2x）＝720 B.500（1＋x）2＝720
C.500（1＋x2）＝720 D.720（1＋x）2＝500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为12万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则x的值是　1　.
【思考】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
分析，完成下列问题：
（1）降价前，该商场衬衫的总盈利为　900　元.
（2）每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利　（45－x）　元，平均每天可售出　（20＋4x）　件.（用含x的代数式表示）
（3）等量关系是　每件衬衫的利润×每天的销量＝2100　.
【思考】根据分析如何列出方程求解？
解：由题意，得（45－x）（20＋4x）＝2100.
解得x1＝10，x2＝30.
∵要尽快减少库存，∴x＝30.
答：每件衬衫应降价30元.
四、课堂小结
增长 率问 题与 一元 二次 方程
五、课堂训练
1.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，每次降价的百分率约为　29.3％　.（精确到0.1％）
2.某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克30元，按每千克50元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，
（1）设每千克核桃应降价x元，则下列方程正确的是（　B　）
A.（50－x）（100＋10x）＝2240
B.（50－30－x）（100＋10x）＝2240
C.（50－30－x）（100＋x）＝2240
（2）设每千克核桃应定价x元，则下列方程正确的是（　A　）
A.（x－30）[100＋10（50－x）]＝2240
B.（x－50）[100＋10（50－x）]＝2240
C.（x－30）（100＋10x）＝2240
（3）请选择一种方法，解得每千克核桃定价　44或46　元.
六、布置作业
　　教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.
第3课时　几何图形问题与一元二次方程
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题.（重点）
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（难点）
一、新课导入
问题：某小区规划在一个长30m，宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，如图所示，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽应该设计为xm，则由题意列方程：
（30－2x）（20－x）＝6×78.
二、新知探究
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周彩色的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？（结果保留小数点后一位）
【分析】封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7.
设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是（27－9a）∶（21－7a）＝9（3－a）∶7（3－a）＝9∶7.
解：设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得（27－18x）（21－14x）＝×27×21.
解方程，得x1＝，x2＝（不合题意，舍去）.
故上、下边衬的宽均约为9×≈1.8（cm），
左、右边衬的宽均约为7×≈1.4（cm）.
【提出问题】在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框.已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm，要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽.
解：设这个长方形框的框边宽为xcm.依题意，得
30×20－（30－2x）（20－2x）＝400.
解方程，得x1＝20，x2＝5.
当x＝20时，20－2x＝－20，不合题意，舍去；当x＝5时，20－2x＝10.∴x＝5.
答：这个长方形框的框边宽为5cm.
三、新知应用
例1　如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540㎡，求道路的宽为多少米.
【思考】你有几种方法解决这个问题？
解：设道路的宽为xm.列方程，得（32－x）（20－x）＝540.解得x1＝2，x2＝50.
当x＝50时，32－x＝－18，不合题意，舍去；
当x＝2时，20－2＝18.∴x＝2.
答：道路的宽为2m.
【思考】你还有其他解法吗？
【交流讨论】如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求这种方案下的道路的宽为多少米.
解：设道路的宽为xm.
可列方程为（32－x）（20－x）＝540.
【归纳总结】
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些.（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）
例2　如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm2？
解：设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm2.
根据题意，得（6－x）·2x＝9.
整理，得x2－6x＋9＝0.解得x1＝x2＝3.
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm2.
【变式训练】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
解：设所围矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm，
则平行于住房墙的一边长为（25－2x＋1）m.
由题意，得x（25－2x＋1）＝80.
解得x1＝5，x2＝8.
当x＝5时，26－2x＝16＞12，不合题意，舍去；
当x＝8时，26－2x＝10＜12，符合题意.
答：所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m时，猪舍面积为80m2.
四、课堂小结
几何图 形问题 与一元 二次方程
五、课堂训练
1.客轮沿折线A－B－C从A出发经过B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮，两船若同时起航，并同时到达折线A－B－C上的某点E处，已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝90°，客轮速度是货轮速度的2倍.两船相遇之处E点（　B　）
A.在线段AB上
B.在线段BC上
C.在线段AC上
D.可在线段AB上，也可以在线段BC上
2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示.如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　B　）
A. x2＋130x－1400＝0
B. x2＋65x－350＝0
C. x2－130x－1400＝0
D. x2－65x－350＝0
【拓展提高】
3.如图所示，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属台风区.当轮船行驶到A处时，测得台风中心移动到位于点A正南方向的B处，且AB＝100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.
解：会.
设t时轮船行驶到C点，台风中心移动到E点，如图所示.
可知AC＝20t海里，AE＝（100－40t）海里.根据勾股定理，得EC2＝AC2＋AE2.当EC＝20时，＝（20t）2＋（100－40t）2.
整理，得t2－4t＋3＝0.解得t1＝1，t2＝3.
由于求轮船最初遇到台风的时间，因此t＝1.
∴轮船最初遇到台风的时间是行驶1小时.
六、布置作业
　　与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好.

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