资源简介

初中数学人教版（2012）九年级上册
22.1.3 二次函数y=a(x－h) ＋k的图象和性质（1）
课标分析
根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，本课例重点培养学生通过具体函数图象理解二次函数的性质及其与的关系。课标强调要让学生通过观察、比较、归纳等数学活动，掌握从图象特征（开口方向、对称轴、顶点）分析函数性质的能力，并理解函数图象平移变换的规律（值变化引起图象上下平移）。这体现了课标对发展学生几何直观、数形结合思想的要求，同时培养学生从特殊到一般的数学思维方法，为后续学习更复杂的函数变换奠定基础。
教材分析
本节课通过探究抛物线、与之间的位置关系，引导学生发现二次函数的图象是由沿y轴方向平移得到的规律，进而归纳其开口方向、对称轴和顶点特征。教学过程以观察、比较、归纳为主线，帮助学生建立图象变换的基本认知。该内容承接了学生对二次函数图象性质的学习，是进一步研究一般二次函数图象平移与解析式变化关系的基础。本节课的作用在于发展学生的几何直观与数形结合能力，使学生理解参数对图象位置的影响，为后续学习等形式的图象变换及函数图象的整体平移规律奠定基础，同时提升学生归纳推理与抽象概括的能力。
学情分析
九年级学生已掌握二次函数的图象特征，理解其开口方向、对称轴和顶点位置，具备通过描点法画图象的基本技能，并熟悉平移的几何意义，为学习的图象与性质奠定了基础，同时，该阶段学生具备一定的直观想象与归纳推理能力，能通过具体例子发现规律，但对函数表达式与图象变化之间的关系理解仍需加强，本节课要求学生通过比较与的图象关系，归纳出上下平移规律，理解参数对图象位置的影响，帮助学生深化函数“数形结合”的思想，提升观察、比较与抽象概括能力，为进一步学习二次函数的综合性质及图象变换打下坚实基础。
教学目标
理解二次函数 的图象由 平移得到，掌握其开口方向、对称轴和顶点特征，通过观察图象变化规律，发展直观想象与几何直观核心素养，提升空间观念与图象分析能力。
掌握抛物线上下平移的规律，能准确描述 与 的位置关系，通过归纳平移规律，培养归纳推理与抽象概括能力，增强数学建模和逻辑推理素养。
运用平移思想比较不同二次函数图象的异同，体会参数 对图象位置的影响，提高数形结合意识和函数观念，发展数学表达与问题分析能力。
重点难点
重点：掌握二次函数的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及性质，明确其与的关系。
难点：理解抛物线与相互关系的推导过程。
课前任务
1.知识回顾：
上节课学习了二次函数的图象与性质，回想的正负如何影响抛物线开口方向？对称轴和顶点坐标分别是什么？通过画图巩固对图象的认识。
2.预习教材：
阅读教材中二次函数的图象和性质相关内容。了解抛物线、的开口方向等信息，思考它们与的关系，记录关键结论与疑问。
3.问题思考：
对于抛物线与，思考它们开口方向、对称轴相同吗？顶点坐标有何差异？猜猜与有怎样的位置关系？
课堂导入
同学们，在之前的学习中，我们已经认识了二次函数。现在，想象一下，假如我们对这个函数做一些小变动，比如给它加上一个常数，变成，它的图象会发生什么变化呢？就像在生活中，一个原本简单的事物，加入新元素后可能会呈现出不同的面貌。大家先在脑海里试着勾勒一下这种变化。其实，这就好比我们给一个物体在垂直方向上进行移动。那二次函数的图象到底会怎样改变呢？让我们一起通过今天的学习来探寻答案。
二次函数 的图象和性质
探究新知
（一）知识精讲
首先，我们观察抛物线的图像。 这是一个开口向上的标准抛物线，顶点在原点，对称轴是y轴。接下来，我们研究抛物线和的图像。 可以看到，的图像是将的图像向上平移1个单位得到的，而的图像是将的图像向下平移1个单位得到的。
通过比较可以发现：
这三条抛物线的开口方向相同，都是向上
对称轴相同，都是y轴
顶点坐标分别为、和
由此我们可以得出结论：对于一般形式的二次函数，它是由标准抛物线沿y轴方向平移个单位得到的。当时向上平移，当时向下平移。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果已知抛物线的图像，那么的图像应该怎样得到？它的顶点坐标是多少？
学生回答：将的图像向上平移4个单位，顶点坐标是。
教师追问：很好！那如果有一条抛物线，它与相比有什么变化？开口方向会改变吗？
学生思考后回答：它是将向上平移5个单位得到的，开口方向不会改变，仍然是向下。
（三）设计意图
通过具体函数图像的对比观察，帮助学生直观理解二次函数与之间的关系。培养学生从具体到抽象的思维能力，掌握函数图像平移变换的规律。通过师生互动检验学生对知识的理解程度，引导学生发现函数解析式与图像特征之间的联系，建立数形结合的思想方法。
新知应用
例1：在同一直角坐标系中，画出二次函数 ， 的图象。
解答：
我们按照描点法来画这两个二次函数的图象。
第一步：列表取值
选取 的一些整数值，计算对应的 值：
-2 -1 0 1 2
8 2 0 2 8
9 3 1 3 9
7 1 -1 1 7
从表中可以看出：
对于 ，每个 值都比 的对应值大1；
对于 ，每个 值都比 的对应值小1。
第二步：描点
在直角坐标系中，分别描出 和 的各组点：
的点有：
的点有：
第三步：连线
用光滑的曲线依次连接各点，得到两条抛物线。
观察图象可知：
抛物线 开口向上，对称轴是 轴（即直线 ），顶点为 ；
抛物线 开口向上，对称轴也是 ，顶点为 ；
它们与 的形状完全相同，只是位置不同。
第四步：分析平移关系
我们知道 的顶点在原点 。
而：
是将 向上平移1个单位得到的；
是将 向下平移1个单位得到的。
因此，上下平移不改变抛物线的开口方向和形状，只改变顶点的位置。
总结
1.题目考查内容
① 二次函数 的图象画法（描点法）；
② 抛物线的开口方向、对称轴、顶点等基本性质；
③ 函数图象的上下平移规律： 是由 沿 轴方向平移 个单位得到的。
2.题目求解要点
① 列表时注意选择对称的 值，便于发现对称性；
② 描点后要用光滑曲线连接，体现抛物线的连续性；
③ 理解 的作用：当 时，向上平移；当 时，向下平移；
④ 所有形如 的抛物线，其开口方向由 决定，对称轴始终是 ，顶点为 。
新知巩固
第1题：对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．随的增大而增大
B．图象开口向下
C．图象关于轴对称
D．无论取何值时，的值总是正的
解答：
我们逐项分析函数 的性质。
第一步：确定开口方向
二次函数的一般形式为 。
本题中，，所以抛物线开口向上。
→ 选项 B 错误（说“开口向下”错误）。
第二步：判断增减性
由于 ，抛物线开口向上，顶点处取得最小值。
对称轴是 （因为没有一次项，即 ）。
当 时， 随 增大而减小；
当 时， 随 增大而增大。
因此，不能说“ 随 的增大而增大”，这只有在 时成立。
→ 选项 A 错误。
第三步：判断对称性
函数为 ，是标准的偶函数形式（只含 项），
所以其图像关于 轴对称。
→ 选项 C 正确。
第四步：判断函数值的正负
当 时，，
说明存在 使得 为负数。
→ 选项 D 错误（“总是正的”不成立）。
综上，唯一正确的选项是 C。
总结：
1.题目考查内容
二次函数 的图象与性质；
包括开口方向、对称性、增减性、函数值符号的判断。
2.题目求解要点
判断 的正负决定开口方向；
若无一次项（），则对称轴为 轴；
增减性需分区间讨论，不能笼统地说“随 增大而增大”；
函数值是否恒正，可通过代入特殊值验证。
3.同类型题目解题步骤
观察二次项系数 ：若 ，开口向上；若 ，开口向下。
看是否有一次项：若无 项（即 ），则对称轴为 ，图像关于 轴对称。
分析增减性：根据对称轴和开口方向，分 和 讨论。
判断函数值范围：可代入 或求最小/最大值来判断是否恒正或恒负。
排除法结合具体计算选择正确选项。
板书设计
二次函数 的图象和性质
： 向上平移1个单位
： 向下平移1个单位
思考
与 的关系
， 向上平移个单位得
， 向下平移个单位得
教学反思
本节课围绕二次函数的图象与性质展开，通过对比、和的图象特征，引导学生发现平移规律，进而归纳出与之间的关系，突出数形结合思想。教学设计符合课标要求，注重学生探究能力培养，课堂环节紧凑，目标达成度较高。成功之处在于借助具体实例帮助学生直观理解图象平移规律，多数学生能准确说出开口方向、对称轴、顶点及图象变换关系。不足之处在于对抽象归纳性质时，部分学生思维跟不上，语言表述不严谨；小组探究时间略显不足，个别学生参与度不高；后续教学应加强由特殊到一般的推理训练，提升学生数学抽象与表达能力，同时优化活动设计以增强全体学生的主动性。

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