资源简介

初中数学人教版（2012）九年级上册
22.1.3 二次函数y=a(x－h) ＋k的图象和性质（3）
课标分析
根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，本节内容属于"函数"领域，要求学生掌握二次函数的图象特征和性质。课标要求通过具体实例理解二次函数图象的平移规律，能根据、、的值确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并能分析函数的增减性。重点培养学生从代数表达式到图象特征的转化能力，以及通过图象分析函数性质的能力，发展数形结合思想。教学中应注重引导学生通过观察、比较、归纳等方法，理解参数、、对函数图象的影响，建立二次函数三种表达式之间的联系。
教材分析
本节课主要研究二次函数 的图象和性质，通过平移的方式由基本抛物线 得到新的图象，并总结其开口方向、对称轴和顶点坐标等特征。教学过程可通过图象绘制与观察引导学生归纳性质。本节内容承接了二次函数一般形式的认识，为进一步理解顶点式及其应用打下基础。本节课有助于学生提升数形结合能力，掌握函数变换思想，为后续学习二次函数的图象变换、实际问题建模及函数综合应用提供了重要支撑，同时也有助于发展学生的逻辑推理和问题解决能力。
学情分析
九年级学生已经掌握了二次函数 的图象与性质，具备了函数图像平移的初步认识和分析能力，同时具备一定的数形结合思想和逻辑推理能力，这一阶段的学生思维活跃，抽象思维能力逐步增强，但对含参数的函数表达式理解仍有一定难度，本节课要求学生理解并掌握二次函数 的图象特征与几何性质，能够通过 、、 的取值判断开口方向、对称轴和顶点坐标，并结合图像理解函数的增减性，通过类比平移过程，提升数形结合能力和函数分析能力，为后续研究一般二次函数的图像与实际应用问题奠定基础。
教学目标
理解二次函数 的图象平移规律，掌握其开口方向、对称轴和顶点坐标，提升数形结合能力和数学抽象核心素养，发展直观想象与几何推理能力。
能根据 、、 的符号和大小判断抛物线的开口方向、位置及变化趋势，培养逻辑推理与数据分析能力，增强函数建模意识与实际问题解决能力。
通过分析函数在不同区间上的增减性，发展函数思想与变量意识，提升归纳总结与逻辑表达能力，体会数学知识的系统性与应用价值。
重点难点
重点：掌握抛物线的性质，能根据性质分析函数变化，理解其与的平移关系。
难点：理解、值对抛物线平移方向和距离的影响及函数性质与系数关系。
课前任务
1.知识回顾：
上节课学习了二次函数的图象与性质，的正负如何影响开口方向？对称轴和顶点坐标是什么？请回顾并强化记忆。
2.预习教材：
阅读教材中关于二次函数图象和性质的内容。明确抛物线与的关系，记录的开口方向、对称轴及顶点坐标相关要点，有疑问处做好标记。
3.问题思考：
对于二次函数，思考、、的值对其图象有何影响？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？变化时怎样变化？
课堂导入
同学们，之前我们学习了的二次函数图象与性质。那现在想象一下，如果这个函数图象发生了移动，会变成什么样呢？比如，在坐标平面内，原本的抛物线向上或向下、向左或向右平移后，它的形状、开口方向、对称轴以及顶点会有怎样的变化？就好比我们把一个图形在方格纸上挪动位置，它的各种特征会不会改变呢？今天，我们就来探究形如的二次函数图象和性质，看看它与之间到底有什么奇妙的联系。
二次函数 的图象和性质
探究新知
（一）知识精讲
同学们，让我们一起来探究二次函数的图象和性质。通过对比可以发现，抛物线与最基本的二次函数的形状完全相同，只是位置发生了变化。这种位置变化实际上是通过平移实现的：将的图象向上或向下平移个单位，再向左或向右平移个单位，就能得到的图象。
我们可以总结出这种形式抛物线的重要特征： 首先，系数决定了抛物线的开口方向：当时开口向上，当时开口向下。其次，这条抛物线有一个明显的对称轴，就是直线。最后，抛物线的顶点坐标就是，这是函数图象的最高点或最低点。
我们可以进一步分析函数的变化规律： 当时，在对称轴左侧（），随增大而减小；在对称轴右侧（），随增大而增大。当时情况正好相反：在对称轴左侧随增大而增大，在右侧随增大而减小。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果给你一个具体的二次函数，你能说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
学生回答：根据刚才学到的知识，因为，所以开口向上；对称轴是；顶点坐标是。
教师追问：很好！那如果把这个函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，新的函数表达式会变成什么样子呢？
学生思考后回答：向左平移2个单位要把变成，向下平移3个单位要把变成，所以新的函数应该是。
（三）设计意图
通过直观的图象展示和具体的函数例子，帮助学生建立从图象特征到函数表达式的对应关系，培养数形结合的思想方法。在师生互动环节设置层层递进的问题，引导学生逐步掌握函数图象的平移规律，发展学生的空间想象能力和逻辑推理能力。整个探究过程注重从具体到抽象的思维发展，让学生在实践中理解数学概念，培养严谨的数学思维习惯。
新知应用
例1：画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点。怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？
解答：
我们先来分析函数 的结构。
这个函数是标准形式的二次函数：
其中，，，。
根据二次函数的性质：
开口方向：
因为 ，所以抛物线开口向下。
对称轴：
对称轴是直线 。
顶点坐标：
顶点是 。
接下来分析图象的平移过程：
原函数是 ，它的顶点是原点 。
现在我们要从这个函数出发，得到 ：
表示将原图象向左平移1个单位（因为 ）；
表示将图象向下平移1个单位。
所以，先将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移1个单位，就可以得到抛物线 。
图象如下所示：
总结：
1.题目考查内容
① 二次函数 的图象与性质；
② 抛物线的平移规律；
③ 图象开口方向、对称轴、顶点的判断方法。
2.题目求解要点
① 理解 决定开口方向和开口大小；
② 掌握 和 决定抛物线的平移方向和位置；
③ 能根据函数表达式判断图象的形状和位置变化；
④ 能通过图象判断函数的开口方向、对称轴和顶点。
例2：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多长？
解答：
我们根据题意建立直角坐标系：
以水管与地面交点为原点 ；
水管所在直线为 轴；
水柱落地点在 处；
水柱最高点在 处，高度为3米。
因此，抛物线的顶点是 ，可以设抛物线的解析式为：
又因为抛物线经过点 ，代入这个点求出 ：
所以抛物线的解析式为：
要求水管的长度，就是求当 时的 值：
所以，水管应为 2.25米长。
图示如下：
总结：
1.题目考查内容
① 二次函数顶点式 的应用；
② 实际问题中建立坐标系并求函数解析式；
③ 利用函数解析式求特定点的函数值。
2.题目求解要点
① 根据实际问题建立合适的坐标系；
② 利用顶点信息设出函数解析式；
③ 代入已知点求出参数 ；
④ 代入 求出水管长度（即 值）；
⑤ 注意函数定义域的限制（本题中 ）。
新知巩固
第1题：下列关于抛物线 的判断中，错误的是（ ）
选项：
A．形状与抛物线 相同
B．对称轴是直线
C．当 时， 随 的增大而减小
D．当 时，
解答：
我们逐项分析：
A．形状与抛物线 相同
抛物线 是标准形式，开口向下，顶点在原点。
抛物线 是顶点式形式，其中 ，说明开口方向和大小与 相同。
因此，形状相同，只是位置不同（平移了）。
正确。
B．对称轴是直线
顶点式为 ，其中对称轴为 。
这里是 ，所以 ，对称轴为 。
正确。
C．当 时， 随 的增大而减小
抛物线 中，，说明开口向下。
顶点横坐标为 。
当 时，函数值随 增大而增大；
当 时，函数值随 增大而减小。
题目中说“当 时， 随 增大而减小”，但 包括了 和 。
在 区间内， 是随 增大而增大的。
所以这个说法是错误的。
D．当 时，
我们先求函数在 和 处的函数值：
当 ，
当 ，
抛物线开口向下，顶点在 ，所以在 区间内，函数值大于等于 0。
正确。
综上，错误的是选项 C。
总结：
1. 题目考查内容
本题考查二次函数顶点式 的图象性质，包括：
图象形状与标准抛物线的关系
对称轴的判断
函数增减性
函数值的符号判断
2. 题目求解要点
理解顶点式中 决定开口方向和形状；
对称轴为 ；
开口向下时，函数在顶点左侧递增，右侧递减；
判断函数值的符号需结合图象与横坐标区间。
3. 同类型题目解题步骤
确定二次函数的顶点式形式；
提取 的值；
判断开口方向、对称轴、顶点坐标；
分析函数在不同区间的增减性；
若涉及函数值符号，结合图象或代入端点值判断。
板书设计
二次函数的图象和性质
与关系：形状相同，位置不同，平移得
平移依据：依，值定方向、距离
特点
开口方向：向上，向下
对称轴：
顶点：
增减性
：，随增大而减小；，随增大而增大
：，随增大而增大；，随增大而减小
教学反思
本节课围绕二次函数的图象与性质展开，通过类比平移变换引导学生理解参数、对图象位置的影响，并掌握其开口方向、对称轴和顶点坐标等核心特征。教学目标明确，内容设计合理，学生基本能通过图象分析归纳函数性质。成功之处在于借助直观图象帮助学生建立函数模型，提升了数形结合能力；不足在于部分学生对的正负影响函数增减性的理解仍显薄弱，后续需加强变式训练与个别辅导，提升学生逻辑推理与抽象思维能力。

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