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第二十五章　概率初步
25.1　随机事件与概率
25.1.1　随机事件
1.知道必然事件、不可能事件、随机事件的概念和特点.（重点）
2.会根据事件的特点判断一个简单事件是属于必然事件、不可能事件还是随机事件.（难点）
一、新课导入
俗话说：“天有不测风云”，也就是说世界上有很多事情具有偶然性，人们不能事先判断这些事情是否会发生.
二、新知探究
事件的分类
【思考】下列现象中哪些是必然发生的，哪些是不可能发生的？
①木柴燃烧，产生热量 ②明天，地球还会转动
③煮熟的鸭子，飞了 ④在0℃下，这些雪融化
【思考】
（1）小明从盒中任意摸出一球，一定能摸到红球吗？
（2）小麦从盒中摸出的球一定是红球吗？
（3）小米从盒中摸出的球一定是红球吗？
问题1　五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序.我们在盒中放五个看上去完全一样的纸团，每个纸团里面分别写着表示出场顺序的数字1，2，3，4，5.把纸团充分搅拌后，小军首先抽，他任意（随机）从盒中抽取一个纸团.请思考以下问题：
（1）抽到的数字有几种可能的结果？
数字1，2，3，4，5都有可能抽到，共有5种可能的结果，但是事先无法预料抽取一次出现哪一种结果.
（2）抽到的数字小于6吗？
抽到的数字一定小于6.
（3）抽到的数字会是0吗？
抽到的数字不会是0.
（4）抽到的数字会是1吗？
抽到的数字可能是1，也可能不是1，事先无法确定.
问题2　小伟掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.请思考以下问题：掷一次骰子，在骰子向上的一面上，
（1）可能出现哪些点数？
从1到6的每一个点数都有可能出现，所有可能的点数共有6种，但事先无法预料掷一次骰子会出现哪一种结果.
（2）出现的点数大于0吗？
出现的点数一定大于0.
（3）出现的点数会是7吗？
出现的点数不可能是7.
（4）出现的点数会是4吗？
出现的点数可能是4，也可能不是4，事先无法确定.
【归纳总结】在一定条件下，有些事件一定会发生叫做必然事件；相反地，有些事件必然不会发生叫做不可能事件.
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件.
【思考】必然事件、不可能事件、随机事件各有什么特征？
事件
【思考】袋子中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球.
（1）这个球是白球还是黑球？
（2）如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？
【交流讨论】为了验证你的想法，动手摸一下吧！每名同学随机从袋子中摸出1个球，记下球的颜色，然后把球重新放回袋子并摇匀.汇总全班同学摸球的结果并把结果填在下表中.
球的颜色 黑球 白球
摸取次数
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的.
【思考】能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性大小相同？
三、新知应用
例1　判断下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
（1）乘公交车到十字路口，遇到红灯；
（2）把铁块扔进水中，铁块浮起；
（3）任选13人，至少有两人的出生月份相同；
（4）从上海到北京的D314次动车明天正点到达北京.
解：（1）随机事件　（2）不可能事件　（3）必然事件　（4）随机事件
例2　阅读短文，并回答问题：
生死签
　　相传古代有个王国，国王非常阴险而多疑，一位正直的大臣得罪了国王，被判死刑.这个国家世代沿袭着一条奇特的法规：凡是死囚，在临刑前都要抽一次“生死签”（写着“生”和“死”的两张纸条），犯人当众抽签，若抽到“死”签，则立即处死，若抽到“生”签，则当众赦免.国王一心想处死大臣，与几个心腹密谋，想出一条毒计：暗中让执行官把“生死签”上都写成“死”，两死抽一，必死无疑.
　　在断头台前，聪明的大臣迅速抽出一张签纸塞进嘴里，等到执行官反应过来，签纸早已吞下，大臣故作叹息说：“我听天意，将苦果吞下，只要看剩下的签是什么字就清楚了.”剩下的当然写着“死”字，国王怕犯众怒，只好当众释放了大臣.
（1）在法规中，大臣被处死是什么事件？
解：随机事件.
（2）在国王的阴谋中，大臣被处死是什么事件？
解：必然事件.
（3）在大臣的计策中，大臣被处死是什么事件？
解：不可能事件.
四、课堂小结
事件
注意：
1.事先不能预料事件是否发生，即事件的发生具有不确定性.
2.一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.
五、课堂训练
1.下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）明天下大雨；（3）1＋1＝3；（4）掷一次骰子，向上一面是6点；（5）11个人中，至少有2个人出生的月份相同；
（6）中国足球队夺得世界杯冠军；（7）在装有3个红球的布袋里摸出绿球；（8）对顶角相等；（9）太阳从西边落下；（10）数学测试你得满分.
必然事件是：　（1）（8）（9）　；
不可能事件是：　（3）（7）　；
随机事件是：　（2）（4）（5）（6）（10）　.（写出序号即可）
2.一个不透明的口袋中有7个红球，5个黄球，4个绿球，这些球除颜色外没有其他区别，现从中任意摸出1个球，如果要使摸到绿球的可能性最大，需要在这个口袋中至少再放入多少个绿球？请简要说明理由.
解：至少再放入4个绿球.理由：袋中有绿球4个，至少再放入4个绿球后，袋中有不少于8个绿球，即绿球的数量最多，这样摸到绿球的可能性最大.
六、布置作业
　　教学过程中，结合生活实际，对身边事件发生的情况作出判断，分类、巩固所学概念.
25.1.2　概　率
1.理解一个事件发生的概率的意义.
2.会在具体情境中求出一个事件的概率.（重点）
3.运用概率的意义判断某个事件发生的公平性，并会根据提供的问题情境设计一些简单的随机事件.（难点）
一、新课导入
1.必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件.
2.不可能事件：必然不会发生的事件.
3.随机事件：可能会发生，也可能不发生的事件.
【思考】在同样条件下，随机事件可能发生，也可能不发生，那么它发生的可能性有多大呢？能否用数值刻画可能性的大小呢？
二、新知探究
（一）概率的定义
活动1　从分别有数字1，2，3，4，5的五个纸团中随机抽取一个，这个纸团里的数字有5种可能，即1，2，3，4，5.
因为纸团看上去完全一样，又是随机抽取，所以每个数字被抽取的可能性大小相等.我们可以用表示每一个数字被抽到的可能性大小.
活动2　掷一枚骰子，向上一面的点数有6种可能，即1，2，3，4，5，6.
因为骰子形状规则、质地均匀，又是随机掷出.所以每种点数出现的可能性大小相等.我们用表示每一种点数出现的可能性大小.
【归纳总结】概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）.
（二）概率的计算
试验1　抛掷一个质地均匀的骰子：
（1）它落地时向上的点数有几种可能的结果？
6种.
（2）各点数出现的可能性会相等吗？
相等.
（3）试猜想：各点数出现的可能性大小是多少？
.
试验2　掷一枚硬币，落地后：
（1）会出现几种可能的结果？
两种.
（2）正面朝上与反面朝上的可能性相等吗？
相等.
（3）试猜想：正面朝上的可能性有多大呢？
.
【归纳总结】上述试验有两个共同特点：
（1）每一次试验中，可能出现的结果只有有限个.
（2）每一次试验中，各种结果出现的可能性相等.
对于具有上述特点的试验，我们用事件所包含的各种可能的结果个数在全部可能的结果总数中所占的比，表示事件发生的概率.
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P＝.
P＝.
【思考】盒子中装有只有颜色不同的3枚黑棋子和2枚白棋子，从中摸出一枚棋子，是黑棋子的可能性是多少？
P（摸到黑棋子）＝.
【思考】“从一堆牌中任意抽一张，抽到红牌”这一事件是什么事件，能不能求出概率？
【思考】
1.当A是必然发生的事件时，P（A）是　P（A）＝1　.
2.当A是不可能发生的事件时，P（A）是　P（A）＝0　.
3.不确定事件发生的可能性是大于0且小于1的，即随机事件的概率为　0≤P（A）≤1　.
三、新知应用
例1　掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为2；
（2）点数为奇数；
（3）点数大于2小于5.
解：（1）点数为2有1种可能，因此P（点数为2）＝.
（2）点数为奇数有3种可能，即点数为1，3，5，因此P（点数为奇数）＝.
（3）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，因此P（点数大于2且小于5）＝.
例2　如图所示是一个转盘，转盘分成7个大小相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）.求下列事件的概率：
（1）指针指向红色；
（2）指针指向红色或黄色；
（3）指针不指向红色.
解：一共有7种等可能的结果.
（1）指针指向红色有3种结果，P（指针指向红色）＝；
（2）指针指向红色或黄色一共有5种等可能的结果，P（指针指向红色或黄色）＝；
（3）指针不指向红色有4种等可能的结果，P（指针不指向红色）＝.
例3　如图是计算机中“扫雷”游戏的画面.在一个有9×9的方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能埋藏1颗地雷.
小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现如图所示的情况.我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域.数字3表示在A区域有3颗地雷.下一步应该点击A区域还是B区域？
解：A区域的方格共有8个，标号3表示在这8个方格中有3个方格各埋藏有1颗地雷.因此，点击A区域的任一方格，遇到地雷的概率是.
B区域方格数为9×9－9＝72.其中有地雷的方格数为10－3＝7.因此，点击B区域的任一方格，遇到地雷的概率是.
由于＞，即点击A区域遇到地雷的可能性大于点击B区域遇到地雷的可能性，因而下一步应该点击B区域.
【归纳总结】概率的求法关键是找准两点：
①全部情况的总数；
②符合条件的情况数目.
二者的比值就是其发生的概率.
四、课堂小结
概率的定义及基本性质：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且他们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）＝.
注意：0≤P（A）≤1.
特别地，必然事件A，则P（A）＝1；不可能事件B，则P（B）＝0；随机事件C，则0＜P（C）＜1.
五、课堂训练
1.明天下雨的概率为95％，那么下列说法错误的是（　D　）
A.明天下雨的可能性较大
B.明天不下雨的可能性较小
C.明天有可能是晴天
D.明天不可能是晴天
2.若有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任意取1只，是二等品的概率为　　.
3.如图，能自由转动的转盘中，A，B，C，D四个扇形的圆心角的度数分别为180°，30°，60°，90°，转动转盘，当转盘停止时，指针指向B的概率是　　；指向C或D的概率是　　.
六、布置作业
　　教学中为学生的自主探索与合作交流提供保障，从而促进学生学习方式的转变，使之获得广泛的数学活动经验.教师在学习活动中是组织者、引导者与合作者，应注意学生在活动中的参与程度、自信心、是否愿意交流等，给学生以适时的引导与鼓励.
教学过程中，强调简单的概率的计算应确定事件总数及事件A包含的数目.事件A发生的概率P（A）的大小范围是0≤P（A）≤1.
25.2　用列举法求概率
第1课时　用直接列举法或列表法求概率
1.知道什么时候采用“直接列举法”和“列表法”.
2.会正确“列表”表示出所有可能出现的结果.（重点）
3.知道如何利用“列表法”求随机事件的概率.（难点）
一、新课导入
（1）掷一枚硬币，正面向上的概率是　　.
（2）袋子中装有5个红球、3个绿球，这些球除了颜色外其他都相同，从袋中随机摸出一个球是红色的概率为　　.
（3）掷一个骰子，观察向上一面的点数，点数大于4的概率是　　.
二、新知探究
（一）用直接列举法求概率
问题1　同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：
（1）两枚硬币全部正面朝上.
（2）两枚硬币全部反面朝上.
（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上.
解：列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果，分别是（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）.所有可能的结果共有4种，并且这4种结果出现的可能性相等.
（1）全部正面朝上的结果只有（正，正）1种，所以P（两次正面朝上）＝.
（2）全部反面朝上的结果只有（反，反）1种，所以P（两次反面朝上）＝.
（3）一枚正面朝上，一枚反面朝上的结果有（正，反）与（反，正）两种，所以P（一正一反）＝＝.
【思考】“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
第一掷　　　第二掷　　　所有可能出现的结果
　正 正 （正，正）
　正 反 （正，反）
　反 正 （反，正）
　反 反 （反，反）
【归纳总结】随机事件“同时”与“先后”的关系：
“两个相同的随机事件同时发生”与“一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的.
上述这种求概率的方法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.
注意：直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.
（二）用列表法求概率
当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
问题2　同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两枚骰子的点数相同.
（2）两枚骰子的点数和是9.
（3）至少有一枚骰子的点数为2.
解：两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，可用下表列举出所有可能的结果.
第1枚 第2枚 1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现36种结果，并且它们出现的可能性相等.
（1）两枚骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6种，分别是（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P（A）＝＝.
（2）两枚骰子的点数之和为9（记为事件B）的结果有4种，分别是（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以P（B）＝＝.
（3）至少有一枚点数为2（记为事件C）的结果有11种，所以P（C）＝.
三、新知应用
例　6张卡片上分别写有1～6这6个整数，随机抽取一张后放回，再随机抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字的概率是多少？
解：列表得：
第1张 第2张 1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
由上表得，两次抽取卡片后，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等.
满足第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字（记为事件A）的结果有14个，则P（A）＝＝.
四、课堂小结
列举法
1.前提条件：可能出现的结果只有有限个，且试验中每种结果出现的可能性大小相等.
2.基本步骤：（1）列表；（2）确定m、n值代入概率公式计算.
3.适用对象：两个试验因素或分两步进行的试验.
五、课堂训练
1.有A，B两只不透明口袋，每只口袋里装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了“细”“致”的字样，B袋中的两只球上分别写了“信”“心”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“细心”字样的概率是（　B　）
A. B. C. D.
2.一个不透明的盒子里有3个分别标有5，6，7的小球，它们除数字外其他均相同.充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么这2个球上的数字之和为奇数的概率为　　.
3.一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都摸出红球的概率是多少？
解：利用表格列出所有可能的结果：
结果第二次第一次 白 红1 红2
白 （白，白） （白，红1） （白，红2）
红1 （红1，白） （红1，红1） （红1，红2）
红2 （红2，白） （红2，红1） （红2，红2）
∴P（两次都摸出红球）＝.
六、布置作业
　　教学过程中，强调在生活、学习中的很多方面均用到概率的知识，学习概率要从身边的现象开始.
第2课时　用画树状图法求概率
1.进一步理解等可能事件概率的意义.
2.能运用树状图计算简单事件的概率.（重点）
3.能通过试验丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题.（难点）
一、新课导入
问题　为了保证同学们营养均衡，食堂每天的饭菜都是荤素搭配的.今天食堂提供的有两荤三素，其中荤菜有鸡肉和牛肉，素菜有白菜、芹菜和油菜.
（1）如果只能选择1个荤菜和1个素菜，那么恰好选到牛肉和白菜的概率是多少？如何计算？
解：列表得：
荤菜 素菜 鸡肉 牛肉
白菜 （鸡肉，白菜） （牛肉，白菜）
芹菜 （鸡肉，芹菜） （牛肉，芹菜）
油菜 （鸡肉，油菜） （牛肉，油菜）
∴P（牛肉，白菜）＝.
（2）如果再加上主食：米饭和馒头，那我们该如何计算恰好选到鸡肉、油菜和米饭的概率呢？
二、新知探究
用画树状图法求概率
提示：当一次试验是分三步完成时，列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法.
（2）根据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，即（鸡肉，白菜，米饭），（鸡肉，白菜，馒头），（鸡肉，芹菜，米饭），（鸡肉，芹菜，馒头），（鸡肉，油菜，米饭），（鸡肉，油菜，馒头），（牛肉，白菜，米饭），（牛肉，白菜，馒头），（牛肉，芹菜，米饭），（牛肉，芹菜，馒头），（牛肉，油菜，米饭），（牛肉，油菜，馒头），且这些结果出现的可能性相等.其中，恰好选到鸡肉、油菜和米饭的结果有1种，即（鸡肉，油菜，米饭）.
∴P（鸡肉，油菜，米饭）＝.
【归纳总结】用画树状图法求概率的基本步骤：
（1）明确一次试验的几个步骤及顺序；
（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果；
（3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n；
（4）用概率公式进行计算.
三、新知应用
例1　甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C，D，E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机地取出一个小球.
（1）取出的三个小球上恰好有1个、2个、3个元音字母的概率是多少？
（2）取出的三个小球全是辅音字母的概率是多少？
解：根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，它们分别是：ACH，ACI，ADH，ADI，AEH，AEI，BCH，BCI，BDH，BDI，BEH，BEI，且这些结果出现的可能性相等.
（1）只有1个元音字母的结果有5种，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以P（1个元音）＝.
有2个元音字母的结果有4种，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以P（2个元音）＝＝.
有3个元音字母的只有1个，即AEI，所以P（3个元音）＝.
（2）三个小球全是辅音字母的只有2种，它们分别是BCH，BDH，所以P（3个辅音）＝＝.
例2　A，B，C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B或C中的某一人，以后每一次传球都是由上次的接球者随机地传给其他两人中的某一人.
（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率.
（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率.
解：根据题意，可画出树状图如图所示：
（1）通过两次传球后，有四种等可能的结果，即球分别在A，C，A，B手中，只有一种情况是球在B手中，所以P（两次传球后，球恰在B手中）＝.
（2）通过三次传球后，有8种等可能的结果，即球分别在B，C，A，B，B，C，A，C手中，球在A手中的情况出现了2次，所以P（三次传球后，球恰在A手中）＝＝.
例3　商店只有雪碧、可乐、果汁、酸奶四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同.
（1）若该同学去买一瓶饮料，则他买到酸奶的概率是　　.
（2）若该同学两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和酸奶的概率.
解：分别将雪碧、可乐、果汁、酸奶四种饮料记为A，B，C，D，根据题意，可画出如下树状图：
由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中只有2种符合要求，所以P（买到雪碧和酸奶）＝＝.
【归纳总结】
（1）当某个随机事件需要两步完成时，用列表法和树状图都可以.
（2）当某个随机事件需要3步或3步以上才能完成时，树状图是不错的选择.
（3）使用列举法求概率时，必须不重不漏.
四、课堂小结
树状图
五、课堂训练
1.某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（　C　）
A. B. C. D.
2.某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”“文学”“艺术”三类书籍中随机抽取一本，抽到同一类书籍的概率是　　.
3.某市为了解垃圾分类投放工作落实情况，在全市范围内对部分社区进行抽查，结果分为：A（优秀），B（良好），C（一般），D（较差）四个等级，现将抽查结果绘制成如图所示的统计图.（注：该市将垃圾分为干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾共四类）
（1）本次共抽查了　20　个社区，C（一般）所在扇形的圆心角度数是　36°　，并补全条形统计图.
解：补全条形统计图如图所示.
（2）若全市共有120个社区，请估计达到良好及以上的社区有多少个？
解：120×＝96（个）.
答：达到良好及以上的社区有96个.
（3）小明和他的妈妈将分好类的四种垃圾每人各提两袋去分类投放，请用树状图或列表法求小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是多少？
解：将干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾分别用E，F，G，H表示，根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的有2种，所以小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是＝.
六、布置作业
　　教学过程中，强调在面对多步完成的事件时，通常选择用画树状图法求概率.在求概率时，注意方法的选择.
25.3　用频率估计概率
1.理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律.（重点）
2.结合具体情境掌握如何用频率估计概率.（重点、难点）
3.结合生活实例，进一步理解频率与概率的区别和联系.
一、新课导入
1.抛掷一枚质地均匀的硬币，硬币落地后，会出现哪些可能的结果呢？
出现“正面朝上”和“反面朝上”两种情况.
2.它们的概率是多少呢？
都是.
3.在实际掷硬币时，会出现什么情况呢？
二、新知探究
【试验】掷硬币
（1）抛掷一枚质地均匀的硬币400次，每隔50次记录“正面朝上”的次数，并算出“正面朝上”的频率（结果保留两位小数），完成下表：
累计抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400
“正面朝上”的频数 23 46 78 102 123 150 175 200
“正面朝上”的频率 0.46 0.46 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 0.50
（2）根据上表的数据，在下图中画统计图表示“正面朝上”的频率.
（3）在统计图中，画出表示频率为的直线，你发现了什么？
试验次数越多频率越接近0.5，即频率稳定于概率.
（4）下表是历史上一些数学家所做的掷硬币的试验数据，这些数据支持你发现的规律吗？
试验者 抛掷次数n “正面向上”的次数m “正面向上”的频率
棣莫弗 2048 1061 0.5181
布　丰 4040 2048 0.5069
费　勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总是在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性.因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.
【归纳总结】一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P（A）＝p.
特别提醒：概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.比如在抛掷硬币的试验中，“正面向上”的概率是0.5，连续掷2次，结果不一定是“正面向上”和“反面向上”各一次.只是当n越来越大时，“正面向上”的频率越来越稳定于0.5.
问题1　某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？
由下表可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定.于是可以估计幼树移植成活的概率为　0.9　.
移植总数n 成活数m 成活的频率 （结果保留小数点后三位）
10 8 0.800
50 47 0.940
270 235 0.870
400 369 0.923
750 662 0.883
1500 1335 0.890
3500 3203 0.915
7000 6335 0.905
9000 8073 0.897
14000 12628 0.902
问题2　某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中.请你帮忙完成下表：
柑橘总质量n/千克 损坏柑橘质量m/千克 柑橘损坏的频率 （结果保留小数点后三位）
50 5.50 0.110
100 10.5 0.105
150 15.15 0.101
200 19.42 0.097
250 24.25 0.097
300 30.93 0.103
350 35.32 0.101
400 39.24 0.098
450 44.57 0.099
500 51.54 0.103
由上表可知：柑橘损坏率是　0.10　，完好率是　0.90　.
解：根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000（千克），完好柑橘的实际成本为＝≈2.22（元/千克）.
设每千克柑橘的定价为x元，则应有
（x－2.22）×9000＝5000，解得x≈2.8.
答：若公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，每千克大约定价为2.8元比较合适.
三、新知应用
例　某厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名、2000名、3000名、4000名、5000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制折线图如下：
（1）随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？
（2）你能估计调查到10000名同学时，红色的频率是多少吗？
（3）若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色的产量？
解：（1）随着调查次数的增加，红色的频率基本稳定在0.4左右.
（2）估计调查到10000名同学时，红色的频率大约仍是0.4左右.
（3）红、黄、绿、蓝及其他颜色的生产比例大约为4∶2∶2∶1∶1.
四、课堂小结
1.弄清了一种关系——频率与概率的关系.
当试验次数很多或试验时样本容量足够大时，一件事件发生的频率与相应的概率会非常接近.此时，我们可以用一件事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
2.了解了一种方法——用多次试验频率去估计概率.
3.体会了一种思想——用样本去估计总体，用频率去估计概率.
五、课堂训练
1.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同.小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（　A　）
A.5 B.10 C.12 D.15
2.在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”
“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率稳定在　　.
六、布置作业
　　学习统计概率时，学生在学习用频率估计概率时并不困难，但在感受用频率估计概率的必要性以及体会用频率估计概率所蕴含的基本思想，并自觉地运用到实际生活中时可能会觉得困难.所以，要发动学生积极参与，亲自动手，在实践中感悟.

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