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17.2 用公式法分解因式（第1课时）教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学生学习了整式乘法公式的基础上，研究具有特殊形式的多项式分解因式的方法——公式法；学习运用平方差公式来分解因式。
2. 内容分析
本节课是在学生已掌握整式乘法公式的基础上，逆向研究如何将符合a2 b2形式的多项式，转化为(a+b)(a b)的整式乘积形式，即运用平方差公式进行因式分解。它是因式分解方法的拓展，也为后续学习完全平方公式等因式分解方法、分式化简等内容奠定基础，是代数运算体系中“逆向思维”应用的关键环节。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并运用平方差公式进行因式分解。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索并运用平方差公式进行因式分解。
（2）体会逆向思维，转化思想和整体思想，发展代数推理能力和运算素养，培养严谨的数学思维习惯。
2. 目标解析
（1）学生需先回顾整式乘法中的平方差公式，理解其“从整式乘积到多项式”的正向运算逻辑，再逆向推导“从多项式到整式乘积”的因式分解形式，明确a2 b2=(a+b)(a b)中a、b 可代表单项式、多项式等形式。通过实例练习，能准确识别多项式是否符合平方差公式的特征，并熟练运用公式将其分解为两个整式的乘积，掌握公式法分解因式的基本操作流程。
（2）从乘法的平方差公式到因式分解的平方差公式，引导学生突破“正向运算惯性”，理解数学运算的双向性，培养思维的灵活性。将陌生的因式分解问题，转化为已熟悉的平方差公式形式，把复杂问题简单化，建立新旧知识的关联转化，提升问题转化与解决能力。用整体思想识别平方差结构，拓展对公式中“字母”含义的理解。在探索公式应用、分析多项式特征、严谨推导分解过程中，锻炼代数推理能力；通过规范书写分解步骤、细致检查符号等，培养运算素养和严谨的数学思维习惯。
三、教学问题诊断分析
1.对平方差公式的结构特征理解不深，忽略两项符号需相反、均为平方形式等条件。应对策略：通过对比练习，分析是否满足“两项、异号、平方项”特征，结合整式乘法验证，加深对公式结构的精准识别。
2.当a、b 为多项式时，难以用整体思想识别平方差结构，不知如何下手。应对策略：先从简单的“整体代换”例子入手，让学生理解整体思想的应用；再逐步过渡到直接分析多项式，引导学生观察式子是否具备“两个整体的平方差”形式，多进行此类变式练习，强化整体思想的运用，突破思维障碍。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：熟练运用平方差公式对多项式进行因式分解。
四、教学过程设计
（一）复习引入
原题重现 计算红色区域的面积：
左图： a2 b2 右图：(a+b)(a b)
因为两个图中红色区域的面积相等，所以a2 b2=(a+b)(a b).
设计意图：借助几何图形面积计算，唤醒学生对整式乘法中图形面积计算的知识储备，以直观的方式呈现因式分解的平方差公式a2 b2=(a+b)(a b)，将代数公式与几何意义关联，降低公式的理解难度。
（二）合作探究
追问1　这个等式的左边有什么特点？
答 这个等式的左边是两个数的平方差的形式.
追问2　这个等式的右边有什么特点？
答 这个等式的右边是形如a+b的多项式与形如a b的多项式相乘.
追问3　你能用文字语言描述这个规律吗？
答 两个数(式子)的平方差，等于这两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积．
归纳 （因式分解的）平方差公式
符号语言 a2 b2=(a+b)(a b).
文字语言 两个数(式子)的平方差，等于这两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积．
设计意图：引导学生从式子左右两边的形式特点，逐步抽象出平方差公式的本质规律，并用文字语言精准描述，帮助学生深度理解公式结构，为后续运用公式分解因式筑牢认知基础，同时培养学生观察、分析、归纳的数学思维能力。
（三）典例分析
例1 分解因式：
(1) 4x2 9 ； (2)a2 25b2 .
解 (1)原式=(2x)2 32=(2x+3)(2x 3) ；
(2)原式=a2 (5b)2=(a+5b)(a 5b) .
例2 分解因式：
(1) x2 y4 ； (2) (x+p)2 (x+q)2.
解 (1)原式=x2 (y2)2=(x+y2 )(x y2) ；
(2)原式=[(x+p)+(x+q)(x+p) (x+q)]=(2x+p+q)(p q) .
温馨提示 1.看成整体的部分需要添括号；
2.去括号时要注意是否需要变号.
设计意图：通过例1让学生初步熟悉平方差公式的应用；例2则进阶到含多项式，需运用整体思想的情况，拓宽公式的应用场景。强调添括号、去括号等细节，帮助学生规范解题步骤，逐步提升运用平方差公式分解因式的熟练度与灵活度。
（四）巩固练习
1. 下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？
(1) x2+y2 ； 不能.
(2) x2 y2 ； 能，原式=(x+y)(x y).
(3) x2+y2 ； 能，原式=y2 x2=(y+x)(y x).
(4) x2 y2 . 不能.
2．因式分解：（ D ）
A． B．
C． D．
3．已知，，则的值为（ B ）
A． B． C．2 D．4
4. 分解因式：
(1) 36 m2 ； (2) 49n2 1 ； (3) a2 b2 ；
(4) 81a2 16b4 ； (5) 4b2 (b+c)2 ； (6) (m 2n)2 (m 2n)2 .
解 （1）原式=62 m2=(6+m )(6 m) .
（2）原式=(7n)2 12=(7n+1 )(7n 1) .
（3）原式=a2 (b)2=(a+ b)(a b) .
（4）原式=(9a)2 (4b2)2=(9a+4b2 )(9a 4b2) .
（5）原式=(2b)2 (b+c)2=[2b+(b+c)][2b (b+c)]=(3b+c)(b c).
（6）原式=[(m+2n)+(m 2n)][(m+2n) (m 2n)]=2m·4n=8mn.
5. 计算下列各题：
(1)1012 992 ； (2)53.52×4 46.52×4.
解 (1)原式=(101+99)(101 99)=200×2=400 ；
(2)原式=4(53.52 46.52)=4(53.5+46.5)(53.5 46.5)=4×100×7=2 800 .
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
归纳总结
感受中考
1．（2023·浙江杭州）分解因式：（ A ）
A． B． C． D．
2．（2025·山西）因式分解： ．
3．（2025·江苏扬州）分解因式： ．
4．（2025·江苏连云港）分解因式： ．
5．（2023·河北）若k为任意整数，则的值总能（ B ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
解：
，
∵能被3整除，
∴的值总能被3整除，
6．（2025·四川内江）已知实数a，b满足，则 ．
解：∵，
∴
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：借助思维导图，清晰呈现整式乘法与因式分解的互逆关系，以及平方差公式在两者间的反向变形联系。梳理提公因式法、平方差公式法等因式分解方法，帮助学生构建系统的知识框架，理解知识间的逻辑关联，强化对因式分解与整式乘法体系的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题17.2 第1，4(2)题.
2.探究性作业：习题17.2 第7题.
五、教学反思
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