资源简介

初中数学人教版（2012）九年级上册
25.3 用频率估计概率
课标分析
《义务教育数学课程标准(2022年版)》对本节内容的要求主要体现在"统计与概率"领域，要求学生通过大量重复试验理解频率与概率的关系，认识到当试验次数趋于无穷大时，事件发生的频率会稳定于某个常数，这个常数就是该事件的概率。课标强调要让学生经历"试验-收集数据-分析数据-得出结论"的完整过程，通过抛硬币试验()和实际问题(如移植成活率、柑橘损坏率)的探究，理解用频率估计概率的思想方法，体会概率与统计的联系，发展数据分析和数学建模能力。特别要求区分单次试验的随机性与大量试验的稳定性，理解概率并不意味着次试验中必然出现次特定结果。
教材分析
本节课“用频率估计概率”是在学生已经学习了概率的基本概念、列举法求概率的基础上展开的，主要通过抛掷硬币的试验引入频率的概念，引导学生观察频率的变化趋势，进而理解用频率估计概率的方法。教学过程通过学生动手试验、统计数据分析、归纳频率稳定性，帮助学生理解概率的统计定义。本节内容与前一节“列举法求概率”形成对比，拓展了求概率的适用范围，也为后续学习统计与概率的综合应用打下基础。本节课有助于学生理解概率的本质，提升数据分析观念和合情推理能力，增强对随机现象的认识，为解决实际问题如成活率、定价策略等提供了数学建模思路。
学情分析
九年级学生已经掌握了简单的概率计算及列举法求概率的相关知识，具备一定的数据分析能力，为学习“用频率估计概率”奠定了基础。这个年龄段的学生好奇心强，动手能力强，但对抽象概念的理解仍需借助具体实例支撑。本节课通过抛硬币、幼树成活率等实际问题，引导学生观察频率的稳定性，理解用频率估计概率的思想，帮助学生拓展求概率的途径，提升数据分析观念和解决实际问题的能力，同时为后续学习统计与概率的综合应用打下基础。
教学目标
理解频率与概率的关系，掌握用频率估计概率的基本方法，通过试验活动提升数据分析和数学抽象核心素养，增强对随机现象的认识与判断能力。
能通过大量重复试验观察频率的稳定性，理解概率是长期试验下的规律性体现，培养归纳推理和逻辑思考能力，深化对统计思想的理解。
能运用频率估计概率解决实际问题，如成活率、损坏率等现实情境，提升数学建模和解决实际问题的能力，增强数学与生活联系的意识。
重点难点
重点：理解用频率估计概率的原理，会通过大量重复试验用频率估计概率。
难点：体会频率与概率的关系，明白概率针对大量重复试验，非每次都发生。
课前任务
1.知识回顾：
上节课学习了列举法求概率，请大家回顾列举法适用条件，并求掷一枚骰子，点数为偶数的概率，巩固对列举法的掌握。
2.预习教材：
阅读教材中用频率估计概率相关内容，了解通过抛掷硬币试验探究频率与概率关系，记录频率稳定性及用频率估计概率的要点，对不理解处做好标记。
3.问题思考：
抛掷一枚质地均匀硬币100次，一定是50次正面向上吗？随着抛掷次数增加，正面向上频率如何变化？思考频率与概率有何联系，课上交流。
课堂导入
同学们，在一场篮球比赛开始前，裁判通常会用抛硬币的方式来决定哪支球队先开球。大家想一想，抛硬币时“正面向上”和“反面向上”的可能性一样吗？如果抛100次硬币，是不是就一定恰好50次正面向上、50次反面向上呢？今天，咱们就通过实际操作来探究一下。现在，请大家拿出准备好的硬币，每人抛10次，记录下正面向上的次数。之后我们汇总数据，观察正面向上的频率有什么规律，进而一起学习如何用频率估计概率。
用频率估计概率
探究新知
（一）知识精讲 我们先从抛硬币这个简单实验开始探究。抛掷一枚质地均匀的硬币时，"正面向上"和"反面向上"的概率都是0.5。但是，这是否意味着抛掷100次就一定会出现50次正面呢？让我们通过实验来验证。
观察上表中的数据，我们可以发现随着抛掷次数的增加，"正面向上"的频率（即）会逐渐稳定在0.5附近。历史上许多科学家也做过大量实验，如表所示：
这些实验都验证了一个重要规律：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个固定数值附近。这个固定数值就是该事件的概率。这就是用频率估计概率的基本原理。
在实际问题中，比如下表所示的幼树移植成活率问题：
我们可以通过大量实验，计算成活频率，当实验次数足够大时，频率就会稳定在某个值，这个值就是成活概率的估计值。同理，在表中的柑橘损坏率问题中：
通过计算损坏频率，当实验数据足够多时，频率就会稳定在0.1附近，这就是损坏概率的估计值。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果我们在抛硬币实验中，前10次都是正面向上，那么第11次出现反面向上的概率是多少呢？
学生回答：仍然是0.5，因为每次抛掷都是独立事件。
教师追问：很好！那么为什么我们说频率会稳定在概率附近呢？这与单次试验的结果有什么关系？
学生思考后回答：因为随着试验次数的增加，偶然的偏差会被平均掉，所以整体趋势会趋于稳定。
教师继续引导：在实际生活中，比如预测明天的天气，为什么气象局要收集多年的数据而不是只看最近几天的数据？
学生回答：因为数据越多，预测就会越准确，就像我们的频率估计概率一样。
（三）设计意图
通过具体的实验数据和实际案例，帮助学生理解频率与概率的关系，培养他们从具体到抽象的数学思维能力。引导学生观察数据变化规律，体会概率的稳定性特征，理解大数定律的基本思想。通过师生互动的问题设置，激发学生思考概率的本质，培养他们用数学的眼光观察现实世界的能力。让学生认识到数学知识来源于生活又服务于生活的价值，培养他们的数据分析观念和应用意识。
新知应用
例1：某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？
补全表，并完成填空：
移植总数（n） 成活数（m） 成活频率（m/n）
100 85 0.850
500 445 0.890
1000 895 0.895
2000 1790 0.895
5000 4510 0.902
10000 9020 0.902
14000 12628 0.902
从表可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定。当移植总数为14000时，成活的频率为0.902，于是可以估计幼树移植成活的概率为0.902。
解答：
为了估计幼树移植成活的概率，我们需要通过大量重复试验来观察成活的频率。
收集数据：在相同条件下进行大量幼树移植试验，记录每次试验中移植总数和成活数量。
计算频率：对每组数据计算成活频率，即成活数除以移植总数。
观察规律：随着移植总数的增加，成活频率逐渐趋于稳定。
估计概率：当频率趋于稳定时，这个稳定的频率值就可以作为成活概率的估计值。
从表中可以看出，当移植总数达到14000时，成活频率为0.902，因此可以估计幼树移植成活的概率为0.902。
总结：
1.题目考查内容
① 用频率估计概率的基本思想；
② 数据统计与频率计算；
③ 概率的稳定性与实际应用。
2.题目求解要点
① 理解频率是概率的估计值；
② 掌握频率的计算方法（成活数 ÷ 移植总数）；
③ 观察频率随试验次数增加的变化趋势；
④ 利用稳定频率估计概率。
例2： 某水果公司以2元/kg的成本价新进10000 kg柑橘。如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
根据下表，柑橘总质量为500 kg时的损坏频率为0.103，于是可以估计柑橘损坏的概率为0.1（保留小数点后一位）。
解答：
估计损坏率：
由表25-6可知，随着柑橘质量增加，损坏频率趋于稳定，估计损坏概率为0.1。
计算完好柑橘质量：
柑橘总质量为10000 kg，完好概率为 ，
所以完好柑橘质量为：
计算完好柑橘的实际成本：
总成本为：
每千克完好柑橘的成本为：
设定售价以获得利润：
设每千克售价为 元，公司希望获得利润5000元，则总收入应为：
所以有方程：
解得：
总结：
1.题目考查内容
① 用频率估计概率；
② 概率与实际问题的结合；
③ 成本、利润与定价的计算。
2.题目求解要点
① 从频率表中估计损坏概率；
② 利用概率计算完好柑橘的质量；
③ 根据总成本和利润目标，建立方程求解售价；
④ 理解“概率是针对大量试验而言”的实际意义。
板书设计
用频率估计概率
频率定义：若抛掷硬币次，“正面向上”次，频率为
抛掷硬币试验
频率规律：在附近摆动，幅度渐小
频率稳定性：“正面向上”“反面向上”频率稳定于
用频率估计概率
一般规律：大量重复试验，频率在固定数附近摆动
优点：不受“结果可能性相等”限制
实际问题应用
幼树移植成活率：用频率估计概率
柑橘定价问题：先求损坏概率，再算定价
教学反思
本节课围绕“用频率估计概率”的主题，通过抛掷硬币、幼树成活率、柑橘定价等实例，引导学生理解频率与概率的关系，并尝试用频率估计概率。教学目标基本达成，学生能通过试验数据归纳频率的稳定性，并理解概率的统计定义。成功之处在于结合生活实例，增强了学生的参与感和理解深度，同时通过数据整理与图表分析提升了学生的数学建模意识。不足之处在于部分学生对“频率稳定于概率”的抽象概念理解不够透彻，试验数据处理环节时间略显紧张。今后教学中，应加强直观演示与变式训练，帮助学生更好理解频率与概率的关系，并适当延长数据处理与分析环节，提升学生的统计思维能力。

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