资源简介

初中数学人教版（2012）九年级上册
23.1 图形的旋转
课标分析
根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，本节"图形的旋转"属于"图形与几何"领域中的"图形的运动"内容，重点培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。课标要求学生通过具体实例认识旋转（），理解旋转中心、旋转角、对应点等概念（如，），掌握旋转的基本性质：对应点到旋转中心距离相等、对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角、旋转前后图形全等。通过钟表指针、风车叶片等生活实例建立几何直观，借助硬纸板实验探究旋转特征，体会旋转中心与旋转角变化对图形位置的影响，最终达到能运用旋转性质设计简单图案的目标，发展空间观念和几何直观素养。
教材分析
本节课“图形的旋转”从生活中的实例出发，引出旋转的基本概念，包括旋转中心、旋转角、对应点等，并通过探究活动归纳出旋转的三条基本性质：对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角、旋转前后图形全等；同时通过不同旋转中心和旋转角的变化展示旋转效果的不同，体现了旋转的多样性与应用价值。本节课通过观察、操作、归纳等方式引导学生理解旋转的本质特征。本节内容位于“轴对称”“平移”之后，是对图形变换知识的进一步拓展，有助于学生建立空间观念，提升几何直观和推理能力，也为后续学习中心对称、图形的全等变换及图案设计打下基础。通过本节课的学习，学生能够掌握旋转的基本性质，理解图形变换中的不变性，提升动手操作能力和抽象思维能力，为今后学习几何变换及相关应用提供了重要支撑。
学情分析
八年级学生已掌握轴对称、平移等图形变换的基本概念，具备一定的几何直观和推理能力，为学习《图形的旋转》奠定了基础。此阶段的学生抽象思维逐步发展，能够理解图形运动的本质特征，但在空间想象和逻辑推理方面仍需加强。本节课要求学生通过观察生活实例，理解旋转的基本概念，掌握旋转的三个基本性质，即对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角、旋转前后图形全等。通过动手操作和探究活动，帮助学生发展空间观念，提升几何推理能力，培养数学抽象和数学建模意识，为进一步学习图形变换和综合运用图形运动打下基础。
教学目标
1.理解图形旋转的基本概念，掌握旋转中心、旋转角及对应点的定义，通过观察实例提升数学抽象与空间想象能力，发展几何直观核心素养。
2.探索并归纳旋转的性质，理解对应点与旋转中心的关系及旋转前后图形的特征，培养逻辑推理能力和归纳总结能力，深化模型思想。
3.通过动手操作与图案设计，体会旋转在实际中的应用价值，增强应用意识与创新意识，提升审美能力与动手实践能力。
重点难点
重点：理解图形旋转的概念，掌握旋转的性质，能运用性质解决相关问题。
难点：探究并归纳旋转的性质，能根据不同旋转要素设计图案。
课前任务
1.知识回顾：
上节课学移，回忆平移的定义及性质。思考：平移是图形沿某方向移动，那图形围绕一点转动又是什么现象呢？通过回顾平移加深对图形变换的认知。
2.预习教材：
阅读教材图形旋转部分，了解图形旋转的定义，明确旋转中心、旋转角、对应点的概念，掌握旋转的性质。将重点内容及对旋转性质理解不清之处记录在预习笔记上。
3.问题思考：
生活中像摩天轮、旋转木马等都有旋转现象，结合预习思考：这些旋转现象的旋转中心、旋转角在哪？旋转前后图形哪些方面发生变化，哪些不变？课上一起探讨。
课堂导入
同学们，在生活中我们常常能看到许多有趣的现象。比如，游乐场里的旋转木马，随着音乐缓缓转动，木马在绕着中心位置移动，不断变换位置。还有家中的风扇，扇叶在电机的带动下飞速转动，从一个位置转到另一个位置。这些现象都有一个共同特点，物体都在围绕着某一个点做圆周运动。那么，从数学的角度，我们该如何去描述和研究这些现象呢？今天，就让我们一起走进“图形的旋转”，探索其中的奥秘。
图形的旋转
探究新知
（一）知识精讲
让我们从生活中的现象开始观察。同学们请看图，这是一个钟表的指针在转动。从3时到5时，时针转动了多少度呢？通过计算我们知道，时针转动了60°。再看图，风车的叶片在风的吹动下也在不停地转动。这些现象有什么共同特点呢？
我们可以把这些指针、叶片等看作平面图形。在数学中，我们把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的运动，称为图形的旋转（rotation）。其中，点O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转后到达点P'的位置，那么这两个点就叫做这个旋转的对应点。
为了更好地理解旋转的性质，我们进行一个实验。如图所示，在硬纸板上固定一个三角形，并在三角形外取一点O作为旋转中心。在硬纸板下面放一张白纸，先描出三角形ABC，然后围绕点O转动硬纸板，再描出旋转后的三角形A'B'C'。
通过观察可以发现：
线段OA与OA'的长度相等；
∠AOA'与∠BOB'的角度相等；
旋转前后的两个三角形ABC和A'B'C'的形状和大小完全相同。
由此我们归纳出旋转的三个重要性质：
对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前、后的图形全等。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果我们改变旋转中心的位置，但保持旋转角不变，旋转后的图形会有什么变化呢？比如图中的两个旋转，旋转角相同但旋转中心不同，会产生什么不同的效果？
学生思考后回答：旋转中心的位置会影响旋转后图形的位置，但不会改变图形本身的大小和形状。
教师追问：很好！那如果保持旋转中心不变，改变旋转角的大小，如图所示，又会产生什么不同的效果呢？
学生回答：旋转角的大小会影响图形旋转后的位置和方向，旋转角越大，图形转动的幅度就越大。
（三）设计意图
通过观察生活中的旋转现象和动手操作实验，帮助学生建立旋转概念的直观认识。引导学生从具体实例中抽象出旋转的定义和性质，培养学生的观察能力和归纳总结能力。通过师生互动讨论不同旋转参数对图形的影响，加深学生对旋转性质的理解，为后续学习图形变换打下基础。整个探究过程注重培养学生的空间观念和几何直观能力，体现了从具体到抽象的数学思维过程。
新知应用
例题题目：
如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。
解答：
我们来一步步分析并画出旋转后的图形：
第一步：明确旋转中心和旋转方向、角度
旋转中心是点A；
旋转方向是顺时针；
旋转角度是90°。
第二步：确定旋转前三角形的三个顶点
的三个顶点分别是：A、D、E。
第三步：逐个确定每个顶点旋转后的位置
点A的旋转
因为点A是旋转中心，所以旋转后的位置仍然是点A本身。
点D的旋转
正方形中，AD与AB长度相等，且；
将点D绕点A顺时针旋转90°，会落在点B的位置；
所以，点D旋转后的对应点是点B。
点E的旋转
点E在CD边上，我们不知道它的具体位置，但可以确定它在CD上；
将绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点设为点E'；
由于旋转前后图形全等，所以：
；
；
所以，点E'应在CB的延长线上，并且满足；
在CB的延长线上取点E'，使得。
第四步：连接旋转后的三个点，得到旋转后的图形
连接A、B、E'，得到；
这就是绕点A顺时针旋转90°后的图形。
最终图形如图所示：
总结：
1.题目考查内容
图形的旋转及其性质；
旋转中心、旋转方向、旋转角的理解；
利用旋转性质确定图形中点的对应位置；
图形全等性的应用。
2.题目求解要点
明确旋转中心、方向和角度；
旋转中心不变，对应点与旋转中心的距离相等；
旋转前后图形全等，对应角和边保持不变；
对于不确定位置的点（如E），通过构造全等关系确定其旋转后的位置；
几何作图时要结合图形性质（如正方形的边角关系）进行推理。
新知巩固
第1题：对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　）
选项：
A．轴对称→平移→旋转
B．轴对称→旋转→平移
C．旋转→轴对称→平移
D．平移→旋转→轴对称
解答：
我们依次分析图片的变化过程：
第一幅图 → 第二幅图：
观察发现，图形从左右对称变成了镜像对称，说明是轴对称变换，即图形关于某条直线对称。
第二幅图 → 第三幅图：
图形整体向右移动了一段距离，形状和方向没有改变，说明是平移变换。
第三幅图 → 第四幅图：
图形整体绕某一点旋转了一个角度（大约90°），说明是旋转变换。
因此，从左到右的变换顺序是：轴对称 → 平移 → 旋转。
总结：
1. 题目考查内容
本题考查初中数学中图形的三种基本变换：轴对称、平移、旋转，以及对图形变换顺序的识别能力。
2. 题目求解要点
轴对称：图形关于某条直线对称，形状不变，方向相反。
平移：图形整体沿某个方向移动，形状、方向、大小都不变。
旋转：图形绕某一点旋转一定角度，形状不变，位置和方向改变。
注意变换的顺序性，不同顺序会产生不同的结果。
3. 同类型题目解题步骤
观察每一步图形的变化特征。
判断是哪种基本变换（轴对称、平移、旋转）。
分析变换的顺序，注意图形的方向、位置、对称性是否改变。
选择与变换顺序一致的选项。
第2题：如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（　　）
选项：
A．将甲绕点顺时针旋转
B．将乙绕点逆时针旋转
C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转
D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转
解答：
我们逐项分析：
A选项：将甲绕点顺时针旋转
观察图形，甲绕点旋转后，图形方向与乙不一致，位置也不匹配，错误。
B选项：将乙绕点逆时针旋转
乙绕点旋转后，图形方向与甲不一致，错误。
C选项：将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转
该旋转中心为图形内部某点，旋转后图形方向和位置与乙一致，正确。
D选项：将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转
平移后图形位置改变，但旋转后图形方向与乙不一致，错误。
因此，正确答案是：C
总结：
1. 题目考查内容
本题考查图形的旋转变换，重点在于旋转中心的选择和旋转方向与角度的判断。
2. 题目求解要点
旋转中心不同，旋转后的图形位置和方向也会不同。
旋转角度必须准确（如），方向（顺时针或逆时针）也要判断清楚。
可通过画图辅助判断旋转后的图形是否与目标图形重合。
3. 同类型题目解题步骤
确定旋转中心（可以是图形上的点或图形外的点）。
判断旋转方向（顺时针或逆时针）和角度（如）。
画出旋转后的图形或想象其位置变化。
与目标图形对比，判断是否重合。
板书设计
图形的旋转
定义
绕平面内某点O转动
旋转中心：点O
旋转角：转动的角
对应点：如点P与P'
性质
对应点到旋转中心距离相等
对应点与旋转中心所连线段夹角等于旋转角
旋转前后图形全等
效果影响
不同旋转中心
不同旋转角
教学反思
本节课围绕图形的旋转展开，通过生活实例引入旋转概念，引导学生探究旋转的性质，并通过动手操作验证性质，最后结合图案欣赏体会旋转的应用价值。教学目标明确，内容符合课程标准要求，学生基本掌握了旋转的定义、性质及简单应用。课堂中通过问题引导和探究活动激发了学生思维，小组合作增强了学生动手能力和合作意识。但部分学生对旋转角的确定及性质的应用仍存在困惑，教学中对生成性问题的处理略显不足，个别环节时间分配不够合理，导致部分学生未能充分内化知识。今后教学中需进一步优化活动设计，加强几何直观与逻辑推理的结合，提升学生的空间观念和数学表达能力。

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