资源简介

初中数学人教版（2012）九年级上册
25.1.2 概率
课标分析
根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求，本部分内容属于"统计与概率"领域中的"随机事件发生的可能性"主题。课标要求学生通过具体情境理解概率的意义，掌握用数值刻画事件发生可能性的方法，重点理解古典概型中概率计算公式的推导过程及其应用。要求学生能够识别等可能事件，计算简单事件的概率，并理解概率的取值范围。通过具体实例，体会概率与事件发生可能性大小的对应关系，建立概率与分数之间的数感，为后续学习更复杂的概率知识奠定基础。教学中应注重通过实际操作活动，让学生经历概率概念的建构过程。
教材分析
本节课内容围绕概率的基本概念展开，通过具体实例引入随机事件发生的可能性大小，并用数值刻画这种可能性，进而给出概率的定义及计算公式。教材通过抽纸团和掷骰子两个试验，归纳出古典概型的特点及概率计算方法，并说明概率的取值范围及其意义。教学过程可通过设计类似试验让学生亲历观察、分析、归纳的过程，理解概率的意义和计算方式。本节内容与小学阶段学习的简单可能性有联系，是进一步学习概率统计知识的基础。本节课不仅帮助学生建立概率意识，提升数据分析观念，还为后续学习统计与概率的综合应用、事件的独立性等内容做好铺垫，具有承上启下的作用。
学情分析
七年级学生已学习了简单事件的可能性，对随机事件有初步认识，具备一定的数据分析观念，为学习概率奠定了基础。本阶段学生以具体形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维过渡，能够通过实例归纳一般规律，但对概率的抽象定义和公式理解可能存在困难。本节课通过具体试验归纳概率定义，用事件包含结果数与总结果数的比刻画可能性大小，帮助学生理解概率的意义及计算方法，同时发展学生的随机观念和数据分析能力，为后续学习统计与概率的综合应用打下基础。
教学目标
理解概率的意义，掌握随机事件发生可能性的数值刻画方法，通过具体实例提升数据分析和数学建模核心素养，增强对随机现象的认识与判断能力。
掌握等可能事件的概率计算公式，理解其适用条件，提升逻辑推理和数学运算能力，发展抽象思维与问题解决能力。
理解概率的取值范围及其现实意义，认识必然事件与不可能事件的概率特征，通过比较事件发生的可能性大小，培养数感和统计观念，提升数学交流与应用意识。
重点难点
重点：理解概率的定义，掌握公式并会运用其计算概率。
难点：准确判断试验是否符合等可能性条件，理解概率取值范围的意义。
课前任务
1.知识回顾：
上节课学习了随机事件，回忆什么是随机事件？比如“明天会下雨”属于哪种事件？通过思考加深对随机事件概念的理解。
2.预习教材：
阅读教材概率相关内容，了解概率的定义，明确具有哪些特点的试验可按特定方法求概率。记录公式及等重点，标记不理解处。
3.问题思考：
抛一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”这个事件的概率是多少？思考生活中还有哪些类似的事件可求概率，与同学交流。
课堂导入
同学们，今天咱们来做个有趣的游戏。老师手里有一个不透明的袋子，里面装着形状、大小完全相同的10个球，其中7个红球，3个白球。现在老师随机从袋子里摸出一个球，大家猜猜会是什么颜色？可能是红球，也可能是白球，这就是随机事件。那摸到红球和白球的可能性究竟有多大呢？能不能用一个数值来准确刻画这种可能性的大小呢？带着这样的疑问，让我们一起走进今天的数学课堂——概率，来探索如何衡量随机事件发生可能性的大小。
概率
探究新知
（一）知识精讲 在现实生活中，我们经常会遇到一些随机事件，比如抽签、掷骰子等。这些事件的结果具有不确定性，但我们仍然可以用数值来刻画它们发生的可能性大小。
观察下面的例子：从写有数字1、2、3、4、5的五个纸团中随机抽取一个，每个数字被抽到的可能性是相等的。因为共有5种可能的结果，所以每个数字被抽到的概率可以表示为。类似地，掷一枚骰子时，向上一面的点数有6种可能的结果，每种结果出现的概率为。
通过这两个例子，我们可以发现，如果试验满足以下两个条件：
每次试验可能出现的结果只有有限个；
每次试验中，各种结果出现的可能性相等。
那么，我们就可以用事件包含的可能结果数与所有可能结果总数的比值来表示该事件发生的概率。例如，在抽纸团的试验中，"抽到偶数"这一事件包含2和4两种结果，因此概率为。
一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，且每种结果发生的可能性相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为：
由于，因此概率的取值范围是。特别地，当为必然事件时，；当为不可能事件时，。概率越接近1，事件发生的可能性越大；概率越接近0，事件发生的可能性越小。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果我们在一个装有3个红球和2个白球的袋子中随机摸一个球，摸到红球的概率是多少？
学生回答：总共有5个球，红球有3个，所以概率是。
教师追问：很好！那如果袋子里的红球增加到4个，白球减少到1个，摸到红球的概率会如何变化？
学生思考后回答：摸到红球的概率会变大，因为红球的比例增加了，新的概率是。
教师继续引导：没错！这说明概率的大小与事件包含的可能结果数密切相关。那么，如果袋子里的球总数不变，但红球和白球的数量相等，摸到红球的概率又是多少呢？
学生回答：这时概率是，因为红球和白球的数量相同，摸到它们的可能性相等。
（三）设计意图
通过具体的生活实例和直观的数学表达，帮助学生理解概率的基本概念及其计算方法。借助抽纸团和掷骰子的例子，引导学生从有限且等可能的结果中归纳出概率公式，培养其抽象概括能力和数学建模思想。师生互动环节通过变式提问，让学生体会概率与事件可能结果数的关系，加深对概率取值范围的理解。同时，通过讨论不同情境下的概率变化，培养学生的逻辑推理能力和数学语言表达能力，使其在探究中感受数学的严谨性和实用性。
新知应用
例1：掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
(1) 点数为2；
(2) 点数为奇数；
(3) 点数大于2且小于5。
解答：掷一枚质地均匀的骰子时，向上一面的点数可能为1、2、3、4、5、6，共6种结果，并且每种点数出现的可能性相等。
(1) 点数为2：
在6种可能结果中，只有1种是点数为2，
所以事件“点数为2”包含1种结果，总共有6种结果，
因此概率为：
(2) 点数为奇数：
奇数包括1、3、5，共3种结果，
所以事件“点数为奇数”包含3种结果，
因此概率为：
(3) 点数大于2且小于5：
大于2且小于5的点数是3和4，共2种结果，
所以事件“点数大于2且小于5”包含2种结果，
因此概率为：
总结：
1.题目考查内容
① 等可能事件的概率计算；
② 事件所包含的结果数与总结果数的比值的理解。
2.题目求解要点
① 明确所有可能的结果总数；
② 找出符合条件的结果个数；
③ 利用公式 进行计算；
④ 注意化简分数。
例2：如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成7个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色。求下列事件的概率：
(1) 指针指向红色；
(2) 指针指向红色或黄色；
(3) 指针不指向红色。
解答：转盘共有7个扇形，每个扇形大小相同，指针指向每个扇形的可能性相等。
(1) 指针指向红色：
红色扇形有3个，
所以事件“指针指向红色”包含3种结果，
因此概率为：
(2) 指针指向红色或黄色：
红色有3个，黄色有2个，共5个扇形，
所以事件“指针指向红色或黄色”包含5种结果，
因此概率为：
(3) 指针不指向红色：
不指向红色即指向绿色或黄色，绿色有2个，黄色有2个，共4个扇形，
所以事件“指针不指向红色”包含4种结果，
因此概率为：
总结：
1.题目考查内容
① 等可能事件的概率计算；
② 多个事件的并集与补集的概率理解。
2.题目求解要点
① 明确样本空间总数（7个扇形）；
② 分别统计各事件所包含的扇形数量；
③ 利用公式 进行计算；
④ 注意事件之间的关系（并集、补集）。
例3：在一个有9×9个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷。小王点击了一个方格后，出现了数字3，表示在该方格相邻的8个方格中有3颗地雷（记为A区域），其余区域记为B区域。问下一步应点击A区域还是B区域？
解答：(1) A区域分析：
A区域共有8个方格，其中有3颗地雷，
所以点击A区域任一方格遇到地雷的概率为：
(2) B区域分析：
整个雷区共有 个方格，
A区域占8个，所以B区域有 个方格（减去点击的1个方格）。
总共10颗地雷，A区域有3颗，所以B区域有 颗地雷，
因此点击B区域任一方格遇到地雷的概率为：
(3) 比较概率：
因为 ，所以点击A区域遇雷的概率更大。
结论：下一步应点击B区域。
总结：
1.题目考查内容
① 概率的实际应用；
② 比较两个事件发生的概率大小。
2.题目求解要点
① 明确总方格数和地雷总数；
② 分别统计A、B区域的方格数和地雷数；
③ 分别计算两个区域的遇雷概率；
④ 通过比较概率大小做出决策。
板书设计
概率
定义：刻画随机事件A发生可能性大小的数值，记为
试验特点
可能出现结果有限个
各种结果出现可能性相等
概率计算
公式：（n种等可能结果，事件A包含m种）
范围：
必然事件：
不可能事件：
示例
抽纸团：
抽纸团：
教学反思
本节课围绕概率的基本概念展开，通过具体实例引导学生理解等可能事件的概率计算公式，并结合图形帮助学生直观认识概率的取值范围及意义。教学过程中注重从生活情境出发，激发学生学习兴趣，学生能积极参与探究活动，基本掌握了概率的计算方法。成功之处在于通过问题引导和实例分析，使抽象概念具象化，增强了学生的理解力；不足在于对“必然事件”与“不可能事件”的举例不够充分，部分学生对概率范围的理解仍显薄弱，后续教学中需加强此类概念的辨析与训练。

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