资源简介

初中数学人教版（2012）九年级上册
24.1.3 弧、弦、圆心角
课标分析
根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，本课内容属于"图形与几何"领域中的圆的性质探究。课标强调通过操作观察发展几何直观能力，要求学生理解圆的旋转对称性这一核心概念，掌握圆心角、弧、弦三者关系的定理及其逆定理。教学需引导学生经历"操作-猜想-验证"的完整探究过程，通过旋转圆形纸片等直观活动，建立圆心角相等弧相等弦相等的逻辑链条，培养几何推理能力。重点在于运用旋转对称性证明时、的对应关系，同时要渗透"同圆或等圆中"这一重要前提条件，为后续学习圆周角定理奠定基础。
教材分析
本节课内容围绕圆的基本性质展开，重点探究了圆心角、弧、弦之间的关系，通过旋转的方法验证了在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧和弦分别相等，并进一步得出三条等价关系。教学过程通过动手操作、观察比较、推理验证等方式引导学生理解定理的来龙去脉。本节内容承接了前面对圆的基本概念和中心对称性的学习，同时为后续研究圆周角、扇形面积、弧长公式等内容提供了理论依据。本节课的学习不仅帮助学生建立图形变换与几何证明之间的联系，还提升了学生的逻辑推理能力和空间观念，为深入学习圆的相关知识打下坚实基础。
学情分析
九年级学生已经掌握了圆的基本概念、中心对称图形的性质以及角度、弧、弦等相关基础知识，具备一定的几何推理能力，能够进行简单的图形变换和逻辑分析，但面对抽象的圆心角与弧、弦之间关系的推理论证，仍需借助直观操作和具体实例来加深理解，本节课通过旋转圆形纸片的操作活动，引导学生探索在同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的相等关系，帮助学生进一步发展合情推理能力和几何语言表达能力，同时提升对圆的对称性及其应用的认识，为后续学习圆的其他性质和相关计算奠定基础。
教学目标
理解圆是中心对称图形，掌握圆心角、弧、弦的概念，能够通过旋转探索圆的性质，提升空间观念和几何直观核心素养，发展抽象思维与推理能力。
掌握在同圆或等圆中，相等圆心角与所对弧、弦之间的关系，能运用定理进行简单推理和判断，培养逻辑推理能力和数学语言表达能力，增强对几何证明的理解。
通过动手操作与定理探究，体会从特殊到一般的数学思想，激发学习兴趣，培养合作交流意识与严谨的数学态度，提升发现问题和解决问题的能力。
重点难点
重点：理解并掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的相等关系定理。
难点：对同圆或等圆中，圆心角、弧、弦关系定理的推导及灵活应用。
课前任务
1.知识回顾：
上节课我们学习了圆的对称性，还记得圆是轴对称图形，有无数条对称轴吧？请大家思考下，对称轴是哪条直线呢？
2.预习教材：
翻开教材，阅读弧、弦、圆心角这部分内容。了解圆的中心对称性质，重点关注在同圆或等圆中，圆心角与它所对弧、弦之间的关系，将相关结论记录在预习笔记上，有疑问处做好标记。
3.问题思考：
在同圆中，若两条弦长度相等，它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？结合预习内容，思考并尝试说明理由。
课堂导入
同学们，我们先来玩个小游戏。老师手中有一个圆形的转盘，上面均匀分布着不同的区域。假设转动转盘，指针落在不同区域有不同奖励。现在思考，如果把这个转盘绕中心旋转一定角度，大家想想指针原本指向的区域，在旋转后是否能与其他区域完全重合呢？其实，这背后就隐藏着圆的重要性质。圆作为我们生活中常见又特殊的图形，有着许多独特之处。今天，我们就从圆绕圆心旋转这个现象出发，进一步探究与圆紧密相关的弧、弦、圆心角之间的关系，一起开启这段有趣的数学探索之旅吧。
弧、弦、圆心角
探究新知
（一）知识精讲
让我们通过实际操作来探究圆的一个重要性质。请同学们准备一个圆形纸片，将其绕圆心旋转180°，观察旋转后的图形与原图形的关系。通过这个实验可以发现，旋转后的图形与原图形完全重合。这说明圆具有中心对称性，圆心就是它的对称中心。
进一步思考：如果将圆绕圆心旋转任意一个角度，比如30°或45°，结果会怎样呢？通过实验观察可以发现，无论旋转多少度，旋转后的图形总是能与原图形重合。这个性质说明圆不仅具有中心对称性，还具有旋转对称性。
基于这个性质，我们来研究圆心角及其所对的弧、弦之间的关系。顶点在圆心的角叫做圆心角（central angle）。观察图中，当时，它们所对的弧和、弦和之间有什么关系呢？
通过旋转的方法可以证明：将连同绕圆心旋转，使射线与重合。因为，所以射线与重合。又因为，，所以点与重合，点与重合。因此，与重合，与重合。这说明在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
由此我们得到重要定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果在一个圆中，两条弦的长度相等，那么它们所对的圆心角的大小有什么关系呢？
学生回答：根据刚才学到的定理，在同圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角也相等。
教师追问：很好！那么反过来，如果两个圆心角不相等，它们所对的弦的长度会怎样变化呢？
学生思考后回答：圆心角较大的话，它所对的弦也会比较长；圆心角较小的话，它所对的弦也会比较短。
教师继续引导：非常正确！那如果是在两个半径不同的圆中，相等的圆心角所对的弦的长度会相等吗？为什么？
学生回答：不会相等，因为圆的半径不同，弦的长度不仅与圆心角有关，还与圆的半径有关。
（三）设计意图
通过实际操作和图形观察，引导学生发现圆的对称性和旋转不变性，培养学生的空间观念和几何直观能力。通过探究圆心角与弧、弦之间的关系，帮助学生建立几何概念之间的联系，发展逻辑推理能力。采用实验观察、图形分析和逻辑推理相结合的方式，让学生经历从具体到抽象、从直观到逻辑的数学思维过程，培养严谨的数学思维习惯。通过师生互动的问题链设计，引导学生深入思考几何元素之间的相互关系，加深对定理的理解和应用能力。
新知应用
例1：如图，在⊙O中，，，求证：。
解答：
我们来一步一步分析这个题目：
第一步：理解已知条件
已知：，即弧AB与弧AC相等；
，即三角形ABC中角C为60度；
要证：，即三个圆心角相等。
第二步：由弧相等推出弦相等
根据教材中给出的定理：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的弦也相等。
所以由 ，可以推出：
第三步：分析三角形ABC的形状
由于 ，所以 是等腰三角形。
又已知 ，在等腰三角形中，若一个角为60度，那么这个三角形就是等边三角形。
因此：
所以：
第四步：由弦相等推出圆心角相等
根据教材定理：
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等。
因为 ，所以对应的圆心角也相等：
第五步：结论
因此，我们成功证明了：
总结：
1.题目考查内容
① 圆中弧、弦、圆心角之间的关系；
② 等边三角形的判定与性质；
③ 利用圆的对称性进行几何推理。
2.题目求解要点
① 由弧相等推出弦相等，是解题的起点；
② 结合角度信息判断三角形为等边三角形，是关键推理步骤；
③ 最后利用弦相等推出圆心角相等，完成证明。
板书设计
弧、弦、圆心角
圆的性质
中心对称图形，圆心是对称中心
绕圆心旋转任意角度与原图形重合
圆心角定义：顶点在圆心的角
同圆或等圆中的关系
相等圆心角所对弧相等，所对弦相等
相等弧所对圆心角相等，所对弦相等
相等弦所对圆心角相等，所对弧相等
教学反思
本节课围绕圆心角、弧、弦之间的关系展开，通过旋转探究圆的中心对称性，引导学生理解并掌握在同圆或等圆中，相等圆心角所对弧和弦相等的定理。教学设计注重直观操作与逻辑推理结合，学生通过动手实验和几何证明加深了对知识的理解。整体来看，教学目标达成较好，学生能积极参与探究活动，课堂氛围活跃。但仍存在不足：部分学生对定理的逆用理解不够深入，推理过程不够严谨；在几何语言表达方面仍有待加强。今后教学中应设计更多变式训练，强化几何思维和语言表达能力的培养。

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