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同角三角函数的基本关系教学设计
一．教学目标：
1.能根据三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式，培养数学抽象的核心素养
掌握同角三角函数的基本关系式，并能根据一个角的三角函数值，求其它三角函数值，提升数学运算的核心素养；
二．教学重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；
三．教学难点：掌握同角三角函数的基本关系式，并能根据一个角的三角函数值，求其它三角函数值
四．教学过程：
1.设情境，生成问题
气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点.
想一想：既然感觉毫不相干的事物之间都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数之间有没有关系呢？
提示：有.
2.复习巩固： 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数 y=sin x，x∈R；
余弦函数 y=cos x，x∈R；
正切函数 y=tan x，x≠.
公式一表明，终边相同的角的同一三角函数的值相等．因为三个三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？
师生活动：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
设计意图：通过复习三角函数的定义，用联系的观点引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括推理的能力。
引入新课：
如图，设点是角的终边与单位圆的交点．过作轴的垂线，交轴于，则为直角三角形，而且．由勾股定理有
．
因此，，即
显然，当的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．
根据三角函数的定义，当时，有
, ,
这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切．
设计意图：通过探究，让学生由诱导公式一及三角函数的定义推导同角三角函数基本关系式，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
问题：　你能发现同角三角函数的基本关系的哪些变形形式？
提示　sin2α＋cos2α＝1
tan α＝
利用上述变换我们可以对三角函数式进行化简，也就是代数式的恒等变换，要使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的尽量求值．
设计意图：教师引导学生讨论，通过探究让学生理解探究三角函数的基本关系，提高学生分析问题的能力。
判断：请判断下列结论是否正确？
1. （√ ）
（√ ）
（√ ）
4. （× ）
5.（√ ）
6. （ √ ）
设计意图：通过判断练习，让学生对公式及公式的变形有充分的理解，提高学生获取和巩固知识点的能力。
练习一：1.已知，且α是第四象限角，求的值。
解：由得，
又因为α是第四象限角，所以＞0
所以=
已知=-，且α是第二象限角，求的值
解：因为=-，且α是第二象限角，所以＞0
所以=
师生活动：让学生上黑板上做题，然后引导学生利用正弦、余弦的平方和公式解题，让学生明确解题步骤，明确这类题目应该先根据角所在的象限，确定各三角函数值的符号，再利用基本关系公式和变形公式求解．
设计意图：根据给出角所在象限，判断角的符号熟练掌握正弦、余弦的平方和公式的应用，为进一步加强学生对三角函数值在各象限的符号的认识进行铺垫。
4.应用新知（应用同角三角函数关系求值）
例1 已知，求，的值．
解：因为，，所以是第三或第四象限角．
由得
如果是第三象限角，那么．于是
，
从而
如果是第四象限，那么
．
师生活动：引导学生思考后给出解答．对于本例在学生给出答案后，应该要求学生总结解题步骤，明确这类题目应该先根据条件判断角所在的象限，确定各三角函数值的符号，再利用基本关系求解．在此基础上，可以让学生归纳用同角三角函数的基本关系求值的问题类型．
设计意图：进一步加强学生对三角函数值在各象限的符号的认识以及对同角三角函数的基本关系的理解，会知一求二，提高学生解决问题的能力。
练习二：已知，
解：因为＞0，所以是第一或第四象限角．
由得
如果是第一象限角，那么＞0．于是
，
从而
如果是第四象限，那么sinα＜0，得
．
师生活动：让学生上黑板上做题，检查学生解题情况，公式的理解程度，加强解题步骤。
设计意图：巩固两个基本关系公式及变形公式知识，增强学生对公式的应用熟练度，提高学生解决问题的能力。
例题2：求已知α是第二象限角，，求
解：因为α是第二象限角，所以＜0，
又因为，所以，
平方得，
即
所以
师生活动：引导学生如何在给正切值的时候解题，增强对熟同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切的公式的应用水平，提高学生的解题能力。
设计意图：更换已知条件，拓展公式的宽度，增加题的深度，增强体会知一求二，提高学生解决问题的水平和能力。
练习三：已知，求
解：由，所以
平方得
即，所以
因为，所以α是第二或第四象限角，
当α为第二象限角时，，
所以，
当α为第四象限角时，，
所以，
师生活动：让学生上黑板上做题，检查学生解题情况，公式的理解程度，加强解题步骤。
设计意图：增强学生知一求三的能力，提升学生对公式的应用熟练度和解题步骤的准确性，提高学生解决问题的能力。
课堂小结：
教师引导学生回顾本课时的内容，并回答下面的问题：
同角三角函数的基本关系是什么？
基本关系公式的变形都有哪些？
师生活动：学生思考后给出解答．
同角三角函数的基本关系式：，．
（2）角的正弦、余弦的平方和关系：
角的正弦、余弦商的关系tan α＝
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
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