资源简介

初中数学人教版（2012）九年级上册
25.2 用列举法求概率
课标分析
根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对"用列举法求概率"的要求，本课重点培养学生通过列举有限等可能结果来计算概率的能力，符合第三学段"统计与概率"领域"事件的概率"内容要求。课标强调要让学生理解在结果有限且等可能条件下，用列举法（如树状图、列表法）求概率的基本方法。教材通过骰子问题（与）的对比思考，引导学生认识试验的等可能性本质，这与课标要求的"体会随机现象特点，理解概率意义"的教学目标一致，同时培养了学生的模型意识和推理能力。
教材分析
本节课“用列举法求概率”主要介绍了在有限等可能条件下，通过列举所有试验结果来计算随机事件概率的方法，并通过思考题引导学生理解不同试验方式下样本空间的一致性。本节教学可通过实际情境引入问题，组织学生动手试验、列举结果、归纳方法，提升学生对概率本质的理解。本内容承接了前面关于随机事件与概率概念的学习，为后续学习用树状图或列表法求概率奠定了基础。本节课有助于培养学生逻辑思维能力和数据分析观念，提升其用数学方法解决实际问题的能力，同时为后续系统学习概率知识做好铺垫，具有承上启下的重要作用。
学情分析
九年级学生已经掌握了概率的基本概念和简单随机事件的概率求解方法，具备了一定的逻辑推理能力和数据分析意识，为学习《用列举法求概率》奠定了基础，同时，这个年龄段的学生在面对具体问题时能够通过实际操作和合作交流理解数学知识，但对抽象问题仍需直观支撑，本节课要求学生通过列举试验结果来求随机事件的概率，帮助学生进一步理解等可能事件的概率意义，发展有条理的思考和表达能力，为后续学习复杂事件的概率计算打下坚实基础。
教学目标
理解有限等可能事件的概率计算原理，掌握列举法求概率的基本方法，通过列举试验结果，提升数据分析和数学抽象核心素养，增强逻辑思维与问题解决能力。
能判断何时使用列举法求概率，能灵活处理如掷骰子等常见实验的结果变化问题，提升数学建模能力，发展对事件等可能性的辨析思维。
通过思考“掷两枚骰子”与“掷一枚骰子两次”的结果比较，培养严谨推理和类比思维能力，体会数学实验的内在一致性，增强对概率概念本质的理解。
重点难点
重点：理解在有限等可能结果下，用列举法求概率的方法并能应用。
难点：区分不同试验情境，准确列举所有等可能结果。
课前任务
1.知识回顾：
上节课学习了概率的定义，请回顾概率的概念是什么。并思考：掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是多少？以此巩固对概率概念的理解。
2.预习教材：
阅读教材中用列举法求概率部分内容。了解在结果有限且可能性相等时，可用列举法求概率。记录列举试验结果的方法，对“思考”部分内容重点研读，不明白处做好标注。
3.问题思考：
若同时掷两枚质地均匀的骰子，点数之和为7的概率是多少？结合预习，思考如何列举出所有可能结果，进而求解概率，课上交流思路。
课堂导入
同学们，我们先来看一个有趣的游戏情境。假设我们在玩抽奖游戏，抽奖箱里有5个完全相同的小球，分别标有数字1 - 5。现在从箱中随机摸出一个球，摸到每个球的可能性是一样的。那么摸到数字3的概率是多少呢？很简单，总共5种可能结果，摸到3只是其中1种，所以概率是 。像这样，当可能出现的结果有限且可能性相等时，我们就可以通过列举结果来求概率。那如果情况更复杂些，比如同时抛两枚硬币，它们朝上的情况有哪些，出现一正一反的概率又是多少呢？今天我们就一起来深入学习用列举法求概率。
用列举法求概率
探究新知
（一）知识精讲
同学们，我们来学习用列举法求概率的方法。当一次试验可能出现的结果只有有限个，并且每种结果出现的可能性相等时，我们可以通过列举所有可能的结果来计算随机事件发生的概率。比如掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的结果有6个，每个结果出现的概率都是。两枚骰子的点数组合共有36种可能，每种组合出现的概率都是。这就是列举法的基本应用。
现在思考一个问题：如果把"同时掷两枚骰子"改为"把一枚骰子掷两次"，结果会有什么变化吗？实际上，这两种情况的结果是完全相同的。因为无论是同时掷两枚骰子，还是分两次掷同一枚骰子，每次掷骰子都是独立的事件，结果的可能性是相同的。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果我们要计算掷两枚骰子点数之和为7的概率，应该怎么做呢？
学生回答：可以先列举出所有点数之和为7的组合，比如(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共有6种情况，所以概率是。
教师追问：很好！那如果改为掷三次骰子，点数之和为7的概率，还能用列举法计算吗？为什么？
学生思考后回答：可以计算，但是会比较复杂，因为可能的组合数量会大大增加。不过原理还是一样的，只要把所有可能的结果都列举出来，就能计算概率。
（三）设计意图
通过具体实例和直观图示，帮助学生理解列举法的基本原理和应用方法。培养学生从具体问题中抽象出数学模型的能力，并通过师生互动引导学生深入思考概率计算的基本原理。让学生在列举具体案例的过程中，体会数学方法的严谨性和实用性，培养逻辑思维能力和分析问题的能力。
新知应用
例1：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：
(1) 两枚硬币全部正面向上；
(2) 两枚硬币全部反面向上；
(3) 一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上。
解答：
我们先列举出抛掷两枚硬币的所有可能结果：
正正，正反，反正，反反。
这4种结果是等可能的。
(1) 满足“两枚硬币全部正面向上”的结果只有1种：正正。
所以事件A的概率为：
(2) 满足“两枚硬币全部反面向上”的结果只有1种：反反。
所以事件B的概率为：
(3) 满足“一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上”的结果有2种：正反、反正。
所以事件C的概率为：
总结：
1.题目考查内容
① 列举法求概率的基本思想；
② 等可能事件的概率计算。
2.题目求解要点
① 准确列举所有可能的结果；
② 判断哪些结果满足事件条件；
③ 用满足条件的结果数除以总结果数求出概率。
例2：同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
(1) 两枚骰子的点数相同；
(2) 两枚骰子点数的和是9；
(3) 至少有一枚骰子的点数为2。
解答：
我们用列表法列出所有可能的结果，共有6×6=36种等可能的结果。
(1) “两枚骰子的点数相同”的结果有：
(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6种。
所以事件A的概率为：
(2) “两枚骰子点数的和是9”的结果有：
(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，共4种。
所以事件B的概率为：
(3) “至少有一枚骰子的点数为2”的结果有：
(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，共11种。
所以事件C的概率为：
总结：
1.题目考查内容
① 利用列表法列举所有可能结果；
② 求复合事件的概率。
2.题目求解要点
① 列表法是解决掷两枚骰子问题的常用方法；
② 注意“至少”这类关键词，需考虑所有满足条件的情况；
③ 概率计算时要确保不重复、不遗漏地列举结果。
例3：甲口袋中有2个小球（A、B），乙口袋中有3个小球（C、D、E），丙口袋中有2个小球（H、I）。从三个口袋中各随机取出1个小球。
(1) 取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？
(2) 取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
解答：
我们用树状图列出所有可能的结果，共2×3×2=12种等可能的结果。
(1) 分析元音字母出现的情况：
元音字母有：A、E、I（共3个）；
辅音字母有：B、C、D、H（共4个）。
列出所有结果并统计元音字母个数：
有1个元音字母的结果有5种：ACH、ADH、BCI、BDI、BEH
所以概率为：
有2个元音字母的结果有4种：ACI、ADI、AEH、BEI
所以概率为：
有3个元音字母的结果有1种：AEI
所以概率为：
(2) 全是辅音字母的结果有2种：BCH、BDH
所以概率为：
总结：
1.题目考查内容
① 树状图法列举所有可能结果；
② 多个事件组合下的概率计算。
2.题目求解要点
① 树状图是解决多个独立事件组合问题的有效工具；
② 要准确识别元音和辅音字母；
③ 概率计算时要根据满足条件的结果数除以总结果数。
板书设计
用列举法求概率
适用条件：结果有限个
可能性大小相等
方法：列举试验结果求概率
思考：“同时掷两枚骰子”与“一枚骰子掷两次”结果对比
教学反思
本节课围绕“用列举法求概率”的核心内容，通过具体实例引导学生理解有限等可能事件的概率计算方法，并通过变式问题引发学生思考不同试验描述下结果的一致性。教学中注重学生动手列举与合作讨论，较好地达成了知识理解与应用的目标。多数学生能够掌握列举法的基本思路，但在处理“掷两枚骰子”与“一枚骰子掷两次”的等价性问题时，部分学生仍存在理解偏差。今后教学中应加强实际操作与可视化列举的训练，帮助学生建立清晰的样本空间概念，同时注重数学语言表达的规范性培养，提升学生的逻辑思维能力。

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