资源简介

初中数学人教版（2012）九年级上册
22.1.4 二次函数y=ax ＋bx＋c的图象和性质
课标分析
课标分析：本节内容对应《义务教育数学课程标准（2022年版）》中"函数"领域的要求，重点培养学生通过配方法将一般式转化为顶点式的能力，掌握二次函数图象的平移规律（如向右平移6个单位、向上平移3个单位得到），理解顶点坐标和对称轴的几何意义。要求学生能根据的符号分析函数的增减性（如时开口向上，在对称轴左侧随增大而减小），并运用待定系数法（通过三点坐标建立方程组求解）确定函数解析式，发展数形结合思想和代数运算能力。
教材分析
本节课通过具体实例研究二次函数的图象与性质，利用配方法将其化为顶点式，进而确定抛物线的顶点、对称轴，并分析增减性，再推广到一般形式，总结出对称轴为，顶点坐标为，结合的正负判断开口方向及函数增减情况，最后通过待定系数法由三点坐标求二次函数解析式。教学过程引导学生从特殊到一般探究性质，经历观察、配方、画图、归纳的过程。本节内容承接一次函数与二次函数的初步认识，是函数学习的深化，帮助学生理解函数的代数变形与图象特征之间的联系，提升数形结合能力，为后续学习二次函数的应用及综合问题解决奠定基础。
学情分析
九年级学生已掌握一次函数的图象与性质、二次函数的图象特征及平移规律，熟悉配方法的基本操作，具备一定的数形结合意识和代数运算能力，同时这一阶段的学生抽象思维逐步发展，能通过观察、归纳进行数学推理，但对一般式的图象性质理解仍需借助具体实例和直观图象支撑，本节课要求学生通过配方将一般式转化为顶点式，准确写出对称轴和顶点坐标，结合图象判断增减性，进一步理解参数、、对图象的影响，并能运用待定系数法由三点坐标求出二次函数解析式，帮助学生建立从特殊到一般的数学思维，提升代数变形、方程求解和综合分析能力，为后续学习函数综合应用奠定基础。
教学目标
理解二次函数通过配方化为的过程，掌握顶点、对称轴公式及图象特征，提升数学抽象与运算能力，发展数形结合思想。
能根据具体二次函数的解析式确定其图象的顶点、对称轴，并描述增减性，培养逻辑推理和直观想象核心素养，提高分析图象特征的能力。
掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法，理解三点确定一个二次函数的条件，增强模型观念与运算能力，提升解决实际问题的能力。
重点难点
重点：掌握图象性质，会用配方法求其对称轴、顶点；会用待定系数法求解析式。
难点：理解配方过程及由到性质的推导。
课前任务
1.知识回顾：
上节课学习了二次函数的图象和性质，请说说其顶点坐标、对称轴分别是什么，以及对图象开口方向的影响。
2.预习教材：
阅读教材中关于二次函数图象和性质的内容，了解将配方成形式的过程，记录抛物线对称轴及顶点坐标公式，标注不理解处。
3.问题思考：
对于二次函数，思考如何将其化为形式，进而分析它的图象和性质，课上分享你的思路。
课堂导入
同学们，我们之前学习了二次函数的图象和性质，大家还记得它的图象特点以及对称轴、顶点坐标怎么确定吗？（引导学生回顾旧知）生活中有很多抛物线的实例，比如喷泉的水流轨迹。现在老师给出一个二次函数 ，它描述的可能是另一种类似抛物线的运动轨迹，那它的图象和性质又是怎样的呢？它与我们学过的 形式的二次函数有什么联系呢？今天就让我们一起深入探究二次函数的图象和性质。
二次函数 的图象和性质
探究新知
知识精讲
我们先来研究一个具体的二次函数 。通过配方，可以将其转化为顶点式：
这个形式让我们清楚地看到抛物线的顶点在(6,3)，对称轴是直线。我们可以通过平移基本抛物线来得到这个函数的图像：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位。
观察图，可以直观地看到这个二次函数的图像特征：
在对称轴左侧（），抛物线从左向右下降，即随的增大而减小；在对称轴右侧（），抛物线从左向右上升，即随的增大而增大。
对于一般形式的二次函数，通过配方可以得到：
因此，抛物线的对称轴是，顶点坐标是。
观察图，可以总结出一般二次函数的性质：
当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧函数递减，右侧递增；当时，抛物线开口向下，在对称轴左侧函数递增，右侧递减。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果已知一个二次函数的顶点在(2,-1)，且经过点(4,3)，你能求出这个函数的解析式吗？
学生思考后回答：可以用顶点式表示，然后把点(4,3)代入求出a的值。
教师追问：很好！那如果题目给出的是三个点的坐标，但没有给出顶点，我们应该用什么方法来求解析式呢？
学生回答：可以用一般式，把三个点的坐标代入建立方程组来解。
教师继续引导：对的。那你们能说说这两种方法分别在什么情况下使用更方便吗？
（三）设计意图
通过具体的二次函数实例，引导学生从特殊到一般地理解二次函数的图像和性质。借助图像直观展示抛物线的特征，培养学生的数形结合思想。通过配方方法的讲解，帮助学生掌握将一般式转化为顶点式的技能，理解二次函数各参数对图像的影响。师生互动环节设计的问题层层递进，旨在引导学生灵活运用不同形式的二次函数解析式，培养他们根据具体问题选择合适解题策略的能力。整个探究过程注重培养学生的观察能力、分析能力和数学表达能力。
新知应用
例1：研究二次函数 的图象和性质。
解答：我们先将这个二次函数通过配方化为顶点式 的形式，便于分析其图象特征。
原式：
第一步：提取二次项系数 ：
第二步：对括号内进行配方。取一次项系数的一半平方：
所以：
得到顶点式：
由此可知：
抛物线的顶点是
对称轴是直线
因为 ，所以抛物线开口向上
接下来画图步骤如下：
确定顶点 ，作为图象的最低点。
利用对称性列表取值（以 为中心左右对称取值）：
4
5
6
7
8
描点并连线，得到抛物线图象。
从图象可以看出：
在对称轴左侧（即 ）， 随 增大而减小
在对称轴右侧（即 ）， 随 增大而增大
总结：
1.题目考查内容
① 二次函数的一般式与顶点式的转化（配方法）
② 二次函数图象的顶点、对称轴、开口方向的确定
③ 函数值随自变量变化的趋势（增减性）
2.题目求解要点
① 掌握配方法将 化为
② 能根据顶点式快速写出顶点坐标和对称轴
③ 根据 的正负判断开口方向，并结合对称轴分析函数的增减性
探究新知
（一）知识精讲
同学们，我们已经学过用待定系数法求一次函数解析式的方法。现在让我们来探究如何用类似的方法确定二次函数的解析式。观察下图，这是一个典型的二次函数图像：
我们知道，二次函数的一般形式是，其中、、c是待定系数。要确定这个解析式，我们需要知道函数图像上三个点的坐标。为什么是三个点呢？因为我们需要建立三个方程来解出三个未知数、、c。
(
{
)举个例子，假设二次函数图像经过点、和。我们可以将这三个点的坐标分别代入，得到方程组：
(
{
)化简后得到：
解这个方程组，就能求出，，，所以这个二次函数的解析式就是
。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果我们只知道二次函数图像上的两个点，能确定这个二次函数的解析式吗？为什么？
学生思考后回答：不能确定，因为二次函数有三个待定系数，需要三个方程才能解出这三个未知数。
教师追问：很好！那如果给出的三个点在同一条直线上，还能求出二次函数解析式吗？
学生回答：不能，因为三个共线的点只能确定一条直线，而直线是一次函数的图像，不是二次函数的图像。
教师继续引导：说得对！那么在实际应用中，我们如何验证三个点是否适合用来确定二次函数呢？
学生讨论后回答：可以先计算任意两点的斜率，如果三个点两两之间的斜率都相同，就说明它们在一条直线上，不能用来确定二次函数。
（三）设计意图
通过类比一次函数的待定系数法，引导学生理解二次函数解析式的确定方法，培养学生的类比推理能力。通过具体例题的讲解和求解过程，帮助学生掌握建立方程组求解待定系数的技能。师生互动环节设计的问题层层递进，引导学生深入思考确定二次函数解析式的条件，培养学生的批判性思维和问题解决能力。整个探究过程注重数学思维的培养，让学生体会数学知识的系统性和连贯性。
新知应用
例2：如果一个二次函数的图象经过，，三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式。
解答：我们知道，二次函数的一般形式是：
其中 、、 是未知的系数，我们需要通过已知条件来确定它们的值。这种方法叫做待定系数法。
题目告诉我们，这个二次函数的图象经过三个点：、、。也就是说，当 时，；当 时，；当 时，。我们将这三个点代入一般式 ，得到三个方程。
第一步：代入第一个点
第二步：代入第二个点
第三步：代入第三个点
现在我们得到了一个关于 、、 的三元一次方程组：
(
{
)
接下来我们解这个方程组。
第四步：消元法解方程组
先用方程 (2) 减去方程 (1)：
把 代入方程 (1) 和 (2)，也可以继续用其他方程。
再用方程 (2) 和 (3) 消元。先把方程 (2) 乘以 2：
然后用方程 (3) 减去 (2')：
现在我们已经有 ，再找一个含 和 的方程。
回到方程 (2)：
代入 ：
(
{
)现在我们有两个关于 和 的方程：
将 (4) 和 (5) 相加：
将 代入 (5)：
所以解得：
因此，所求的二次函数解析式为：
总结：
1.题目考查内容
①二次函数的概念及其一般形式 ；
②利用待定系数法求二次函数解析式；
③三元一次方程组的解法（代入法或加减消元法）。
2.题目求解要点
①设出二次函数的一般式 ；
②将图象上三个点的坐标代入，列出关于 、、 的三元一次方程组；
③通过消元法逐步解出 、、 的值；
④写出最终的函数解析式并验证是否合理（可选）。
板书设计
配方：
对称轴：
顶点：
增减性
：，随增大而减小；，随增大而增大
：，随增大而增大；，随增大而减小
待定系数法求解析式
确定条件：不在同一直线且任意两点连线不与轴平行的三点
教学反思
本节课围绕二次函数的图象与性质展开，通过配方将一般式转化为顶点式，引导学生利用平移思想理解图象的形成，并结合对称轴、顶点等关键要素画图分析函数增减性，进而推广到一般情形，最后通过待定系数法求解析式，落实数形结合与方程思想。教学设计结构清晰，层层递进，符合课标“从特殊到一般”的认知规律。成功之处在于以具体函数为载体，突出配方的核心作用，强化了知识间的联系；探究活动有效激发学生思维，提升了运算与推理能力。不足之处在于部分学生在配方和解三元一次方程组时仍显吃力，课堂练习反馈不够充分，后续需加强基础运算训练与个别指导，提升学生代数运算的准确性和自信心。

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