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第3章　图形的初步认识
3.6　角
华师大版-数学-七年级上册
3.余角和补角
学习目标
1.了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质.【重点】
2.能够利用余角和补角的性质进行计算和简单的推理. 【重点】
新课导入
将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
1
2
3
4
思考：
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？
∠1+∠2 = 90°.
2. ∠3与∠4有什么数量关系？
∠3+∠4 = 180°.
新知探究
知识点 余角和补角的概念
1
如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ， 简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角.
如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或 ∠2 是
∠1的余角，或 ∠1和 ∠2互余.
2
1
余角
新知探究
∠1 与∠2 依然互余.
讨论1：此时∠1 与∠2还互余吗？
讨论2：钝角有余角吗？
没有.
总结
角的数量关系与位置无关.
总结
只有锐角有余角.
1
2
新知探究
因为∠1与∠2 互余，
所以∠1 +∠2= 90°
或∠1 = 90° -∠2
或∠2 = 90° -∠1.
因为∠1 +∠2 = 90°，
所以∠1 与∠2 互余.
互余定义
1
2
几何语言：
新知探究
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 ，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角.
如图，可以说 ∠3是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4互补.
3
4
补角
新知探究
3
4
因为∠3 与∠4 互补，
所以∠3 +∠4 = 180°
或∠3 = 180° -∠4
或∠4 = 180° -∠3.
因为∠3 + ∠4 = 180°，
所以∠3 与∠4 互补.
互补定义
几何语言：
新知探究
1.判断下列论述是否正确.
①若∠1 +∠2 +∠3 = 90°，则∠1、∠2、∠3互余；
②若∠1 = 20°，∠2 = 100°，∠3 = 60°，则∠1、∠2、∠3 互补；
③若∠1 +∠2 = 90°，∠3 +∠4 = 180°，则∠1 是∠2 的余角，∠3 是∠4 的补角；
④如图，∠A 不是∠B 的余角；
⑤如图，∠C 是∠A 的补角.
×
×
×
√
32°
A
58°
B
148°
C
针对训练
√
新知探究
2.比一比：看看谁计算得又快又好！
∠α 是锐角，则它的余角可以表示为 ，补角可以表示为 .
90° -∠α
180° -∠α
观察可得结论：
锐角的补角比它的余角大_____.
∠α 5° 62°23′ x°
(0(0余角 60°
补角 110°
85°
175°
27°37′
117°37′
(90 - x)°
(180 - x)°
(70 + x)°
(160 + x)°
30°
150°
70°
20°
90°
新知探究
3.若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°，
余角是 ( 90－x )° .
根据题意，得180－x = 4 ( 90－x ) .
解得x = 60.
答：这个角的度数是 60 °.
新知探究
4.如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
O
D
A
B
C
N
M
解：设∠AOB=x.因为∠AOC与∠AOB互补，
所以∠AOC=180°-x．
又OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
所以∠AOM= ，∠AON= .
又∠MON=∠AOM-∠AON=40°，所以
解得x=50°.所以180°-x=130°.
所以∠AOC=130°，∠AOB=50°.
新知探究
知识点 余角和补角的性质
2
探究1：∠1 与∠2，∠3 都互为余角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
因为∠1 与∠2，∠3 都互为余角，
所以∠2 = 90° - ∠1，∠3 = 90° - ∠1.
同角 (等角) 的余角相等．
余角的性质
新知探究
探究2：类比探究 1,∠1 与∠2，∠3 都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
因为∠1 与∠2，∠3 都互为补角，
所以∠2 = 180° - ∠1，∠3 = 180° - ∠1.
同角 (等角) 的补角相等．
补角的性质
新知探究
典型例题
例1 如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为点 A，O，B 在同一条直线上，
所以∠AOC 和∠BOC 互为补角．
A
O
B
C
D
E
补角的定义
分析：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角.
新知探究
A
O
B
C
D
E
又射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD +∠COE = ∠AOC + ∠BOC
= (∠AOC +∠BOC )
= 90°.
所以∠COD 和∠COE 互为余角.
同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE，∠COD 和∠BOE 互为余角．
等式的性质
余角的定义
新知探究
针对训练
1.如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________.
（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
∠COE、∠BOE
O
A
B
C
D
E
∠COE、∠BOE
解：OE是∠BOC的平分线，理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°.
∴∠COD+∠COE=90°.
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE.
∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠COD.
∴∠BOE=∠COE.∴OE是∠BOC的平分线．
课堂小结
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
2
1
3
4
∠1 +∠2 = 90°
或∠1 = 90°-∠2
∠3 +∠4 = 180°
或∠3 = 180°-∠4
同角或等角的
补角相等
同角或等角的
余角相等
或∠2 = 90°-∠1
或∠4 = 180°-∠3
课堂训练
1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（ 　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
A
2.下列说法正确的是（　　）
A．一个角的补角一定大于它本身
B．一个角的余角一定小于它本身
C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角
D
课堂训练
3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，
则∠C的度数是_______.
150°
4. 若∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°，
则∠1= ，∠2= .
62°
28°
课堂训练
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
(1) 图中有哪几对互余的角？
(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
解：∠A与∠B；
∠A与∠2；
∠1与∠B；
∠1与∠2.
解：∠A=∠1，∠B=∠2，
因为同角的余角相等 .
A
C
D
1
2
B
新知探究
6.已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B 的度数.
解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为(3x+30)°.
根据题意,得x + ( 3x+30 ) = 90.
解得x=15.
答：∠B的度数为15°.第3章 图形的初步认识
3.6角
3.余角和补角
※教学目标※
1.了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质.（重点）
2.能够利用余角和补角的性质进行计算和简单的推理.（重点）
※教学过程※
一、新课导入
[情境导入]
将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
思考：
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？
∠1+∠2 = 90°.
2. ∠3与∠4有什么数量关系？
∠3+∠4 = 180°.
二、新知探究
（一）余角和补角的概念
[课件展示]余角的定义：如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ， 简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角.
如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或 ∠2 是∠1的余角，或 ∠1和 ∠2互余.
几何语言：
1.因为∠1与∠2 互余，所以∠1 +∠2= 90°或∠1 = 90° -∠2或∠2 = 90° -∠1.
2.因为∠1 +∠2 = 90°，所以∠1 与∠2 互余.
[课件展示]补角的定义：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 ，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角.
如图，可以说 ∠3是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4互补.
几何语言：
1.因为∠3 与∠4 互补，所以∠3 +∠4 = 180°或∠3 = 180° -∠4或∠4 = 180° -∠3.
2.因为∠3 + ∠4 = 180°，所以∠3 与∠4 互补.
讨论1：此时∠1 与∠2还互余吗？∠3 与∠4 还互补吗？
∠1 与∠2 依然互余，∠3 与∠4 依然互补.
总结：角的数量关系与位置无关.
讨论2：钝角有余角吗？
没有.
总结：只有锐角有余角.
[针对训练]
1.判断下列论述是否正确.
①若∠1 +∠2 +∠3 = 90°，则∠1、∠2、∠3互余； ×
②若∠1 = 20°，∠2 = 100°，∠3 = 60°，则∠1、∠2、∠3 互补； ×
③若∠1 +∠2 = 90°，∠3 +∠4 = 180°，则∠1 是∠2 的余角，∠3 是∠4 的补角； √
④如图，∠A 不是∠B 的余角； ×
⑤如图，∠C 是∠A 的补角. √
2.比一比：看看谁计算得又快又好！
∠α 是锐角，则它的余角可以表示为 90° -∠α ，补角可以表示为 180° -∠α .
观察可得结论：锐角的补角比它的余角大__90°__.
3.若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°，
余角是 ( 90－x )° .
根据题意，得180－x = 4 ( 90－x ) .
解得x = 60.
答：这个角的度数是 60 °.
4.如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
解：设∠AOB=x.因为∠AOC与∠AOB互补，所以∠AOC=180°-x．
又OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
所以∠AOM=，∠AON=.
又∠MON=∠AOM-∠AON=40°，所以
解得x=50°.所以180°-x=130°.
解得x=50°.所以180°-x=130°.
（二）余角和补角的性质
[课件展示]探究1：∠1 与∠2，∠3 都互为余角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
解：因为∠1 与∠2，∠3 都互为余角，所以∠2 = 90° - ∠1，∠3 = 90° - ∠1.
总结：余角的性质：同角 (等角) 的余角相等．
[课件展示]探究2：类比探究 1,∠1 与∠2，∠3 都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
解：因为∠1 与∠2，∠3 都互为补角，所以∠2 = 180° - ∠1，∠3 = 180° - ∠1.
总结：补角的性质：同角 (等角) 的补角相等．
[典型例题]
例1 如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
分析：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角.
解：因为点 A，O，B 在同一条直线上，
所以∠AOC 和∠BOC 互为补角．
又射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD +∠COE =∠AOC +∠BOC=(∠AOC +∠BOC ) = 90°.
所以∠COD 和∠COE 互为余角.
同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE，∠COD 和∠BOE 互为余角．
[针对训练]
1.如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_∠COE、∠BOE__，∠COD的余角是__∠COE、∠BOE___.
（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
解：OE是∠BOC的平分线，理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°.
∴∠COD+∠COE=90°.
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE.
∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠COD.
∴∠BOE=∠COE.∴OE是∠BOC的平分线．
三、课堂小结
四、课堂训练
1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（ A ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2.下列说法正确的是（　D　）
A．一个角的补角一定大于它本身
B．一个角的余角一定小于它本身
C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角
3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°,则∠C的度数是__150°__.
4. 若∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= 62° ，∠2= 28° .
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
(1) 图中有哪几对互余的角？
(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
解：(1)∠A与∠B；∠A与∠2；∠1与∠B；∠1与∠2.
(2)∠A=∠1，∠B=∠2，因为同角的余角相等 .
6.已知 ∠A 与∠B 互余，且∠A的度数比∠B 度数的3倍还多30°，求∠B的度数.
解：设∠B的度数为x°，则∠A的度数为(3x+30)°.
根据题意,得x + ( 3x+30 ) = 90.
解得x=15.
答：∠B的度数为15°.
五、布置作业
※教学反思※
本节课学习余角和补角的知识需要学生理解这是角的数量关系，与位置无关，需要学生能在图中发现这种关系，加强识图能力；也能抽离开图片理解其中的性质，培养抽象意识.此外，学生经过前面几节课的学习已经有了通过几何语言解题的意识，这节课需要尽可能规范学生的几何语言，并让学生知道其中的原理和逻辑内涵，做到心中有数.

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