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18.5分式方程 第1课时 教学设计
一、内容与内容解析
（一）教学内容
本节课是人教版初中数学八年级（上册）第十八章第五节“分式方程”第一课时，核心是分式方程的概念、分式方程与整式方程的区别，以及可化为一元一次方程的分式方程的解法（不含增根情况）。
（二）教学内容解析
地位与作用：分式方程是“整式方程”的延伸，是刻画现实问题中“含有分式关系”数量关系的重要模型，也是后续学习反比例函数、二次方程应用的基础，在初中代数知识体系中起到“承上启下”的作用。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：
【教学重点】分式方程的概念及解法
二、目标与目标解析
（一）教学目标
1. 理解分式方程的定义，能准确判断一个方程是否为分式方程。
2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法（不含增根），能规范书写解题步骤。
3. 体会“转化思想”（将分式方程转化为整式方程），初步感知“检验”的必要性，培养严谨的解题习惯。
（二）教学目标解析
达成目标1：能通过对比整式方程，指出分式方程“分母含未知数”的本质特征，对给定的方程能准确分类。
达成目标2：面对如分式方程，能自主完成“去分母（乘最简公分母）→解整式方程→检验→写答案”的完整步骤，计算结果准确。
达成目标3：在解题过程中，能说出“为何要乘最简公分母”（将分式转化为整式），并解释“检验”的目的（防止分母为0，保证方程有意义）。
三、学生学情分析
学生已掌握一元一次方程的解法，理解分式的概念及基本性质，能进行分式的化简运算，具备“将未知问题转化为已知问题”的初步转化思想。 对“检验步骤”重视不足，认为是“多余操作”，不理解增根产生的原因，解题后常省略检验。基于上述分析，确定本节课的教学难点为：
【教学难点】理解“去分母”的依据（等式性质2），以及为何去分母后需检验（避免增根）。
四、教学策略分析
复习导入策略：对比唤醒，搭建桥梁
通过“复习+对比”导入：先让学生用科学记数法表示680000（大于1的数），回顾“小数点左移n位，指数为正n”；再抛出问题“如何表示0.00068”，引发认知冲突，自然过渡到本节课主题，实现知识迁移的铺垫。
五、教学过程分析
（一）情境引入
为解决章引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分式表示问题中的量，根据问题中的等量关系得到了方程
①
方程①的分母中含有未知数，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程 . 我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中.
设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。
（二）主动参与、感悟新知
为解决引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分式表示问题中的量，根据问题中的等量关系得到了方程＝．仔细观察这个方程，未知数有什么特点？
　　【新知】方程＝的分母中含有未知数，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程．
　　注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数都不在分母中．
　　【练习】判断下列式子是不是分式方程？若不是，请说明理由．
　　（1）＝5； （2）＝1；
　　（3）x2－x＋＝5； （4）－；
　　（5）＋＝7； （6）－＝1．
　　【答案】（1）（5）（6）是分式方程；
　　（2）（3）（4）不是分式方程．
　　理由：（2）（3）分母中不含未知数，不是分式方程；（4）不是方程．
　　【归纳】分式方程的三个特征：
　　①是方程；
　　②方程中含分母；
　　③分母中含有未知数．
特别注意，判断一个式子是不是分式方程时，不能对式子进行约分、通分变形，更不能利用等式的性质对其进行变形．
解分式方程：＝．
　　【追问】1．如何将分式方程化为整式方程？
　　【追问】2．如何去分母？去分母的依据是什么呢？
　　【答案】解：方程两边同乘(30＋v)(30－v)，得90(30－v)＝60(30＋v)．
　　解得v＝6．
　　【追问】v＝6是分式方程＝的解吗？你是怎样确定的？
【答案】将v＝6代入分式方程中，左边＝，右边＝，这时左、右两边的值相等，因此v＝6是原分式方程的解．
由此可知，江水的流速为6 km/h．
　　【思考】将分式方程化成整式方程的关键步骤是什么？
　　【答案】方程两边乘最简公分母，去分母．
运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程
, ②
你发现了什么问题？
类似于解分式方程①，在分式方程②的两边乘最简公分母(x－5)(x+5)，去分母得整式方程
x＋5=10.
解得 x=5.
将x=5代入②，分母x－5和x2－25的值都为0，相应的分式无意义. 因此，x=5虽然是整式方程x+5=10的解，但不是分式方程 = 的解. 实际上，这个分式方程无解.
思考：比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢
分式方程 = 中隐含条件x2－25≠0，当将分式方程转化为整式方程时，这一条件就不存在了，实际上，在将方程 = 转化为整式方程时，将原来分式方程的解的范围扩大了，会产生所得整式方程的解不是分式方程的解的情况，也就是分式方程无解.
【例1】解方程.
【解】方程两边乘 x(x-3)，得
2x = 3x-9.
解得x = 9.
检验：当x = 9时， x(x-3) ≠ 0.
所以，原分式方程的解为x = 9.
【例2】解方程.
【解】方程两边乘(x-1)(x+2)，得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得 x=1.
检验:当 x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此 x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
解分式方程的一般过程：
（三）课堂总结
1、本节课研究了什么问题？
2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？
3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？
【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。
（四）布置作业、巩固提高
1.下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　)
A. B. C. D.
2.要把方程化为整式方程,方程两边可以同乘以( )
A.3y-6 B.3y C.3(3y-6) D.3y(y-2)
3.解方程:
(1); (2).
4.若关于x的方程无解，求m的值.
若关于x的方程解为正数，求m的取值范围.

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