资源简介

16.3.1 平方差公式 教学设计
一、内容与内容解析
（一）教学内容
本节课是人教版初中数学八年级（上册）第十六章“整式的乘法”的第3节。内容包括平方差公式的推导、结构特征识别及初步应用，涵盖公式推导（从多项式乘法到特殊形式归纳）、特征剖析（“两数和×两数差”的形式与“平方差”的结果）、基础计算应用三个维度。
（二）教学内容解析
本节是整式乘法的“特殊化”延伸，既是多项式乘法法则的具体应用，也是后续因式分解、二次根式运算的重要基础，起到承前启后作用。其核心难点在于引导学生从“一般乘法”中发现“特殊规律”，关键是让学生通过实例观察、归纳，自主提炼平方差公式的结构特征（即“相同项的平方减去相反项的平方”）。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：
【教学重点】引导学生了解并掌握平方差公式及其几何意义
二、目标与目标解析
（一）教学目标
1.学生能推导平方差公式，准确识别公式中的“相同项”与“相反项”，并能运用公式计算简单的“两数和×两数差”形式的多项式乘法。
2. 通过观察、计算、归纳、验证的过程，培养学生的数学抽象能力与规律探究意识，提升从“具体实例”到“一般公式”的归纳推理能力。
3. 在公式推导与应用中，让学生感受数学的简洁性与规律性，激发对代数运算的兴趣，培养严谨的运算习惯。
（二）教学目标解析
1.学生能通过计算(x+1)(x-1)、(2y+3)(2y-3)等实例，自主发现“结果只含两项，且为两项平方差”的规律，并能通过多项式乘法法则验证规律的正确性。
2.学生在小组讨论中主动分享发现，在应用公式简化计算后，能体会到“公式运算比一般多项式乘法更高效”，愿意主动尝试复杂一点的公式应用题目。
三、学生学情分析
已有基础：学生已掌握多项式乘法法则（(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq），能进行简单的多项式乘法计算，具备初步的代数运算能力与观察归纳意识，为推导平方差公式提供了知识支撑。
潜在困难：一是难以快速识别公式结构，尤其是当a、b表示负数、多项式（如(a - b - c)(a - b + c)）时，易混淆“相同项”与“相反项”；二是易忽略公式适用条件，误将非“两数和×两数差”形式（如(x+y)(x+y)）套用平方差公式；三是对公式的“代数本质”理解不深，仅停留在“套公式计算”层面，缺乏灵活变形能力。基于上述分析，确定本节课的教学难点为：
【教学难点】让学生学会应用平方差公式进行计算
四、教学策略分析
1. 情境导入策略：通过“计算两个相邻正方形面积差”的实际问题（如边长为x和2的正方形，面积差用两种方法表示），激发学生兴趣，引导学生从“几何意义”和“代数运算”两方面感知平方差，为公式推导铺垫。
2. 探究引导策略：采用“实例计算→观察规律→归纳公式→验证公式”的探究路径，给出4组不同形式的“两数和×两数差”计算题目，让学生小组合作完成后，自主总结结果特征，教师仅在关键处（如“结果中的两项与原式有何关联”）提问引导，避免直接灌输。
3. 难点突破策略：针对“结构识别难”，设计“公式结构对比表”（左侧列原式，右侧标“相同项a”“相反项b”），通过(5+3)(5-3)、(-2x+5)(-2x-5)等例子，让学生直观感受a、b的多样性；针对“适用条件混淆”，设计“错题辨析”环节，给出3道易错题（如(x+2)(x+2)、(a+b)(c-b)），让学生判断是否能用公式，说明理由。
五、教学过程分析
（一）情境引入
项式与多项式相乘单项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加.
设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。
（二）主动参与、感悟新知
探究　计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x-1)=__x·x-x+x-1__=__x2 -1 _；=x2 -12
(2) (m+2)(m-2)=___m·m-2m+2m-4__=_m2 -4__；= m2 -22
(3) (2x+1)(2x-1)=___2x·2x-2x+2x-1____=__4x2 -1___. =(2x)2 -12
前面的几个运算都是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘.
由于
对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
两个数和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差，这个公式叫作（乘法的）平方差公式.
公式变形:1.
2.
思考 你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
红色区域的面积： (a+b)(a b)=a2 b2.
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)( 3x 2 ) ； (2)（ x+2y)( x 2y).
解 (1)原式=(3x)2 22=9x2 4；
(2)原式=( x)2 (2y)2=x2 4y2.
例2 计算：
(1) (x 1)(x+1)(x2+1) ； (2) (y+2)(y 2) (y 1)(y+5) ； (3) 102×98.
解 (1)原式=(x2 1)(x2+1) =x4 1 ；
(2)原式=y2 22 (y2+4y 5)=y2 4 y2 4y+5= 4y+1 ；
(3)原式=(100+2)(100 2)=1002 22=10 000 4=9 996 .
方法总结
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项相同，另一项相反；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式．
例3在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b），再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②.这两个图形的面积关系用等式表示是　　　　　　.
解析图①中阴影部分的面积为a2－b2，图②中梯形的面积＝（2a＋2b）（a－b）÷2＝（a＋b）（a－b），两图形的阴影面积相等，据此即可解答.
解a2－b2＝（a＋b）（a－b）
方法总结平方差公式的几何表示，用梯形的面积表示出图形阴影部分的面积，再用等式表示出来即可.
练习
1. 下面的计算是否正确 如果不正确，应当怎样改正
(1) (x+2)(x 2)=x2 2； (2) ( a 2)(a 2)=a2 4；
(3) (x+2y)( x 2y)=x2 4y2； (4) (3a+4b)(3a 4b)=9a2 4b2.
2. 计算：
(1) (a+3b)(a 3b) ； (2) (3+2a)( 3+2a) ；
(3) (xy+1)(x2y2+1)(xy 1) ； (4) (3x+4)(3x 4) (2x+3)(3x 2).
3. 运用平方差公式计算：
(1) 51×49 ； (2) 200×199 .
（三）课堂总结
1、本节课研究了什么问题？
2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？
3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？
【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。
（四）布置作业、巩固提高
1.下列运算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
2.已知n为正整数，则下列运算结果不是1的为(　　)
A．　　　 B．　　　
C．　　　 D．
3.计算：(1)； (2)；
(3)； (4).
4.若，则的值为多少？
5.计算:（1）5a5b3c÷15a4b；
(2)

展开更多......

收起↑