资源简介

初中数学人教版（2012）九年级上册
24.2.1 点和圆的位置关系
课标分析
根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，本节"点和圆的位置关系"属于"图形与几何"领域，重点培养学生几何直观和推理能力。课标要求通过射击靶实例建立数学模型，理解点与圆的三种位置关系（、、），掌握确定圆的条件：过一点可作无数圆，过两点圆心在垂直平分线上，过不共线三点可唯一确定圆（外接圆概念）。特别强调通过反证法培养逻辑推理能力，要求学生能运用反证法证明简单命题（如共线三点不能作圆），体会反证法的思维过程，发展批判性思维。内容设置体现了从生活实际抽象数学问题、通过探究发展几何直观的核心素养要求。
教材分析
本节课“点和圆的位置关系”是在学生已经掌握圆的基本概念和性质的基础上展开的，主要研究点与圆之间的三种位置关系及其判定方法，并进一步探讨过一点、两点及不在同一直线上的三点作圆的情况，引出三角形外接圆和外心的概念，同时通过反证法证明共线三点不能作圆。教学过程通过实际问题引入，结合观察、操作、推理等方式，引导学生理解点与圆的关系及其几何意义。本节内容与前一节圆的定义和性质密切相关，也为后续学习直线与圆的位置关系、圆的切线性质及圆内接四边形等内容奠定基础。本节课有助于提升学生的空间观念、逻辑推理能力和几何语言表达能力，同时为后续圆的相关知识学习提供理论支持和方法准备。
学情分析
九年级学生已经掌握了圆的基本概念、点到圆心的距离及垂直平分线等相关知识，具备一定的几何直观和逻辑推理能力，能够理解图形与数量之间的关系，这个阶段的学生抽象思维逐步发展，但对于反证法的思想和确定圆心的过程仍可能存在理解困难，本节课通过探究点与圆的位置关系、经历作圆的过程以及引入反证法，帮助学生进一步发展合情推理和演绎推理能力，理解几何问题的逻辑结构，提升数学思维水平，同时为后续学习圆的其他性质奠定基础。
教学目标
理解点与圆的三种位置关系（在圆内、在圆上、在圆外），掌握判断点与圆位置关系的几何条件，提升空间观念和几何直观能力，发展逻辑推理与数学表达能力。
通过探究过一点、两点及三点作圆的情况，理解确定圆的条件，掌握不在同一直线上的三点确定一个圆的结论，培养归纳推理能力，提升数学抽象与逻辑推理素养。
了解反证法的基本思想和步骤，能用反证法解释“三点共线不能确定一个圆”的结论，增强逻辑推理能力和批判性思维，提升数学论证与问题解决能力。
重点难点
重点：理解点和圆的位置关系及判定，掌握不在同一直线上三点确定一个圆，了解外接圆和外心概念。
难点：理解反证法的原理及应用，探究经过不同点作圆的情况。
课前任务
1.知识回顾：
上节课学习了圆的基本性质，回顾圆的半径、圆心等概念。思考：如何确定一个圆的大小和位置？
2.预习教材：
阅读教材中关于点和圆位置关系、作圆相关内容。标记出点和圆位置关系的判断依据，即设半径为，点到圆心距离，与不同大小关系对应的位置情况。记录不理解处。
3.问题思考：
射击时击中靶不同位置成绩不同，若靶心为圆心，思考弹着点位置与成绩有何联系？结合预习，想想已知一点、两点、不在同一直线三点，能作几个圆？
课堂导入
同学们，大家都玩过飞镖游戏吧。想象一下，飞镖盘就像一个巨大的圆，当我们投出飞镖，飞镖落在盘上不同位置，就对应着不同的得分。那飞镖落点与镖盘圆心的距离和得分之间有什么关系呢？其实这就涉及到点和圆的位置关系。就如同在一个圆形的操场上，同学们站在不同位置，与操场中心的距离不同，这和飞镖落点与镖盘圆心的情况类似。今天，我们就一起来深入探究点和圆的位置关系，看看它背后还藏着哪些有趣的数学知识。
点和圆的位置关系
探究新知
（一）知识精讲
首先，我们通过射击靶的实例来研究点和圆的位置关系。观察图，可以看到靶子由多个同心圆组成，击中不同位置的成绩取决于弹着点与靶心的距离。
如图所示，设的半径为，点在圆内，点在圆上，点在圆外。根据点到圆心的距离与半径的关系，我们可以得出：
点在圆外
点在圆上
点在圆内
接下来，我们探究如何通过已知点作圆。经过一个已知点可以作无数个圆，因为只要以点外任意一点为圆心，以该点与的距离为半径即可。如图(1)所示。
经过两个已知点、作圆时，圆心必须在线段的垂直平分线上，因此也可以作无数个圆，如图(2)所示。
对于不在同一直线上的三点、、，我们可以通过作两条边的垂直平分线找到圆心，如图所示。这样确定的圆是唯一的，称为三角形的外接圆，圆心称为外心。
最后，我们通过反证法证明：同一直线上的三点不能确定一个圆。如图24.2-5所示，假设可以作圆，会导致矛盾。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果已知一个圆的半径是5cm，点P到圆心的距离是3cm，那么点P在圆的什么位置？
学生回答：因为3cm<5cm，所以点P在圆内。
教师追问：很好！那如果我们要作一个圆经过点A和点B，圆心应该满足什么条件？
学生思考后回答：圆心必须在线段AB的垂直平分线上，因为到A、B两点的距离要相等。
教师继续提问：为什么不在同一直线上的三点能确定一个圆，而同一直线上的三点不能呢？
学生回答：因为不在同一直线上的三点可以找到唯一的圆心，而在同一直线上的三点会导致垂直平分线平行，无法找到共同的圆心。
（三）设计意图
通过射击靶的实际情境引入点和圆的位置关系，帮助学生建立数学与生活的联系，激发学习兴趣。通过作图探究和反证法的运用，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。师生互动环节设置层层递进的问题，引导学生深入思考，理解确定圆的条件和原理，掌握判断点与圆位置关系的方法。整个探究过程注重培养学生的观察能力、分析能力和严谨的数学思维。
新知应用
例1：如图，设⊙O的半径为，点到圆心的距离为。根据点与圆的位置关系，判断以下三种情况中点分别位于圆的什么位置，并说明理由：
解答：
我们根据教材中给出的结论：“点与圆的位置关系由点到圆心的距离与半径的大小关系决定。”
当时：
点到圆心的距离小于半径，说明点在圆的内部。
因为圆的内部是由所有到圆心距离小于半径的点组成的集合。
所以，点在圆内。
当时：
点到圆心的距离等于半径，这正好符合圆的定义：
圆是由所有到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点组成的集合。
所以，点在圆上。
当时：
点到圆心的距离大于半径，说明点不在圆上，也不在圆内，而是在圆的外部。
因为圆的外部是由所有到圆心距离大于半径的点组成的集合。
所以，点在圆外。
总结：
1.题目考查内容
点与圆的位置关系；
点到圆心的距离与半径之间的比较；
圆的定义及其几何意义。
2.题目求解要点
理解点与圆的三种位置关系（圆内、圆上、圆外）；
掌握判断点与圆位置关系的标准是点到圆心的距离与半径的大小关系；
能够根据与的比较结果，准确判断点的位置；
结合图形理解抽象的数学关系，提升数形结合能力。
板书设计
点和圆的位置关系
位置关系判断
设半径为，点到圆心距离
点在圆外
点在圆上
点在圆内
确定圆的条件
过一点：有无数个圆
过两点、：有无数个圆，圆心在垂直平分线上
过不在同一直线三点、、：确定一个圆
三角形外接圆与外心
反证法
证明思路：假设结论不成立，推出矛盾
教学反思
本节课围绕点与圆的位置关系展开，通过射击靶情境引入，引导学生探究点与圆的三种位置关系及其判定方法，并进一步探讨过一点、两点及三点作圆的情况，引出外心与外接圆的概念，最后通过反证法证明共线三点不能确定一个圆。教学设计符合课标要求，注重知识的逻辑推理与几何直观培养。课堂中学生积极参与探究活动，能够理解点与圆的位置关系判定方法，并初步掌握反证法的逻辑结构。成功之处在于情境引入贴近生活，激发了学生兴趣；不足在于对反证法的理解部分学生仍显困惑，今后需通过更多实例加强逻辑推理训练，提升学生的抽象思维能力。

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