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2025-2026学年人教版数学八年级上册 第十四章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定（讲义）
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学习目标
了解三角形全等的判定方法的必要性。
掌握判定两个三角形全等的基本事实：“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）和推论“角角边”（AAS）。
初步学会运用这些判定方法判定两个三角形全等。
了解直角三角形全等的特殊判定方法“斜边、直角边”（HL）。
能结合图形，用符号语言表示三角形全等的判定条件和结论。
知识点梳理
（一）引入
我们知道，如果两个三角形的三条边对应相等，三个角对应相等，那么这两个三角形全等。但是，判定两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？能否通过更少的条件来判定它们全等呢？
（二）三角形全等的判定方法
基本事实1：边边边（SSS）
内容： 三边对应相等的两个三角形全等。
简称： “边边边”或“SSS”。
图形示意： （此处可自行画出两个三边对应相等的三角形，标注字母和相等的边） 例如：在△ABC和△A'B'C'中， AB = A'B'， BC = B'C'， AC = A'C'， 那么△ABC ≌ △A'B'C' (SSS)。
符号语言： 在△ABC 和 △A'B'C' 中， { AB = A'B' (已知) { BC = B'C' (已知) { AC = A'C' (已知) ∴ △ABC ≌ △A'B'C' (SSS)
要点： 三组对应边分别相等。
基本事实2：边角边（SAS）
内容： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
简称： “边角边”或“SAS”。
图形示意： （此处可自行画出两个两边及其夹角对应相等的三角形，标注字母、相等的边和夹角） 例如：在△ABC和△A'B'C'中， AB = A'B'， ∠B = ∠B'， BC = B'C'， 那么△ABC ≌ △A'B'C' (SAS)。
符号语言： 在△ABC 和 △A'B'C' 中， { AB = A'B' (已知) { ∠B = ∠B' (已知) { BC = B'C' (已知) ∴ △ABC ≌ △A'B'C' (SAS)
要点： 两边及其夹角（夹在两条边中间的角）对应相等。注意：必须是“夹角”，如果是“边边角”（SSA），则不能判定全等。
基本事实3：角边角（ASA）
内容： 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
简称： “角边角”或“ASA”。
图形示意： （此处可自行画出两个两角及其夹边对应相等的三角形，标注字母、相等的角和夹边） 例如：在△ABC和△A'B'C'中， ∠B = ∠B'， BC = B'C'， ∠C = ∠C'， 那么△ABC ≌ △A'B'C' (ASA)。
符号语言： 在△ABC 和 △A'B'C' 中， { ∠B = ∠B' (已知) { BC = B'C' (已知) { ∠C = ∠C' (已知) ∴ △ABC ≌ △A'B'C' (ASA)
要点： 两角及其夹边（夹在两个角中间的边）对应相等。
推论：角角边（AAS）
内容： 两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
简称： “角角边”或“AAS”。
图形示意： （此处可自行画出两个两角及其中一角对边对应相等的三角形，标注字母、相等的角和对应边） 例如：在△ABC和△A'B'C'中， ∠A = ∠A'， ∠B = ∠B'， BC = B'C'， 那么△ABC ≌ △A'B'C' (AAS)。
符号语言： 在△ABC 和 △A'B'C' 中， { ∠A = ∠A' (已知) { ∠B = ∠B' (已知) { BC = B'C' (已知) ∴ △ABC ≌ △A'B'C' (AAS)
要点： 两角及其中一角的对边对应相等。由ASA可以推导出AAS。
特别提醒：
“SSA”和“AAA”不能判定三角形全等。
“SSA”：两边和其中一边的对角对应相等，这样的两个三角形不一定全等。（可以尝试画图理解）
“AAA”：三个角对应相等，只能说明三角形形状相似，但大小不一定相等，所以不全等。
直角三角形全等的特殊判定：斜边、直角边（HL）
内容： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简称： “斜边、直角边”或“HL”。
图形示意： （此处可自行画出两个直角三角形，斜边和一条直角边对应相等，标注直角符号、字母、相等的斜边和直角边） 例如：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∠C = ∠C' = 90°， AB = A'B' (斜边相等)， AC = A'C' (一条直角边相等)， 那么Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C' (HL)。
符号语言： 在Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中， { AB = A'B' (已知，斜边相等) { AC = A'C' (已知，一条直角边相等) ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C' (HL)
要点：
仅适用于直角三角形。
条件是斜边和一条直角边对应相等。
知识点总结
判定两个三角形全等的方法（适用于任意三角形）：
SSS (边边边)：三边对应相等。
SAS (边角边)：两边和它们的夹角对应相等。
ASA (角边角)：两角和它们的夹边对应相等。
AAS (角角边)：两角和其中一角的对边对应相等。
判定两个直角三角形全等的特殊方法：
HL (斜边、直角边)：斜边和一条直角边对应相等。（当然，SSS, SAS, ASA, AAS也适用于直角三角形）
重要注意事项：
判定三角形全等时，一定要注意“对应”二字，边和角必须是对应的。
熟练掌握各种判定方法的条件和图形特征，选择合适的方法进行判定。
“SSA”和“AAA”不能作为判定三角形全等的依据。
证明三角形全等的书写步骤：
写出在哪两个三角形中证明全等。
按判定方法的顺序列出三个（或两个，HL时）条件，注明理由。
得出全等结论，并注明所用的判定方法。
预习反思
我对哪些判定方法的理解还不够透彻？
在区分SAS和SSA时，我需要注意什么？
HL定理为什么只适用于直角三角形？
巩固练习
一、选择题
1．判断两个直角三角形全等的方法不正确的是(　　)
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
2．如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（　　）
A．已知两边及夹角 B．已知三边
C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
3．已知线段，求作，使，，，下面作法的合理顺序为（　　）
分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点；
作直线，在上截取；
连接，则为所求作的三角形．
A． B． C． D．
4．如图，数学辅导书上的三角形被墨水污染了，根据所学知识可以在空白纸上画出一个完全一样的三角形，其依据是 (　　)
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
5． 如图，已知AC∥DF 且AC=DF，BD=AE，则判定△FDE≌△CAB的依据是 (　　)
A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS
6．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是 (　　)
A． B．
C． D．
7．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（　　）
A．40° B．60° C．45° D．50°
8．如图，用直尺和圆规作. 根据作图痕迹可知，作图的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
9．如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC=△BFA，则需添加的条件是（　　）
A．EC=FA B．DC=BA C．∠D=∠B D．∠DCE=∠BAF
二、填空题
10． 如图所示， 点 均在正方形网格格点上， 则 　 　。
11．如图，已知线段a． b和，按要求尺规作图（不必写作法、保留作图痕迹）．
求作，使，
；
作图依据是．
12．如图，∠A=∠E， AC⊥BE，AB=EF，BE=18，CF=8，则AC=　 　.
13．如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了．则的理由是　 　．
14． 如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为　 　．
15．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝　 　．
16．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，　 　．
三、解答题
17．如图，A、C、D、B四点共线，且，，，求证：．
18． 如图， AC⊥CB，DB⊥CB， 垂足分别为C， B， AB=DC. 求证∠ABD=∠ACD.
19． 如图， 已知△ABC. 利用直尺和圆规作△ABD， 使∠BAD=∠BAC， AD=AC (点 D 与点C 在AB 的不同侧).
20．如图，已知，，相交于点，，．
（1）求证：．
（2）求证：．
21．如图，在 中，AD为中线，过点B作 于点E，过点C作 交AD的延长线于点 F.
（1）求证：BE=CF；
（2）若 的面积为7， 的面积为2，求 的面积.
参考答案
1．D
2．C
3．C
4．B
5．C
6．B
7．D
8．D
9．B
10．
11．
12．10
13．
14．
15．58°
16．
17．证明：、、、四点共线，且，
，即，
在和中，
，
，
．
18．证明：在 Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴ Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).
∴∠ABC=∠DCB，
∴ ∠ABD=∠ACD.
19．解：如图，△ABD即为所求
20．（1）证明：，
，
在和中，
，
，
．
（2）证明：如图，令交于点O，
，
，
，
，
．
21．（1）证明：∵AD 为△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵ BE⊥AD，CF⊥AF，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴BE=CF；
（2）解：由(1)可得，△BED≌△CFD，
∵△ABE的面积为7，△BDE 的面积为2，
∵AD为△ABC的中线，
∴△ACF的面积为11.

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