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18.5分式方程 第2课时 教学设计
一、内容与内容解析
（一）教学内容
本节课是人教版初中数学八年级（上册）第十八章第五节“分式方程”第2课时，核心是列分式方程解决实际问题（涵盖行程问题、工程问题、利润问题等典型类型），以及列分式方程解应用题的完整步骤（审题、设元、列方程、解方程、检验、作答）。
（二）教学内容解析
地位与作用：分式方程的应用是“分式方程解法”的实际延伸，是用代数方法解决现实问题的关键载体，既巩固了分式方程的解法，又为后续学习二次函数、一元二次方程的应用奠定“建模思想”基础，是连接数学知识与生活实际的重要桥梁。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：
【教学重点】掌握列分式方程解应用题的步骤，能根据实际问题等量关系列出方程
二、目标与目标解析
（一）教学目标
1. 能根据实际问题（如行程、工程问题）的数量关系，准确列出分式方程。
2. 掌握列分式方程解应用题的完整步骤，能规范完成“审题→设元→列方程→解方程→检验→作答”全过程。
3. 体会“数学建模思想”，感受数学在解决实际问题中的价值，提升分析问题和解决问题的能力。
（二）教学目标解析
达成目标1：面对“甲、乙两人走同一段路，甲速度比乙快2km/h，甲用3小时，乙用4小时，求路程”这类问题，能自主找出“路程=速度×时间”的等量关系，设出未知数并列出分式方程。
达成目标2：解题时能完整呈现步骤，尤其不省略“检验”环节，既验证解是否使分式分母不为0，又判断解是否符合实际（如时间、速度不能为负数），最终规范写出作答内容。
达成目标3：在分析问题时，能主动将实际场景转化为数学语言（等量关系），理解“列方程”本质是建立数学模型，解决问题后能说出“这个数学方法帮我们解决了生活中的什么问题”。
三、学生学情分析
学生已掌握分式方程的解法，熟悉一元一次方程应用题的解题思路（审题、设元、列方程等），对行程问题（路程、速度、时间）、工程问题（工作总量、工作效率、工作时间）的基本数量关系有一定认知。
潜在困难与挑战
1. 找等量关系难：实际问题文字描述复杂，学生易混淆“谁比谁快”“谁比谁多”等关系，难以从题干中提炼出核心等量关系（如行程问题中易将“时间差”与“速度差”的关系弄反）。
2. 设元不恰当：习惯设“直接未知数”（如求速度设速度为x），但遇到需设“间接未知数”（如求路程却需先设速度为x）的问题时，会无从下手。
3. 忽略双重检验：仅检验解是否使分母不为0，忘记检验解是否符合实际意义（如求出“时间为-2小时”却未发现错误）。
4. 单位不统一：题干中若出现不同单位（如“速度km/h”与“时间分钟”），学生易忽略单位换算，导致方程列错。
基于上述分析，确定本节课的教学难点为：
【教学难点】准确找到实际问题中的“等量关系”，以及对解的“双重检验”（检验是否为分式方程的解、检验是否符合实际意义）。
四、教学策略分析
1. “问题串”引导法：针对复杂实际问题，设计阶梯式问题串（如“题目求什么？”“已知哪些条件？”“涉及哪些数量关系？”“哪个量可以设为未知数？”），帮助学生逐步拆解问题，找到等量关系。
2. “对比建模”法：对比“一元一次方程应用题”与“分式方程应用题”的解题步骤，突出两者“设元、列等量关系”的共性和“分式方程需双重检验”的差异，降低学习迁移难度。
3. “错题归因”法：收集学生列方程时的典型错误（如等量关系错、单位未换算、设元不当），组织学生分组分析错误原因，通过“纠错→重构”加深对解题关键的理解。
4. “分层练习”法：设计基础题（直接找等量关系）、提升题（需间接设元）、拓展题（多变量问题），满足不同层次学生需求，让学生逐步掌握解题技巧。
五、教学过程分析
（一）情境引入
提问：“解分式方程的步骤是什么？关键要注意什么？”（学生回答：去分母、解整式方程、检验；注意检验分母不为0）。
情境导入：呈现问题“为响应‘低碳出行’，小明骑共享单车从家到图书馆，原计划每小时骑12km，实际每小时骑15km，结果提前10分钟到达，小明家到图书馆的距离是多少？”
引出课题：提问“这个问题能用我们学过的一元一次方程解决吗？如果用分式方程，该如何列？”，引出本节课主题——分式方程的应用。
设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。
（二）主动参与、感悟新知
某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。
Ⅰ、你能找出这一情景中的相等关系吗？
(1) 第二年房屋租金=第一年房屋租金+500元
(2) 第二年出租房屋间数=第一年出租房屋间数
(3) 出租房屋的总租金=每间房屋的租金×出租房屋间数
Ⅱ、根据这一情景你能提出哪些问题？
(1) 求出租房屋的总间数
(2) 分别求两年每间出租房屋的租金
Ⅲ、你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年每间房屋的
租金为(x+500)元，根据题意，得
解得x=800
【例1】抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3h才能完成.现甲、乙两队合作2h后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成.甲、乙两队单独完成全部工程各需要多少小时？（列方程解答）
【解析】关键描述语为“甲、乙两队合作2h后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成”；等量关系为甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成全部工程需要的时间＝1.
【解】设甲队单独完成全部工程需要xh，则乙队单独完成全部工程需要（x＋3）h.
由题意，得＋＝1，
解得x＝6.
经检验，x＝6是原分式方程的解，且符合实际，
∴x＋3＝9.
答：甲队单独完成全部工程需要6h，乙队单独完成全部工程需要9h.
【方法总结】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决分式方程的应用问题的关键.本题需注意乙工作的时间正好是甲单独完成这项工程的时间.
【例2】为了响应“倡导绿色出行，从身边做起”，小李将上班方式由自驾改为骑共享单车.他从家到上班地点，自驾要走的路程为8.4km，骑共享单车要走的路程为6km.已知小李自驾的速度是骑共享单车速度的2.4倍，他由自驾改为骑共享单车后，时间多用了10min.小李自驾和骑共享单车的速度分别为多少？
【解析】设骑共享单车的速度为xkm/h，则自驾的速度是2.4xkm/h.根据“骑共享单车时间－自驾时间＝10min”列分式方程求解即可.
【解】设骑共享单车的速度为xkm/h，则自驾的速度为2.4xkm/h.
根据题意，得－＝，
解得x＝15.
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合实际，
∴2.4x＝2.4×15＝36.
答：小李自驾的速度为36km/h，骑共享单车的速度为15km/h.
【方法总结】由实际问题抽象出分式方程.解答本题的关键是读懂题意，设未知数，找出合适的等量关系，列出分式方程.
分式方程解应用题的一般步骤：
审:审题，明确题意和题目中的数量关系；
设：用字母表示题目中的未知数；
找：找出表示题目全部含义的相等关系；
列：根据相等关系列出分式方程；
解：解分式方程得未知数的值；
验：检验所求值是否为原方程的根，是否符合实际；
答：写出答案，包括单位。
（三）课堂总结
1、本节课研究了什么问题？
2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？
3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？
【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。
（四）布置作业、巩固提高
１．八年级学生去距学校30km的中国人民抗日战争纪念馆参观， 一部分学生乘大巴先出发，过 了5min，其余学生乘中巴出 发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度．
２．甲、乙两人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做６个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做零件多少个
３．甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的平均速度比是３∶４，结果甲比乙提前20min到达目的地．求甲、乙的平均速度．
４．Ａ，Ｂ两种机器都被用来搬运化工原料，Ａ型机器比Ｂ型机器每小时多搬运30kg，Ａ型机器搬运900kg所用时间与Ｂ型机器搬运600kg所用时间相等， 两种机器每小时分别搬运多少化工原料？
５．王芳3h清点完一批图书的一半，刘伟加入清点另一半图书的工作，两人合作 1.2ｈ清点完另一半图书．刘伟单独清点这批图书需要几小时？

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