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2025-2026学年人教版数学九年级上册 第二十三章 旋转
23.2.2 中心对称图形 （讲义）
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学习目标
理解中心对称图形的定义。
掌握中心对称图形的性质。
能够判断一个图形是否是中心对称图形。
了解常见的中心对称图形。
知识点梳理
一、 中心对称图形的定义
定义： 把一个图形绕着某一个点旋转一百八十度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
讲解：
关键词：“一个图形”、“绕某一个点旋转180°”、“与原来的图形重合”。
这个定义描述的是一个图形自身的特性，即它围绕自身内部（或外部）的一个特定点旋转180°后，能够和它本身完全重合。
这个“某一个点”就是这个中心对称图形的“对称中心”。
二、 中心对称图形的性质
性质1： 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
讲解：
在一个中心对称图形中，任意找一个点A，把它绕对称中心旋转180°后会得到它的对应点A'。
连接点A和点A'，这条线段AA'一定会经过对称中心，并且对称中心是线段AA'的中点，即：对称中心到点A的距离等于对称中心到点A'的距离。
这是中心对称图形非常重要的一个性质，由旋转的性质直接得到。
性质2： 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。
讲解：
同样，在中心对称图形中，任意一条线段AB，绕对称中心旋转180°后得到对应线段A'B'。
线段AB与线段A'B'的关系是平行的；如果原来的线段本身就经过对称中心，那么旋转后得到的对应线段就会与原线段在同一条直线上。
并且，线段AB的长度等于线段A'B'的长度。
三、 中心对称图形与中心对称的联系与区别（简要回顾，帮助理解）
中心对称： 指的是两个图形之间的关系。把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
中心对称图形： 指的是一个图形自身的特性。一个图形绕着自身的某一个点旋转180°后能与自身重合。
联系： 两者都涉及180°旋转重合，都有对称中心，对应点的连线都被对称中心平分。中心对称图形可以看作是一个图形自身关于对称中心成中心对称。
四、 中心对称图形的识别（判断方法）
判断一个图形是不是中心对称图形的方法：
先在图形中找一个点作为潜在的对称中心（有时图形的几何中心就是对称中心）。
想象将这个图形绕着这个点旋转180°。
观察旋转后的图形是否能与原来的图形完全重合。
如果能重合，则这个图形是中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
如果不能重合，则不是。
五、 常见的中心对称图形
平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）：它们的对称中心是两条对角线的交点。
圆：对称中心是圆心（圆有无数个对称中心吗？不，圆的对称中心只有一个，就是圆心。但圆有无数条对称轴。）
线段：对称中心是线段的中点。
其他：如正六边形（对称中心是其中心）等。
注意：等边三角形、等腰三角形、等腰梯形等不是中心对称图形。
知识点总结
中心对称图形定义： 一个图形绕某点旋转180°后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形，该点为对称中心。
中心对称图形性质：
对称中心平分连接图形上每一对对应点的线段。
对应线段平行（或共线）且相等。
判断方法： 尝试找到一个点，使图形绕该点旋转180°后与自身重合。
常见中心对称图形： 平行四边形（矩形、菱形、正方形）、圆、线段等。
巩固练习
一、选择题
1．下列数学符号既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C．× D．
2．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，下列所给图形中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．在等边三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、正方形中，一定是中心对称图形的有　 　个．
7．在英文字母V、W、X、Y、Z中，是中心对称图形的英文字母有　 　个．
8．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有　 　（填序号）．
①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形．
9．如图，直线垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D.若，，则阴影部分的面积之和为　 　.
10．如图，与关于点成中心对称，已知，则的长为　 　．
11．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是　 　.
三、解答题
12．（1）请从“吉祥如意”中选一字填在如图网格中，使整幅作品成为轴对称图形；
（2）请在如图网格中设计一个四边形图案，使整幅作品既是轴对称图形，又是中心对称图形．
13．如图，正方形ABCD 与正方形 关于某点中心对称.已知A， ，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2).
（1）求对称中心的坐标：
（2）写出顶点B，C， 的坐标。
14．如图， 的图像交x轴于O点和A点，将此抛物线绕原点旋转180°得图像y2，y2与x轴交于O点和B点.
（1）若 ，则y2=　 　 .
（2）设 的顶点为C，则当△ABC为直角三角形时，请你任写一个符合此条件的 的表达式　 　.
15．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，﹣1）、C（﹣4，﹣4）．
（1）画出△ABC关于原点O或中心对称的△A1B1C1；
（2）作出点A关于x轴的对称点A′，若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部（不包括顶点和边）．
①在图中画出点A′，并写出点A′坐标　 　．
②写出a的取值范围为　 　．
参考答案
1．C
2．D
3．D
4．B
5．C
6．
7．
8．②④⑤
9．6
10．
11．2
12．解：（1）如图所示：
；
（2）如图所示：
．
13．（1）解：∵D和D1是对称点，
∴对称中心是线段DD1的中点．
∴对称中心的坐标是(0， )
（2）解：∵已知A，D两点的坐标分别是(0，4)，(0，2)，
∴正方形的边长为2.
∵A，B纵坐标相同，
∴B(－2，4)
∵C点纵坐标与D点纵坐标相同，横坐标与B点横坐标相同，
∴C(－2，2)．
∵C1，D1纵坐标相同，正方形边长为2，
∴C1(2，3)．
∵C1，B1横坐标相同，B1，A1纵坐标相同，
∴B1(2，1).
14．（1）-2x2-3x
（2）y1=(x 1)2
15．（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）（﹣2，2）；4＜a＜6

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