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2025-2026学年人教版数学七年级上册 第二章 有理数的运算
2.1.2 有理数的减法 （讲义）
学习目标
理解有理数减法法则的意义，掌握有理数减法法则。
能熟练运用有理数减法法则进行有理数的减法运算。
能初步运用有理数的减法解决简单的实际问题（数学内部的转化问题）。
知识点梳理
一、有理数减法的引入
在小学阶段，我们学习了正数与正数的减法，例如：5 - 3 = 2。这表示从5中去掉3，还剩2。 现在我们学习了有理数，引入了负数，那么如何进行有理数的减法呢？比如：5 - (-3) 等于多少？ (-3) - 5 又等于多少？
二、有理数减法法则
问题探究：
我们知道，3 + (-3) = 0。那么，5 - 3 可以看作是 5 + (-3) 吗？ 5 - 3 = 2，5 + (-3) = 2。结果相等。 再看：5 - (-3)，我们能不能也把它转化为加法呢？ 如果今天的气温是 5℃，昨天的气温是 -3℃，那么今天比昨天高多少摄氏度？ 我们知道，求温差用减法：5 - (-3)。 从温度计上看，5℃ 比 0℃ 高 5℃，0℃ 比 -3℃ 高 3℃，所以 5℃ 比 -3℃ 高 5 + 3 = 8℃。 所以 5 - (-3) = 8，而 5 + (+3) = 8。 由此，我们发现：5 - (-3) = 5 + (+3)
有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
用字母表示： 设 ， 为有理数，则
讲解：
“减去一个数”：这里的“一个数”可以是正数、负数，也可以是0。
“等于加上这个数的相反数”：
“加上”：指的是将减法运算转化为加法运算。
“这个数的相反数”：指的是把原来的减数变成它的相反数。
例如：减3（即 - 3），就等于加上 -3的相反数（即 +3）；减 -5（即 - (-5)），就等于加上 -5的相反数（即 +5）。
三、例题讲解
例1：计算下列各题
(1) 解： （根据有理数减法法则，减去 -5 等于加上 -5 的相反数 +5） （根据有理数加法法则，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加）
(2) 解： （根据有理数减法法则，减去 5 等于加上 5 的相反数 -5） （根据有理数加法法则，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加）
(3) 解： （根据有理数减法法则，减去 -5 等于加上 -5 的相反数 +5） （根据有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值）
(4) 解： （根据有理数减法法则，减去 -2 等于加上 -2 的相反数 +2） （0 加任何数仍得这个数）
(5) 解： （根据有理数减法法则，减去 0 等于加上 0 的相反数 0） （任何数加 0 仍得这个数） （通常情况下，一个数减去0等于它本身，可以直接得出结果。）
例2：计算 解： （减去一个负数等于加上它的相反数） （通分，公分母为6）
注意事项：
在进行有理数减法运算时，首先要将减法转化为加法，这是关键步骤。
转化时，要同时改变两个符号：
运算符号：减号“-”变为加号“+”。
减数的性质符号：变为它的相反数。
然后按照有理数的加法法则进行计算。
计算时，要注意符号的确定和绝对值的运算。
知识点总结
有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 用字母表示：。 （核心：减变加，数变反）
有理数减法运算的步骤：
第一步（转化）： 将减法运算转化为加法运算，即把减号“-”变为加号“+”，同时把减数变为它的相反数。
第二步（计算）： 按照有理数加法的法则进行计算（先确定和的符号，再计算和的绝对值）。
重要结论：
一个数减去0，仍得这个数。即 。
0减去一个数，等于这个数的相反数。即 。
数学思想： 有理数的减法法则体现了“转化”的数学思想，即将新知识（减法）转化为旧知识（加法）来解决。
巩固练习
一、选择题
1．把写成省略括号和加号的形式为（　　）
A． B． C． D．
2．有一种零件的尺寸标准是（单位：mm），则下列零件尺寸不合格的是（　　）
A． B． C． D．
3．点A为数轴上表示的点，将点A在数轴上平移3个单位长度到点B，则点B所表示的数为（　　）
A．2 B． C．或 D．或8
4．比小3的数是（　　）
A． B． C．0 D．2
5．若，则以下四个结论中，正确的是（　　）
A．一定是正数 B．可能是负数
C．一定是正数 D．一定是正数
6．若数轴上表示－1和－3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（　　）
A． B．－2 C．2 D．4
7．下列是5个城市的国际标准时间（单位：小时）那么，北京时间2013年11月20日上午11时，应是（　　）
A．汉城时间是2013年11月20日上午10时
B．伦敦时间是2013年11月20日凌晨3时
C．多伦多时间是2013年11月19日晚22时
D．纽约时间是2013年11月19日晚20时
8．如图为我县十二月份某一天的天气预报，该天最高气温比最低气温高（　　）
A．﹣3℃ B．7℃ C．3℃ D．﹣7℃
9．已知，，且在数轴上表示有理数的点在的左边，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．1或5
二、填空题
10．计算：－2－1=　 　.
11．计算： 　 　．
12．高斯函数均称为取整函数，即表示不超过的最大整数，如：，，则　 　．
13．小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：，例如试求的值为　 　．
14．某地一天的最高气温是10℃，最低气温是-1℃，则该地这一天的温差是 　 　．
15． 的相反数是　 　， 的倒数是　 　，—5的绝对值是　 　．
三、解答题
16．19+（﹣5）+（﹣9）﹣1.25．
17．某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减/辆 ﹣1 +3 ﹣2 +4 +7 ﹣5 ﹣10
（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？
（2）本周总生产量是多少？比原计划增加了还是减少了？增减数为多少？
18．阅读理解
同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）________；________；
（2）找出所有符合条件的整数，使成立；
（3）当________时，的值最小，最小值是________．
参考答案
1．C
2．D
3．C
4．B
5．C
6．C
7．B
8．B
9．D
10．-3
11．2
12．
13．4
14．11℃
15．；2；5
16．解：19+（﹣5）+（﹣9）﹣1.25原式=（19﹣9）+（﹣1.25﹣5）=10﹣7=3．
17．解：（1）7﹣（﹣10）=17（辆）；
（2）100×7+（﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10）=696（辆），
答：（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产17辆；
（2）本周总生产量是696辆，比原计划减少了4辆．
18．（1）2；6
（2）或或1或0
（3）1；9

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