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第二十二章　二次函数
22.1　二次函数的图象和性质
22.1.1　二次函数
1.理解并掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）
2.会列二次函数关系式解决实际问题.（难点）
一、新课导入
问题1　什么叫函数？
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
问题2　什么是一次函数？什么是正比例函数？
一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b＝0时，一次函数y＝kx就叫做正比例函数.
二、新知探究
问题1　正方体六个面是全等的正方形，若设正方体的棱长为x，表面积为y，则y关于x的关系式为　y＝6x2　.
此式表示了正方体的表面积y与正方体的棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
问题2　n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
【分析】每个球队要与其他　（n－1）　个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为　n　，即m＝n2－n.
此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数.
问题3　某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
【分析】这种产品的原产量是20t，一年后的产量是　20（1＋x）　t，再经过一年后的产量是　20（1＋x）2　t，即两年后的产量y＝　20（1＋x）2　，即y＝20x2＋40x＋20.
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
【思考】问题1，2，3中的函数关系式有什么共同点？
y＝6x2；
m＝n2－n；
y＝20x2＋40x＋20.
【归纳总结】二次函数的定义：
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
【归纳总结】注意：
①等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
②a，b，c为常数，且a≠0；
③等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
三、新知应用
例1　下列函数中哪些是二次函数？是的打“√”，不是的说明理由.（x是自变量）
①y＝ax2＋bx＋c； ②y＝1－2x2； ③y＝x2；
不一定是，缺少
a≠0的条件. √ √
④y＝； ⑤y＝－x2＋3x3＋11；
不是，右边是分式. 不是，x的最高次数是3.
⑥y＝（x－2）2－x2.
不是，化简后x的最高次数是1.
【归纳总结】
1.判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断；
2.二次函数除有一般形式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）外，还有其他特殊形式，如y＝ax2，y＝ax2＋bx，y＝ax2＋c等（a均不等于0）.
例2　y＝.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2）m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（1）由题可知
解得m＝±2.
（2）由题可知解得m＝3.
例3　某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元.每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.
（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y与x的函数关系式；
（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次.
解：（1）∵第1档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件，
∴第x档次，提高了（x－1）档，每件利润增加了2（x－1）元，一天产量减少了5（x－1）件.
∴y＝[6＋2（x－1）][95－5（x－1）]，
即y＝－10x2＋180x＋400（其中x为正整数，且1≤x≤10）.
（2）由题意可得－10x2＋180x＋400＝1120，
整理，得x2－18x＋72＝0.
解得x1＝6，x2＝12（不合题意，舍去）.
答：该产品的质量档次为第6档.
四、课堂小结
二次函数
五、课堂训练
1.下列函数是二次函数的是（　C　）
A. y＝2x＋1 B. y＝
C. y＝3x2＋1 D. y＝＋1
2.若函数y＝（m＋1）＋（m－3）x＋4是二次函数，那么m的取值范围是什么？
解：由题意，得
∴m的取值范围是m＝3.
六、布置作业
　　教学过程中，强调判断一个函数为二次函数的三个条件，可对比已学过的一次函数，进一步巩固函数的有关知识.
22.1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）
2.会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，概括出图象的特点.（难点）
3.掌握形如y＝ax2的二次函数图象的性质，并会应用.（难点）
一、新课导入
问题1　二次函数的定义？
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.
问题2　一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状？如何画一个二次函数的图象？
二、新知探究
（一）二次函数y＝ax2的图象
先画二次函数y＝x2的图象.
1.列表：在y＝x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2.描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点（x，y）.
3.连线：如图，用平滑曲线顺次连接各点，就得到y＝x2的图象.
二次函数y＝x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y＝x2.
再画出函数y＝－x2的图象.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝－x2 … －9 －4 －1 0 －1 －4 －9 …
（二）二次函数y＝ax2的性质
【讨论交流】
1.利用你前面学习的函数图象的性质，说说二次函数y＝x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
【归纳总结】
（1）y＝x2是一条抛物线；
（2）图象开口向上；
（3）图象关于y轴对称；
（4）顶点（0，0）；
（5）图象有最低点.
【讨论交流】
2.说说二次函数y＝－x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
【归纳总结】
（1）y＝－x2是一条抛物线；
（2）图象开口向下；
（3）图象关于y轴对称；
（4）顶点（0，0）；
（5）图象有最高点.
【归纳总结】二次函数y＝ax2的图象性质：
（1）y＝ax2是一条抛物线；
（2）顶点是原点；
（3）图象关于y轴对称；
（4）当a＞0时，开口向上；
（5）当a＜0时，开口向下.
【深入思考】观察下列图象，抛物线y＝ax2（a＞0）与y＝－ax2（a＞0）的关系是什么？
问题1　观察图形，y随x的变化如何变化？
【归纳总结】
对于抛物线y＝ax2（a＞0），
当x＞0时，y随x的增大而增大；
当x＜0时，y随x的增大而减小.
问题2　观察图形，y随x的变化如何变化？
【归纳总结】
对于抛物线y＝ax2（a＜0），
当x＞0时，y随x的增大而减小；
当x＜0时，y随x的增大而增大.
三、新知应用
例1　在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝2x2的图象.
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
x … －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 …
y＝2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
【思考】二次函数y＝x2，y＝x2，y＝2x2开口大小与a的大小有什么关系？
当a＞0时，a越大，开口越小.
【思考】在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2，y＝－2x2的图象.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝－x2 … －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 …
x … －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 …
y＝－2x2 … －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 …
【思考】二次函数y＝－x2，y＝－x2，y＝－2x2开口大小与a的大小有什么关系？
当a＜0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.
【归纳总结】抛物线y＝ax2（a≠0）的形状是由｜a｜来确定的，一般说来，｜a｜越大，抛物线的开口就越小；｜a｜越小，抛物线的开口就越大.
例2　已知y＝（m＋1）是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式.
解：依题意，得
解②，得m1＝－2，m2＝1；由①，得m＞－1.
∴m＝1.此时，二次函数解析式为y＝2x2.
例3　已知二次函数y＝x2.
（1）点A（2，4）在二次函数y＝x2的图象上吗？
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标.
解：（1）当x＝2时，y＝x2＝4，所以点A（2，4）在二次函数y＝x2的图象上.
（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，－4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（－2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（－2，－4）.
四、课堂小结
二次函数y＝ax2的图象和性质
y＝ax2（a≠0） a＞0 a＜0
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （0，0） （0，0）
对称轴 y轴 y轴
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
最值 当x＝0时，y最小值＝0 当x＝0时，y最大值＝0
抛物线y＝ax2（a≠0）的形状是由｜a｜来确定的，一般来说，｜a｜越大，抛物线的开口就越小；｜a｜越小，抛物线的开口就越大.
五、课堂训练
1.已知y＝（k＋2）是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，则k＝　2　.
2.若抛物线y＝ax2（a≠0）过点（－1，2），
（1）a的值是　2　，对称轴是　y轴　，开口　向上　.
（2）顶点坐标是　（0，0）　，顶点是抛物线上的最　小　值，抛物线在x轴的　上　方（除顶点外）.
（3）若点A（x1，y1），B（x2，y2）在这条抛物线上，且x1＜x2＜0，则y1　＞　y2.
【拓展提高】
3.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A，B两点，求出A，B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积.
解：由题意，得
解得或
∴此两函数的交点坐标为
A（4，16）和B（－1，1）.∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C（0，4）.∴CO＝4.
∴S△ACO＝×4×4＝8，S△BOC＝×4×1＝2.
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
∴两交点与原点所围成的三角形的面积为10.
六、布置作业
　　教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2的图象与性质，体会数学建模和数形结合的思想方法.
22.1.3　二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1.会画二次函数y＝ax2＋k的图象.（重点）
2.掌握二次函数y＝ax2＋k的性质并会应用.（难点）
3.理解y＝ax2与y＝ax2＋k之间的联系.（难点）
一、新课导入
二次函数y＝ax2的图象和性质
y＝ax2（a≠0） a＞0 a＜0
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （0，0） （0，0）
对称轴 y轴 y轴
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
最值 当x＝0时，y最小值＝0 当x＝0时，y最大值＝0
抛物线y＝ax2（a≠0）的形状是由｜a｜来确定的，一般说来，｜a｜越大，抛物线的开口就越小；｜a｜越小，抛物线的开口就越大
二、新知探究
（一）二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
在同一直角坐标系中画出二次函数y＝2x2，y＝2x2＋1，y＝2x2－1的图象.
解：先列表，再描点画出它们的图象，如图.
x … －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 …
y＝2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y＝2x2＋1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
y＝2x2－1 … 3.5 1 －0.5 －1 －0.5 1 3.5 …
【思考】
（1）抛物线y＝2x2＋1，y＝2x2－1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
（2）抛物线y＝2x2＋1，y＝2x2－1与抛物线y＝2x2有什么关系？
（1）
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝2x2 向上 y轴 （0，0）
y＝2x2＋1 向上 y轴 （0，1）
y＝2x2－1 向上 y轴 （0，－1）
（2）把抛物线y＝2x2向上平移1个单位长度，就得到抛物线y＝2x2＋1；
把抛物线y＝2x2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y＝2x2－1.
【归纳总结】
把抛物线y＝ax2向上平移k个单位长度，就得到抛物线y＝ax2＋k；
把抛物线y＝ax2向下平移k个单位长度，就得到抛物线y＝ax2－k.
（二）抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的联系与区别
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：y＝－0.5x2，y＝－0.5x2＋2，y＝－0.5x2－2.
1.观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点.
2.你能说出抛物线y＝－0.5x2＋k的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线y＝－0.5x2有什么关系？
【深入思考】结合下列图象，思考：抛物线y＝ax2＋k中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
【归纳总结】一般地，抛物线y＝ax2＋k有如下性质：
1.当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下.
2.对称轴是y轴.
3.顶点坐标是（0，k）.
4.｜a｜越大开口越小，反之开口越大.
【归纳总结】二次函数y＝ax2＋k（a≠0）的性质
y＝ax2＋k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴 y轴
顶点坐标 （0，k） （0，k）
最值 当x＝0时，y最小值＝k 当x＝0时，y最大值＝k
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大
三、新知应用
例　如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A，B两点，若P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求点P的坐标.
解：对于抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（2，0）.
∴AB＝4.∵S△PAB＝4，设点P的纵坐标为b，∴×4｜b｜＝4.∴｜b｜＝2，即b＝2或－2.
当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±，此时点P的坐标为（，2），（－，2）；
当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±，此时点P的坐标为（，－2），（－，－2）.
四、课堂小结
二次函数 y＝ax2＋k 的图象和性质
五、课堂训练
1.二次函数y＝－5x2－4的图象是将（　D　）
A.抛物线y＝－5x2向左平移4个单位长度得到
B.抛物线y＝－5x2向右平移4个单位长度得到
C.抛物线y＝－5x2向上平移4个单位长度得到
D.抛物线y＝－5x2向下平移4个单位长度得到
2.不画函数图象回答下面的问题：
（1）抛物线y＝－x2＋1经过怎样的平移才能得到抛物线y＝－x2.
解：向下平移1个单位长度.
（2）函数y＝－x2＋1，当x　＞0　时，y随x的增大而减小；当x　＝0　时，函数y有最大值，最大值y是　1　，其图象与y轴的交点坐标是　（0，1）　，与x轴的交点坐标是　（－1，0），（1，0）　.
（3）试说出抛物线y＝x2－3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解：开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，－3）.
【拓展提高】
3.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为（　D　）
A. B.
C. D.
六、布置作业
　　教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性质，体会抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的联系与区别.
第2课时　二次函数y＝a（x－h）2的图象和性质
1.会画二次函数y＝a（x－h）2的图象.（重点）
2.掌握二次函数y＝a（x－h）2的性质并会应用.（难点）
3.理解y＝ax2与y＝a（x－h）2之间的联系.（难点）
一、新课导入
1.说说二次函数y＝ax2＋k（a≠0）的图象和性质.
（1）当a＞0时，
①图象：
（k＞0） （k＜0）
②开口方向：向上.
③对称轴：y轴.
④顶点坐标：（0， k）.
⑤函数的增减性：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
⑥最值：当x＝0时，y最小值＝k.
（2）当a＜0时，
①图象：
（k＞0） （k＜0）
②开口方向：向下.
③对称轴：y轴.
④顶点坐标：（0， k）.
⑤函数的增减性：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
⑥最值：当x＝0时，y最大值＝k.
2.二次函数y＝ax2＋k（a≠0）与y＝ax2（a≠0）的图象有何关系？
二次函数y＝ax2＋k（a≠0）的图象可以由y＝ax2（a≠0）的图象平移得到：
当k＞0时，向上平移k个单位长度得到；
当k＜0时，向下平移－k个单位长度得到.
3.二次函数y＝－（x＋1）2，y＝－（x－1）2的图象，是否也可以由二次函数y＝－x2平移得到？
二、新知探究
（一）二次函数y＝a（x－h）2的图象和性质
【探究】画出二次函数y＝－（x＋1）2，y＝－（x－1）2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
解：先列表，然后描点画出图象如图.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝－（x＋1）2 … －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 …
y＝－（x－1）2 … －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 …
可以看出，抛物线y＝－（x＋1）2的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，把它记作x＝－1，顶点是（－1，0）；
抛物线y＝－（x－1）2的开口向下，对称轴是x＝1，顶点是（1，0）.
【归纳总结】二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的性质
y＝a（x－h）2 a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x＝h 直线x＝h
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x＝h时，y最小值＝0 当x＝h时，y最大值＝0
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小
（二）二次函数y＝ax2与y＝a（x－h）2的关系
【思考】抛物线y＝－，y＝－与抛物线y＝－x2有什么关系？
y＝－（x＋1）2y＝－x2y＝－（x－1）2
【练习】在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：y＝x2，y＝（x＋2）2，y＝（x－2）2.
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
y＝（x＋2）2y＝x2y＝（x－2）2
【归纳总结】二次函数y＝a（x－h）2的图象与y＝a的图象的关系：
可以由互相平移得到.
y＝ax2
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.
三、新知应用
例　抛物线y＝ax2向右平移3个单位长度后经过点（－1，4），求a的值和平移后的函数关系式.
解：由题意，得二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位长度后的二次函数关系式可表示为y＝a（x－3）2.
把（－1，4）代入，得4＝a（－1－3）2.解得a＝.
∴平移后的函数关系式为y＝（x－3）2.
四、课堂小结
二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图象和性质：
（1）当a＞0时，
①图象：
（h＞0） （h＜0）
②开口方向：向上.
③顶点坐标：（h，0）.
④对称轴：直线x＝h.
⑤增减性：当x ＜h时，y随x的增大而减小；当x ＞h时，y随x的增大而增大.
⑥最值：当x＝h时，y最小值＝0.
（2）当a＜0时，
①图象：
（h＞0） （h＜0）
②开口方向：向下.
③顶点坐标：（h，0）.
④对称轴：直线x＝h.
⑤增减性：当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小.
⑥最值：当x＝h时，y最大值＝0.
五、课堂训练
1.将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2（x＋1）2的图象，平移的方法是（　C　）
A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位
C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位
2.若，，为二次函数y＝（x－2）2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为　y1＞y2＞y3　.
【拓展提高】
3.将抛物线y＝2x2沿x轴平移，使得它与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.若△ABO的面积为8，求平移后的抛物线的解析式.
解：y＝2（x＋2）2或y＝2（x－2）2.
六、布置作业
　　教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质，体会数学建模和数形结合的思想方法.
第3课时　二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
1.会画二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图象.（重点）
2.掌握二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）图象的性质，会灵活应用其性质.（难点）
3.理解二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）与y＝ax2之间的联系.（难点）
一、新课导入
说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减变化情况：
（1）y＝ax2；
（2）y＝ax2＋k；
（3）y＝a（x－h）2.
二、新知探究
（一）二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
画出函数y＝－（x＋1）2－1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
解：先列表，再描点、连线，画出图象如图.
x … －3 －2 －1 0 1 …
y＝－（x＋1）2－1 … －3 －1.5 －1 －1.5 －3 …
开口方向：向下；
对称轴：直线x＝－1；
顶点坐标：（－1，－1）.
【思考】试一试画出函数y＝2（x＋1）2－2的图象，并说出它的开口方向、对称轴和顶点.
开口方向：向上；
对称轴：直线x＝－1；
顶点坐标：（－1，－2）.
【归纳总结】二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的性质
y＝a（x－h）2＋k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x＝h 直线x＝h
顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当x＝h时，y最小值＝k 当x＝h时，y最大值＝k
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小
（二）二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）与y＝ax2之间的联系
【思考】怎样移动抛物线y＝－x2就可以得到抛物线y＝－（x＋1）2－1？
平移方法1
平移方法2
【交流讨论】二次函数y＝a（x－h）2＋k与y＝a的关系：
可以由互相平移得到.
温馨提示：
1.上下平移，括号外上加下减.
2.左右平移，括号内左加右减.
3.二次项系数a不变.
概括为：左加右减，上加下减.
【归纳总结】一般地，抛物线y＝a＋k与y＝ax2大小　相同　，位置不同，把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）　平移　，可以得到抛物线　y＝a（x－h）2＋k　.平移的方向、距离要根据　h，k　的值来决定.
抛物线y＝a＋k有如下特点：
（1）当a＞0时，开口　向上　；当a＜0时，开口　向下　；
（2）对称轴是直线　x＝h　；
（3）顶点坐标是　（h，k）　.
【归纳总结】二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
y＝a（x－h）2＋k a＞0 a＜0
函数 图象 h＞0
h＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x＝h 直线x＝h
顶点坐标 （h，k） （h，k）
函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小
最值 当x＝h时，y最小值＝k 当x＝h时，y最大值＝k
三、新知应用
例1　已知二次函数y＝a（x－1）2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是（　A　）
A. B.
C. D.
例2　要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
解：如图建立直角坐标系.点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是y＝a（x－1）2＋3（0≤x≤3）.
由这段抛物线经过点（3，0），可得0＝a（3－1）2＋3.
解得a＝－.
因此y＝－（x－1）2＋3（0≤x≤3）.
当x＝0时，y＝2.25.
答：水管应2.25m长.
四、课堂小结
二次函数
y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
五、课堂训练
1.抛物线y＝－3（x＋2）2－4的顶点坐标是　（－2，－4）　，当x　≤－2　时，函数值y随x的增大而增大.
2.若抛物线的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），则这条抛物线与x轴的另一个交点为　（－3，0）　.
3.如果一条抛物线的大小与y＝－x2＋2的大小相同，且顶点坐标是（4，－2），试求这个函数关系式.
解：这个函数关系式为y＝－（x－4）2－2.
六、布置作业
　　教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质，体会数学建模和数形结合的思想方法.
22.1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第1课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y＝a（x－h）2＋k.（难点）
2.能够熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）
一、新课导入
二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质
y＝a（x－h）2＋k a＞0 a＜0
函数 图象 h＞0
h＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x＝h 直线x＝h
顶点坐标 （h，k） （h，k）
函数的增减性当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大
最值当x＝h时，y最大值＝k 当x＝h时，y最小值＝k
【思考】我们已经知道y＝a（x－h）2＋k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数y＝x2－6x＋21的图象和性质？
二、新知探究
【思考】怎样将y＝x2－6x＋21化成y＝a（x－h）2＋k的形式？
配方可得y＝x2－6x＋21
　　　　 ＝（x2－12x＋42）
　　　　 ＝（x2－12x＋62－62＋42）
　　　　 ＝[（x－6）2＋6]
　　　　 ＝（x－6）2＋3.
y＝x2－6x＋21你知道是怎样配方的吗？
　　　
y＝（x－6）2＋3
【思考】你能说出y＝（x－6）2＋3的对称轴及顶点坐标吗？
对称轴是直线x＝6，顶点坐标是（6，3）.
【思考】二次函数y＝（x－6）2＋3可以看作是由y＝x2怎样平移得到的？
平移方法1：
先向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的.
【思考】如何画二次函数y＝x2－6x＋21的图象？
列表：利用图象的对称性，选取适当值列表计算.
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
y＝x2－6x＋21 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
然后描点画图，得到图象如下图.
【思考】结合二次函数y＝x2－6x＋21的图象，说说其性质.
对称轴左侧，抛物线从左到右下降；
对称轴右侧，抛物线从左到右上升.
当x＜6时，y随x的增大而减小；
当x＞6时，y随x的增大而增大；
当x＝6时，y取最小值，最小值为3.
【探究】画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质.
解：函数y＝－x2＋x－通过配方可得y＝－（x－1）2－2.
先列表：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －6.5 －4 －2.5 －2 －2.5 －4 －6.5 …
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2.
【思考】我们如何用配方法将一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a（x－h）2＋k的形式？
y＝ax2＋bx＋c＝a＋c
＝a－＋c
＝a＋.
【归纳总结】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质：一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c可以通过配方化成y＝a（x－h）2＋k的形式，即
y＝ax2＋bx＋c＝a＋.
因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－，顶点是.
如果a＞0，当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大.
如果a＜0，当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小.
【思考】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1　＞　0　a2　＞　0
b1　＞　0　b2　＜　0
c1　＞　0　c2　＝　0
a3　＜　0　a4　＜　0
b3　＝　0　b4　＞　0
c3　＞　0　c4　＜　0
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与a，b，c的关系
字母符号 图象的特征
a＞0 开口　向上　
a＜0 开口　向下　
b＝0 对称轴为　y　轴
a，b同号 对称轴在y轴的　左　侧
a，b异号 对称轴在y轴的　右　侧
c＝0 经过原点
c＞0 与y轴交于　正　半轴
c＜0 与y轴交于　负　半轴
三、新知应用
例1　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④（a＋c）2＜b2.其中正确的个数是（　D　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x＞－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上x＝1的点在第四象限可得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限可得a－b＋c＞0，则（a＋b＋c）（a－b＋c）＜0，即（a＋c）2－b2＜0，可得（a＋c）2＜b2，故④正确.
例2　如图，二次函数y＝ax2－bx＋2的大致图象如图所示，则函数y＝－ax＋b的图象不经过（　A　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
四、课堂小结
一次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a＞0） y＝ax2＋bx＋c（a＜0）
顶点坐标
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
位置 由a，b和c的符号确定 由a，b和c的符号确定
开口方向 向上 向下
增减性 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，最小值为 当x＝－时，最大值为
五、课堂训练
填空：二次函数y＝－2x2－4x＋1的图象和性质：
①将函数y＝－2x2－4x＋1化成y＝a（x－h）2＋k的形式是　y＝－2（x＋1）2＋3　；
②抛物线的开口方向是　向下　，顶点坐标是　（－1，3）　，对称轴是直线　x＝－1　；
③当x＝　－1　时，函数取得最大值为　3　；
④当x　＞－1　时，y随x的增大而减小，当x　＜－1　时，y随x的增大而增大；
⑤抛物线y＝－2x2－4x＋1可由抛物线y＝－2x2　向左　平移　1　个单位长度，再　向上　平移　3　个单位长度得到.（或向上　3　向左　1）
六、布置作业
　　通过本节课的学习，培养学生的归纳及概括问题的能力，使学生将知识进行系统化梳理，起到提升能力，内化认知结构的作用.
第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式
1.会用待定系数法求二次函数的解析式.（难点）
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）
一、新课导入
1.一次函数y＝kx＋b（k≠0）中有几个待定系数？通常需要几个直线上的点的坐标求出它的解析式？
2个.2个.
2.求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
待定系数法 （1）设：（解析式） （2）代：（坐标代入） （3）解：[方程（组）] （4）还原：（写解析式）
【思考】二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个.3个.
二、新知探究
问题1　已知一个二次函数的图象经过（－3，0），（－1，0），（0，－3）三点，求此二次函数的解析式.
解：设此二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
把（－3，0），（－1，0），（0，－3）代入y＝ax2＋bx＋c，
得解得
∴此二次函数的解析式为y＝－x2－4x－3.
问题2　已知二次函数的图象经过点A（3，0），B（2，－3），C（0，－3），求此二次函数的解析式.
解：设此二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
由题意，得解得
∴此二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
【归纳总结】一般式法求二次函数解析式的步骤：
①设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a，b，c的值；
④把待定系数用数值换掉，写出函数解析式.
问题3　已知抛物线的顶点坐标为M（1，－2），且经过N（2，3），求此二次函数的解析式.
【分析】因为抛物线的顶点坐标为M（1，－2），所以设此二次函数的解析式为y＝a（x－1）2－2，把N（2，3）代入解析式解答.
解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，－2），
设此二次函数的解析式为y＝a（x－1）2－2.
把N（2，3）代入解析式，得a－2＝3，即a＝5.
∴此二次函数的解析式为y＝5（x－1）2－2＝5x2－10x＋3.
问题4　已知一个二次函数的图象经点（0，1），它的顶点坐标为（8，9），求这个二次函数的解析式.
解：已知这个二次函数的图象的顶点坐标为（8，9），设这个二次函数的解析式为y＝a（x－8）2＋9.
又它的图象经过点（0，1），可得1＝a（0－8）2＋9.
解得a＝－.∴这个二次函数的解析式为y＝－（x－8）2＋9＝－x2＋2x＋1.
【归纳总结】顶点式法求二次函数解析式的步骤：
①设函数解析式为y＝a（x－h）2＋k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a的值；
④把a用数值换掉，写出函数解析式.
若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单.
问题5　已知抛物线经过三点A（1，0），B（0，－3），C（3，0），求此抛物线的解析式.
【分析】可设交点式y＝a（x－1）（x－3），然后把点B的坐标代入求出a即可.
解：由题意，得抛物线与x轴交于A（1，0），C（3，0）两点.设此抛物线的解析式为y＝a（x－1）（x－3）.
把B（0，－3）代入，得a（－1）×（－3）＝－3，解得a＝－1.∴此抛物线的解析式为y＝－（x－1）（x－3）＝－x2＋4x－3.
【归纳总结】交点式法求二次函数解析式的步骤：
①设函数解析式为y＝a（x－x1）（x－x2）；
②先把两交点的横坐标x1，x2代入到解析式中，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a的值；
④把a用数值换掉，写出函数解析式.
已知抛物线与x轴的两个交点，则采用交点式求解简单.
三、新知应用
例　已知抛物线与x轴相交于点A（－1，0），B（1，0），且过点M（0，1），求此抛物线的解析式.
解：∵点A（－1，0），B（1，0）是图象与x轴的交点，
∴设此抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－1）.
又抛物线过点M（0，1），可得1＝a（0＋1）（0－1），解得a＝－1.∴此抛物线的解析式为y＝－（x＋1）·（x－1），即y＝－x2＋1.
四、课堂小结
用待定系数法求二次函数的解析式
解析式类型 字母解析式 适用情况
一般式 y＝ax2＋bx＋c 已知图象上任意三个点的坐标
顶点式 y＝a（x－h）2＋k 已知顶点坐标为（h，k），又知另一点的坐标
交点式 y＝a（x－x1）（x－x2） 已知图象与x轴的两个交点（x1，0）（x2，0），又知另一个点的坐标
五、课堂训练
如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A（－4，－3），与y轴交于点B，对称轴是直线x＝－3，请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积.
解：（1）把A（－4，－3）代入y＝x2＋bx＋c，得－3＝16－4b＋c，即c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴－＝－3.∴b＝6.∴c＝5.
∴抛物线的解析式是y＝x2＋6x＋5.
（2）∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称.
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7.
∴点C的纵坐标为（－7）2＋6×（－7）＋5＝12.
又点B的坐标为（0，5），
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7.
∴△BCD的面积为×8×7＝28.
六、布置作业
　　求函数解析式是初中数学的主要内容之一，求二次函数的解析式也是联系高中数学的重要纽带.求函数的解析式时，应恰当地选用函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐.
22.2　二次函数与一元二次方程
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程（不等式）之间的联系.（难点）
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.（重点）
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
一、新课导入
以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系.如果我们从二次函数的角度看一元二次方程，那么二次函数与一元二次方程又有什么关系呢？先来看下面的问题.
二、新知探究
问题　如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t－5t2.考虑以下问题：
（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
解：解方程15＝20t－5t2，
整理，得t2－4t＋3＝0.
解得t1＝1，t2＝3.
∴当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.
（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
解：解方程20＝20t－5t2，
整理，得t2－4t＋4＝0.
解得t1＝t2＝2.
∴当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
解：解方程20.5＝20t－5t2，
整理，得t2－4t＋4.1＝0.
∵（－4）2－4×4.1＜0，
∴方程无实数根.
∴小球的飞行高度达不到20.5m.
（4）小球从飞出到落地要用多少时间？
解：小球飞出时和落地时的高度都为0m，解方程0＝20t－5t2，
整理，得t2－4t＝0.解得t1＝0，t2＝4.
∴当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m.
∴小球从飞出到落地要用4s.
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切.例如，已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0）.反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4x＋3的值为0，求自变量x的值.
一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.又可以看作已知二次函数的值为0，求自变量x的值.
【思考】下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y＝x2＋x－2；
（2）y＝x2－6x＋9；
（3）y＝x2－x＋1.
观察图象，完成下表：
抛物线与x轴公共点的个数 公共点的 横坐标 相应的一元二次方程的根
y＝x2＋x－2 2个 －2，1 x2＋x－2＝0，x1＝－2，x2＝1
y＝x2－6x＋9 1个 3 x2－6x＋9＝0，x1＝x2＝3
y＝x2－x＋1 0个 x2－x＋1＝0，无实数根
【归纳总结】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的关系：
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 b2－4ac
有两个交点 有两个不相等的实数根 b2－4ac＞0
有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2－4ac＝0
没有交点 没有实数根 b2－4ac＜0
三、新知应用
例1　已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.求证：不论a取何值，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点.
证明：∵a2－4（a－2）＝（a－2）2＋4＞0，
∴不论a取何值，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点.
例2　求一元二次方程x2－2x－1＝0的根的近似值（精确到0.1）.
【分析】一元二次方程x2－2x－1＝0的根就是抛物线y＝x2－2x－1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.
解：画出函数y＝x2－2x－1的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在－1与0之间，另一个在2与3之间.
先求位于－1与0之间的根，由图象可估计这个根是－0.4或－0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x … －0.4 －0.5 …
y … －0.04 0.25 …
观察上表可以发现，当x分别取－0.4和－0.5时，对应的y由负变正，可见在－0.5与－0.4之间肯定有一个x使y＝0，即有y＝x2－2x－1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x＝－0.4或x＝－0.5都符合要求.但当x＝－0.4时更为接近0，故x1≈－0.4.
同理可得另一近似值为x2≈2.4.
例3　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为（　B　）
A. x1≈－2.1，x2≈0.1 B. x1≈－2.5，x2≈0.5
C. x1≈－2.9，x2≈0.9 D. x1≈－3，x2≈1
注意：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确.
四、课堂小结
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根 x1，x2 x1＝x2＝－ 没有实数根
不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 x＜x1或x＞x2 x≠x1的一切实数 所有实数
不等式ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 x1＜x＜x2 无解 无解
五、课堂训练
1.如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线y＝－x2＋x＋运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
解：（1）由抛物线的解析式，得2.1＝－x2＋x＋.整理，得x2－6x＋5＝0.
解得x1＝1，x2＝5.
∴当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.
（2）能.由抛物线的解析式，得2.5＝－x2＋x＋.整理，得x2－6x＋9＝0.解得x1＝x2＝3.
∴铅球离地面的高度能达到2.5m，它离初始位置的水平距离是3m.
（3）不能.由抛物线的解析式，得3＝－x2＋x＋.
整理，得x2－6x＋14＝0.
∵Δ＝（－6）2－4×1×14＜0，
∴方程无实数根.
∴铅球离地面的高度不能达到3m.
【拓展提高】
2.函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，那么：
方程ax2＋bx＋c＝0的根是　x1＝－1，x2＝3　；
不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是　x＜－1或x＞3　；
不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是　－1＜x＜3　.
六、布置作业
　　本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数的函数值为零时就变成了一元二次方程，或者说一元二次方程只是二次函数的一种特殊形式，课堂上通过实践问题建立起二次函数与一元二次方程的联系，让学生感受函数图象和方程思想，从而完成本节课的授课内容.
22.3　实际问题与二次函数
第1课时　二次函数与图形面积问题
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）
一、新课导入
1.抛物线y＝－（x＋1）2＋2中，当x＝　－1　时，y有　最大　值是　2　.
2.抛物线y＝x2－2x＋3中，当x＝　1　时，y有　最小　值是　2　.
3.抛物线y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－时，y有最小（大）值是　　.
二、新知探究
问题1　从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2（0≤t≤6）.小球运动中的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
解：可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
因此，当t＝－＝－＝3时，
h有最大值＝＝45.
也就是说，小球运动的时间是3s时，小球最高.小球运动中的最大高度是45m.
问题2　用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
解：根据题意，得S＝l（30－l），
即S＝－l2＋30l（0＜l＜30）.
因此，当l＝－＝－＝15时，S有最大值＝＝225.也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
【练习】如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设垂直于墙的边长为xm，面积为Sm2.
由题意，得S＝x（60－2x）＝－2x2＋60x.
又0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
∴最值在其顶点处.当x＝－＝15时，S＝－2×152＋60×15＝450（m2）.
此时，60－2x＝60－2×15＝30.
∴这个矩形的长为30m，宽为15m时，菜园的面积最大，最大面积是450m2.
三、新知应用
例1　用长为6m的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金材料的宽度不计）
解：设窗框的宽为xm，则高为m.这里应有x＞0，且＞0.∴0＜x＜2.
矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式为y＝x·，
即y＝－x2＋3x.
配方，得y＝－（x－1）2＋.
∴当x＝1时，y取得最大值，最大值y＝1.5.
x＝1满足0＜x＜2，此时＝1.5.
∴窗框的高为1.5m、宽为1m时，它的透光面积最大，最大透光面积是1.5m2.
例2　如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长30m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设这个矩形与墙平行的一边长为xm，菜园的面积为Sm2，则S＝·x＝－x2＋30x＝－（x－30）2＋450.
∴当x＝30时，S有最大值，最大值是450.
∵x＝30满足0＜x≤30，此时＝15.
∴这个矩形的长为30m，宽为15m时，菜园的面积最大，最大面积是450m2.
【归纳总结】二次函数解决几何面积最值问题的方法：
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.
四、课堂小结
二次函 数与图 形面积
五、课堂训练
1.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么经过　3　秒，四边形APQC的面积最小.
2.某小区在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住.设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym2.
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？
解：（1）由题意，得y＝x·＝－x2＋20x.其中0＜x≤25.
（2）∵y＝－x2＋20x＝－（x－20）2＋200，
0＜x≤25，∴当x＝20时，满足条件的绿化带的面积最大，最大为200m2.
六、布置作业
　　教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题的过程，并利用函数的性质进行决策.
第2课时　二次函数与最大利润问题
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点）
一、新课导入
（1）营销问题的基本等量关系：
总利润＝每件利润×销售量；
每件利润＝每件售价－每件进价.
（2）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的最值问题：
①若a＞0，则当x＝－时，y最小值＝；
②若a＜0，则当x＝－时，y最大值＝.
二、新知探究
问题　某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
【探究1】涨价销售
①设每件商品涨价x元，每星期售出商品的利润是y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售 20 300 6000
涨价销售 20＋x 300－10x y＝（20＋x）· （300－10x）
建立函数关系式：　y＝（20＋x）（300－10x）　，即　y＝－10x2＋100x＋6000　.
②自变量x的取值范围如何确定？
【分析】营销规律是价格上涨，销售量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300－10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
【分析】y＝－10x2＋100x＋6000，
当x＝－＝5时，y＝－10×52＋100×5＋6000＝6250.
故涨价5元时，利润最大，最大利润是6250元.
【探究2】降价销售
①设每件商品降价x元，每星期售出商品的利润是y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售 20 300 6000
降价销售 20－x 300＋20x y＝（20－x）·（300＋20x）
建立函数关系式：　y＝（20－x）（300＋20x）　，即　y＝－20x2＋100x＋6000　.
②自变量x的取值范围如何确定？
【分析】营销规律是价格下降，销售量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20－x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤20.
③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
【分析】y＝－20x2＋100x＋6000，当x＝－＝2.5时，y＝－20×2.52＋100×2.5＋6000＝6125.故降价2.5元时，利润最大，最大利润是6125元.
【归纳总结】求解最大利润问题的一般步骤：
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝单件利润×销售量”.
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围.
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
三、新知应用
例　某商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为
P＝
且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如下表：
时间t（天） 1 3 6 10 20 …
日销售量y（kg） 118 114 108 100 80 …
（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象.现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围.
解：（1）依题意，设y＝kt＋b，将（10，100），（20，80）代入y＝kt＋b，得解得
∴日销售量y（kg）与时间t（天）的关系式为y＝－2t＋120.
∴当t＝30时，y＝－2×30＋120＝60.
∴在第30天的日销售量是60千克.
（2）设日销售利润为W元，则W＝（p－20）y.
当1≤t≤24时，W＝（－2t＋120）＝－（t－10）2＋1250，∴当t＝10时，W最大＝1250；
当25≤t≤48时，W＝（－2t＋120）＝（t－58）2－4，∴当t＝25时，W最大＝1085.
∵1250＞1085，∴第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元.
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元，
依题意，得m＝（－2t＋120）＝－t2＋（2n＋10）t＋1200－120n.
∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，
∴－≥24，即n≥7.
又n＜9，∴n的取值范围为7≤n＜9.
四、课堂小结
二次函 数与最 大利润 问题
五、课堂训练
1.小红的爸爸是个服装店老板，将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售（200－x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　A　）
A.150元 B.160元 C.170元 D.180元
2.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30）出售，可卖出（30－x）件，若要使利润最大，则每件售价应定为　25　元.
3.进价为80元的某种衬衣定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为　y＝2000－5（x－100）　.每月总利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为　w＝[2000－5（x－100）]（x－80）　.（以上关系式只列式不化简）
六、布置作业
　　教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生分析问题，设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.
第3课时　拱桥问题与运动中的抛物线
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题.（重点）
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题.（难点）
3.会运用二次函数知识解决其他简单的实际问题.
一、新课导入
观察实物及欣赏图片：
在我们的生活中有很美丽也很实用的各种各样的桥，他们无不给我们以抛物线的形象感受，我们本节课就来研究与桥有关的抛物线问题.
二、新知探究
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.若水面下降1m，则水面宽度增加多少？
【分析】
如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y＝ax2.
当拱桥离水面2m时，水面宽4m，
即抛物线过点（2，－2）.∴－2＝4a.
解得a＝－0.5.
∴这条抛物线所表示的二次函数为y＝－0.5x2.
当水面下降1m时，水面的纵坐标为y＝－3，这时有－3＝－0.5x2.解得x＝±.
这时水面宽度为2m.
∴若水面下降1m，则水面宽度增加（2－4）m.
【归纳总结】建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
三、新知应用
例1　如图所示，某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一根柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外？
解：建立如图所示的平面直角坐标系.
根据题意，得点A的坐标为（0，1.25），顶点B的坐标为（1，2.25）.
设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋2.25.
将（0，1.25）代入，得1.25＝a＋2.25，即a＝－1.
∴抛物线的解析式为y＝－（x－1）2＋2.25.
∴当y＝0时，可求得点C的坐标为（2.5，0），点D的坐标为（－2.5，0）.
根据对称性，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
例2　如图，一名运动员在距离篮筐中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮筐中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度为多少米？
解：如图，建立平面直角坐标系.
由题意，得点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5），以点C表示运动员投篮时的出手处.
可设抛物线的解析式为y＝ax2＋3.5.
代入A（1.5，3.05），得3.05＝a×1.52＋3.5.
解得a＝－0.2.
∴抛物线的解析式为y＝－0.2x2＋3.5.
∴当x＝－2.5时，y＝2.25.
故篮球在该运动员出手时的高度为2.25m.
四、课堂小结
1.实际问题（实物中的抛物线形问题） 数学模型（二次函数的图象和性质）
2.拱桥问题、运动中的抛物线问题转化的关键建立恰当的直角坐标系
五、课堂训练
1.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（　C　）
A.50m　 B.100m　 C.160m　 D.200m
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝－x2＋x＋，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为　2　米.
3.小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地.设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m. y1与x之间的函数解析式是y1＝－180x＋2250，y2与x之间的函数解析式是y2＝－10x2－100x＋2000.
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为　250　m.
（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
解：设小丽出发第xmin时，两人相距sm，则
s＝（－180x＋2250）－（－10x2－100x＋2000）＝10x2－80x＋250＝10（x－4）2＋90.
∴当x＝4时，s取得最小值，此时s＝90.
答：小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离是90m.
六、布置作业
　　教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.

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